专题05 分式（5种经典基础练+6种提升练）解析版

专题05分式（5种经典基础练+6种优选提升练）分式的有关概念一．选择题（共5小题）1．（2023秋•洮北区期末）下列运算中正确的是A． B． C． D．【分析】、根据同底数幂的除法法则：底数不变，只把指数相减，得出结果，作出判断；、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误；、把分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，找出分子分母的公因式，分子分母同时除以，约分后得到最简结果，即可作出判断；、分子分母中不含有公因式，故不能约分，可得本选项错误．【解答】解：、，本选项错误；、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误；、，本选项正确；、分子分母没有公因式，不能约分，本选项错误，故选：．2．（2023秋•扶余市期末）把分式中的、的值都扩大到原来的2倍，则分式的值A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的【分析】把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：、都扩大2倍，，所以，分式的值不改变．故选：．3．（2023秋•宽城区期末）若分式的值为0，则实数应满足的条件是A． B． C． D．【分析】根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．【解答】解：分式的值为0，且，解得，故选：．4．（2023秋•浑江区期末）使分式有意义的的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：，解得：，故选：．5．（2023秋•乾安县期末）若，则下列分式值为0的是A． B． C． D．【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【解答】解：当时，．故选：．二．填空题（共5小题）6．（2023秋•东辽县期末）当时，分式有意义．【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．【解答】解：分式有意义，，解得，故答案为：．7．（2023秋•通榆县期末）化简：．【分析】把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．先把分子分母分解因式，然后把公因式约去即可．【解答】解：．故答案为：．8．（2023秋•梅河口市期末）若分式的值为0，则．【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．【解答】解：，，，故答案为：．9．（2023秋•临江市期末）若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．【解答】解：若分式在实数范围内有意义，则，即．故答案为：．10．（2023秋•大安市期末）若分式有意义，的取值范围是．【分析】根据分式有意义的条件，进行判断即可．【解答】解：分式有意义，，解得：．故答案为：．分式的运算一．选择题（共8小题）1．（2023秋•延边州期末）计算的结果为A． B． C．4 D．【分析】根据负整数指数幂计算公式直接进行计算即可．【解答】解：．故选：．2．（2023秋•朝阳区校级期末）冬至过后进入数九，天气寒冷，很多人出现呼吸道支原体、衣原体感染．支原体和衣原体都是有细胞的微生物，支原体很小，直径在0.2到0.3微米；衣原体的原体直径在0.2到0.4微米．0.2微米等于0.0000002米，0.0000002用科学记数法表示为A． B． C． D．【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：，故选：．3．（2023秋•通榆县期末）若，则的值是A． B． C．1 D．3【分析】先将分式进行化简，然后将代入原式即可求出答案．【解答】解：原式，当时，原式．故选：．4．（2023秋•双辽市期末）化简的结果正确的是A． B． C． D．【分析】首先将分式进行通分运算，再利用分式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式．故选：．5．（2023秋•船营区期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．【解答】解：，，，，．故选：．6．（2023秋•临江市期末）计算的结果正确的是A． B． C． D．【分析】根据分式的乘法法则解决此题．【解答】解：．故选：．7．（2023秋•浑江区期末）甲乙两人骑自行车从相距千米的两地同时出发，若同向而行，经过小时甲追上乙；若相向而行，经过小时甲、乙相遇．设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，则等于A． B． C． D．【分析】根据题意得到，①，，②，由①②，解得，，即可求出答案．【解答】解：，①，，②，由①②，解得，，，故选：．8．（2023秋•双辽市期末）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】负整数指数幂的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的除法的运算方法，单项式乘单项式的运算方法，以及分式的乘除法的运算方法，逐个判断即可．【解答】解：，选项符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意．故选：．二．填空题（共7小题）9．（2024秋•前郭县期末）世界上最小的结果植物是澳大利亚的出水浮萍，其果实质量只有0.0000000076克，将0.0000000076用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：．故答案为：．10．（2023秋•宁江区期末）计算：．【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【解答】解：．故答案为．11．（2023秋•永吉县期末）化简的结果是．【分析】利用分式的乘除法则计算即可．【解答】解：原式，故答案为：．12．（2023秋•延边州期末）计算：．【分析】利用分式的运算法则计算即可．【解答】解：原式，故答案为：．13．（2023秋•永吉县期末）化简：．【分析】先把分式的分子、分母分解因式，然后除法变乘法，约分即可．【解答】解：，故答案为：．14．（2023秋•靖宇县期末）．【分析】根据负整数指数幂：，为正整数）得出即可．【解答】解：．故答案为：．15．（2023秋•乾安县期末）化简：．【分析】根据分式的减法法则即可求解．【解答】解：原式．故答案为：．三．解答题（共11小题）16．（2023秋•东丰县期末）计算：．【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方和绝对值的计算法则求解即可．【解答】解：．17．（2023秋•通榆县期末）．