专题31 最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（全国）

专题31最值模型之将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6模型3.将军饮马模型（多线段和的最值） 9 15模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为．例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为．例3．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为．

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为．例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为．

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）模型（1）：两定点+两动点条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）图1-1图1-1图1-1图2模型（2）：一定点+两动点条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。图1-1图1-1图1-1图2模型（1-1）（两点都在直线外侧型）如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。模型（1-2）（直线内外侧各一点型）如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。模型（1-3）（两点都在直线内侧型）如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（

）A． B． C． D．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为．（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）

1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形中，，，点E是边的点，，点F是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，为斜边，连接，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（

）

A．的最小值为 B．的最小值为C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为．8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，，，连接、交于点，点为上一动点，连接，点为的中点，连接、，则的最小值为．9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点为正方形的对称中心，点为边上的动点，连接，作交于点，连接，为的中点，为边上一点，且，连接，，则的最小值为．10．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，中，，，，I为的内心，若M、N分别是斜边和直角边上的动点，连接，则的最小值为．11．（2024·海南·三模）如图，矩形中，，，、分别是直线、上的两个动点，，沿翻折形成，连接、，则，的最小值是.

12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，连接，，的垂直平分线交于E，交于F，P是线段上一动点，点Q为的中点．若，的面积是24，则的最小值为．13．（2024·山东淄博·一模）如图，线段与相交于点E，保持，已知，，则的最小值是．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是．

15．（2023上·江苏常州·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为.

16．（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）如图，在菱形中，，，点E为的中点，点F在上，且，点G为直线上一动点，的最大值是___________．

17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形中，，，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为______．18．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________；【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值；【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．19．（23-24九年级上·河南周口·期末）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？作法如下：如图1，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连接，与河岸线相交于，则点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到，所走的路程就是最短的．

(1)观察发现如图2，在等腰梯形中，，点、是底边与的中点，连接，在线段上找一点，使最短．作点关于的对称点，恰好与点重合，连接交于一点，则这点就是所求的点，故的最小值为_______．(2)实践运用如图3，已知的直径，点A在圆上，且的度数为，点是弧的中点，点在直径上运动，求的最小值．(3)拓展迁移如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于另一点．①求这条抛物线所对应的函数关系式；②在抛物线的对称轴直线上找到一点，使周长最小，请求出此时点的坐标与周长最小值．20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；22．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】(1)如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角