专题24 相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型解

专题24相似模型之（双）A字型与（双）8字型模型相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.“A”字模型 1模型2.“X”字模型（“8”字模型） 4模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 6 10【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。模型1.“A”字模型“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向双“A”字模型④内接矩形模型图1图2图3图4①“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角）∴△ADE∽△ACB，∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。证明:∵DEFG是矩形∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为．例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为．例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为．例4．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（

）A． B．3 C． D．4例5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，垂足为，，垂足为，与相交于点，(1)判断与是相似三角形吗？请说明理由；(2)连接，求证：；(3)若，，，求的长．模型2.“X”字模型（“8”字模型）“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行双“8”字模型④斜双“8”字模型图1图2图3图4①“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角）∴△AOB∽△DOC，∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥CD；结论：。证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。④斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角），∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为．例2.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求．例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为．例4．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3的等边的重心为点O，求与的面积；(2)性质探究：如图二，已知的重心为点O，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由；(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若，求正方形ABCD的面积

模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）①一“A”+“8”模型②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型）③四“A”+“8”模型图1图2图3①一“A”+“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。∴。②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。两式相加得到：，即，故。③四“A”+“8”模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。证明:同②中的证法，易证：，，∴，即AF=AG，故。例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像．【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为．已知，，当时，求证：．证明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．请结合上述材料，解决以下问题：(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________；(3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象．1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形是平行四边形，点是AD的中点，连接，相交于点，过作AD的平行线交AB于点，若，则的值是（

）A．6 B．5 C．8 D．43．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（

）A．B．C．D．4．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（）A．15 B．20 C．25 D．305．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，E线段上一点，且，过点C作，交的延长线于点D．若的面积为，则的面积为（

）

A． B． C． D．6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形中，是上的点，连接交对角线于点，若，，则的值为（

）A． B． C．2 D．1．57．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山东威海·中考真题）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（

）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则9．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（）A．5 B．7 C．6 D．810．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（

）A．2 B．3 C． D．12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则．13．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则．

14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则．

15．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则．16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．求证：①是的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________；17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且，连接，交于点，求证：．①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取的中点，连接，再通过“全等三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点作，交的延长线于点，再通过“全等三角形的性质”解决问题．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在中，点是的中点，点，是的三等分点，，与分别交于点，，求的值．【学以致用】（3）如图5，在中，，在射线上取点，使，连接，在上取点，射线，相交于点，当时，求的值．18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；[思考说理