【分析】首先把除法运算转化成乘法运算，然后进行加减运算．【解答】解：原式．故答案为：．18．（2023秋•永吉县期末）计算：．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可．【解答】解：，．19．（2023秋•通榆县期末）计算：．【分析】幂的乘方，法则为：底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，法则为：底数不变，指数相加．【解答】解：，，，．20．（2023秋•延边州期末）数学老师批改作业时发现了一位同学分式计算错了，该同学解答过程如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）（第五步）（1）这位同学的解答从第步开始出现错误；（2）请写出正确解答过程．【分析】（1）根据添括号法则求解即可．（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．【解答】解：（1）这位同学的解答从第一步开始出现错误，故答案为：一；（2）原式．21．（2023秋•乾安县期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程：解：原式①②③（1）这位同学的解答，在第步出现错误．（2）请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）第①步出现错误，故答案为：①；（2），当时，原式．22．（2023秋•浑江区期末）已知，，当时，求的值．【分析】根据已知可得，从而求出，然后利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，最后再把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：，，解得：，，当时，原式．23．（2023秋•船营区期末）先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为的值代入求值．【分析】先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后化简，再从，，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：，当，时，原分式无意义，，当时，原式．24．（2023秋•靖宇县期末）先化简，再求值：已知，其中满足．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由方程得出，代入即可得到答案．【解答】解：原式，，，则原式．25．（2023秋•东丰县期末）先化简，再求值：，其中．【分析】先把括号中的1写成分母是的分式，把各个分式的分子和分母分解因式，除法写成乘法，按照混合运算法则，先算括号里面的，再算乘法，然后算加减，最后把的值代入计算结果进行计算即可．【解答】解：原式．当时，原式．26．（2023秋•双辽市期末）先化简，再求值：，其中，．【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把、的值代入计算即可．【解答】解：原式，当，时，原式．分式方程一．选择题（共4小题）1．（2023秋•磐石市期末）某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产个，根据题意可列分式方程为A． B． C． D．【分析】设原计划每天生产个，则实际每天生产个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数个）实际每天生产的零件个数天，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天生产个，则实际每天生产个，根据题意得：，故选：．2．（2023秋•通榆县期末）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩包，则依题意列方程为A． B． C． D．【分析】设原计划购买口罩包，则实际购买口罩包，利用单价总价数量，结合药店对学生购买口罩每包优惠2元，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：设原计划购买口罩包，则实际购买口罩包，依题意得：．故选：．3．（2023秋•洮北区期末）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是A． B． C． D．【分析】设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，利用数量总价单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：设甲种水杯的单价为元，则乙种水杯的单价为元，依题意得：．故选：．4．（2023秋•永吉县期末）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买毽球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有名学生，依据题意列方程得A． B． C． D．【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解答】解：设班级共有名学生，依据题意列方程得，．故选：．二．填空题（共5小题）5．（2023秋•通榆县期末）方程的解为．【分析】根据解分式方程的步骤求解即可．【解答】解：去分母，得，解得，经检验，是原方程的根，故答案为：．6．（2023秋•铁西区期末）已知关于的方程无解，则．【分析】根据分式方程的解的定义解决此题．【解答】解：，去分母，得．移项，得．合并同类项，得．的系数化为1，得．关于的方程无解，．．故答案为：6．7．（2023秋•双辽市期末）若关于的方程的解是正数，则的取值范围．【分析】先解分式方程，然后根据方程的解是正数，确定的取值范围即可．【解答】解：，，解得：，方程的解是正数，且，且，且，故答案为：且．8．（2023秋•临江市期末）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是．【分析】方程去分母，移项合并，将系数化为1，表示出解，根据解为非负数（分母不为求出的范围即可．【解答】解：方程去分母得：，解得：，根据题意得：，即，且，解得：且．故答案为：且．9．（2023秋•宁江区期末）对于两个不相等的实数、，我们规定符号，表示、中的较小的值，如，，按照这个规定，方程，的解为．【分析】根据新定义化简已知等式，求出解即可．【解答】解：当时，，去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，当时，，去分母得：，解得：，不符合题意，舍去，方程的解为，故答案为：．三．解答题（共9小题）10．（2023秋•朝阳区校级期末）解分式方程：（1）；（2）．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解；（2）去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是原分式方程的解．11．（2023秋•船营区期末）解方程：．【分析】根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可．【解答】解：，去分母，得，解得：，检验：把代入得，原方程的解为．12．（2023秋•东丰县期末）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：原方程去分母得：，解得：，检验：将代入，得，故原方程的解为．13．（2023秋•梨树县期末）解方程：．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，去括号得：，移项、合并同类项得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解．14．（2023秋•舒兰市期末）解分式方程：．【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程整理得：，去分母得：，移项得：，合并同类项得：，解得：，检验：把代入得：，是分式方程的解．15．（2023秋•乾安县期末）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．16．（2023秋•东丰县期末）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？【分析】首先设原来每天改造管道米，则引进新设备前工程队每天改造管道米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间引进了新设备改造540米所用时间天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道米，由题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．17．（2024秋•前郭县期末）山城步道是重庆的特色，市民可以在步道里面休闲、运动，享受美好生活．半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，由甲、乙两个工程队合作完成，甲工程队修建的步道长度比乙工程队修建的步道长度的2倍少400米．（1）求甲、乙两工程队各修建步道多少米？（2）实际修建过程中，甲工程队每天比乙工程队多修5米，最终甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，则甲工程队每天修建步道多少米？【分析】（1）设乙工程队修建步道米，则甲工程队修建步道米，根据半山崖线步道沙坪坝段全长2000米，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出乙工程队修建步道的长度，再将其代入中，即可求出甲工程队修建步道的长度；（2）设乙工程队每天修建步道米，则甲工程队每天修建步道米，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工程队完成任务时间是乙工程队完成任务时间的1.2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙工程队每天修建步道的长度，再将其代入中，即可求出甲工程队每天修建步道的长度．【解答】解：（1）设乙工程队修建步道米，则甲工程队修建步道米，根据题意得：，解得：，（米．答：甲工程队修建步道1200米，乙工程队修建步道800米；（2）设乙工程队每天修建步道米，则甲工程队每天修建步道米，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（米．答：甲工程队每天修建步道25米，乙工程队每天修建步道20米．18．（2023秋•铁西区期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．（1）当充电费为300元时，这款电动汽车的行驶路程为公里；（用含的代数式表示）（2）请分别求出这两款车的平均每公里的行驶费用；（3）若燃油车和电动汽车每年的其它费用分别为4800元和7800元，问每年行驶里程在什么范围时，买电动汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）【分析】（1）利用这款电动汽车的行驶路程充电费这款电动汽车平均每公里的充电费用，即可用含的代数式表示出这款电动汽车的行驶路程；（2）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出这款燃油车平均每公里的加油费用为元，利用可行驶的总路程加油费（充电费）这款燃油车平均每公里的加油费用（这款电动汽车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为300元时电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出这款电动汽车平均每公里的充电费用，再将其代入中，即可求出这款燃油车平均每公里的加油费用；（3）设每年行驶里程为公里，根据买电动汽车的年费用更低，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：当充电费为300元时，这款电动汽车的行驶路程为公里．故答案为：；（2）电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，且这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，这款燃油车平均每公里的加油费用为元．根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（元．答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元，这款燃油车平均每公里的加油费用为0.8元；（3）设每年行驶里程为公里，根据题意得：，解得：．答：每年行驶里程超过5000公里时，买电动汽车的年费用更低．分式方程不等式组结合解决有解、无解问题1．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的分式有正整数解，且关于y的不等式无解，则符合条件的所有整数a的和为．【答案】28【分析】本题考查解分式方程及解不等式组，解题的关键正确解分式方程与不等式组．解出分式方程及不等式组，根据条件找出符合条件的a的值，即可得到答案．【详解】解：解分式方程得，，且，∵分式方程有正整数解，∴的偶数，且，解不等式组得，，∵不等式组无解，∴，解得：，∴的偶数，且，∴符合条件的a有：6、，12，∴a的和为：，故答案为：28．2．（2024·重庆·一模）若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是．【答案】【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．先解不等式组，根据有且仅有4个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是正整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．【详解】解：，解①得：，解②得：，根据题意得：，∴，解得：，解分式方程，得：，而分式方程的解为正整数，∴，解得：，∴，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，是增根，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意．∴满足条件的a只有1和，∴满足条件的整数a的值之积为，故答案为：．3．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）若关于的不等式组有且只有个偶数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为．【答案】【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解，解关于的不等式组，根据其解的情况确定的取值范围；解关于的分式方程，根据其解的情况确定的取值范围，从而确定符合条件的所有整数的值并求和即可．掌握分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴，∵不等式组有且只有个偶数解，∴，∴；∵，在方程两边同乘以，得：，解得：，∵分式方程的解为正数，∴，∴，∵或是分式方程的增根，∴或，∴且，∵为整数，∴可以是，，∴，∴符合条件的所有整数的和为．故答案为：．4．（2024·重庆南岸·模拟预测）若关于的一元一次不等式组至少有两个整数解；且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是．【答案】20【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围．【详解】解：∵，解不等式①得：；解不等式②得，∴的解集为，∵不等式组至少有两个整数解，∴，解得；∵，去分母得：，整理，得，故，∵方程有非负数整数解，∴，∴，∵时，是方程的增根，此时，无意义，舍去，∴或或或且∴符合题意的整数a的值为，∴符合条件的所有整数a的和是，故答案为：．分式方程的实际应用5．（23-24八年级上·吉林·期末）学习分式方程时，老师给出了如下问题：第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州正式开幕，“智能”作为杭州亚运会的办赛理念之一贯穿了办赛、参赛、观赛的方方面面．为保障赛事场馆的正常有序布置，某搬运公司将A，B两种机器人都用来搬运体育器材，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30件，A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少件体育器材？两位同学解答上面问题列出的方程如下：同学甲：

同学乙：根据以上信息回答下列问题：(1)选择合适的选项填在横线上：同学甲所列方程中的x表示，同学乙所列方程中的y表示；（A）A型机器人每小时搬运体育器材的件数（B）B型机器人每小时搬运体育器材的件数（C）A型机器人搬运体育器材900件所用的时间（D）A型机器人搬运体育器材600件所用的时间(2)你喜欢（用“甲”或“乙”填空）所列的方程，该方程的等量关系为；(3)解（2）中你所选择的方程，并完整解答老师给出的问题．【答案】(1)A，C；(2)甲或乙；A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等或A型机器人比B型机器人每小时多搬运30件；(3)A型机器人每小时搬运体育器材90件；B型机器人每小时搬运体育器材60件．【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键：（1）根据方程的意义可得出答案；（2）喜欢甲或乙，并表示出等量关系即可；（3）设A型机器人每小时搬运体育器材的件数为x，根据题意可得：，解出方程即可得出答案．【详解】（1）解：同学甲：，所列方程中的x表示A型机器人每小时搬运体育器材的件数，同学乙：，所列方程中的y表示A型机器人搬运体育器材900件所用的时间，故答案为：A，C；（2）解：喜欢用甲所列方程，该方程的等量关系为A型机器人搬运900件所用时间与B型机器人搬运600件所用时间相等；（3）解：设A型机器人每小时搬运体育器材的件数为x，根据题意可得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴B型机器人每小时搬运体育器材的件数为：，答：A型机器人每小时搬运体育器材的件数为90，B型机器人每小时搬运体育器材的件数为60．6．（22-23八年级上·吉林白城·期末）为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？(2)如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有哪几种方案？【答案】(1)甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元；(2)有三种方案：方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套；方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套；方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．【分析】（1）设甲种套房每套提升费用为万元，则乙种套房每套提升费用为万元，根据题意列分式方程求解即可；（2）设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，根据题意，列不等式组求解即可．【详解】（1）解：设甲种套房每套提升费用为万元，乙种套房每套提升费用为万元，依题意，可得解得：经检验：符合题意，；答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为25万元，28万元．（2）解：设甲种套房提升套，那么乙种套房提升套，依题意，得，解得：因为取整数即或或，所以有三种方案，方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套方案三：甲种套房提升50套，乙种套房提升30套．【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系和不等式关系，正确列出方程和不等式．7．（22-23八年级上·山东聊城·期末）今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等．(1)求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．【答案】(1)甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元．(2)在乙商店租用服装的费用较少；理由见解析【分析】（1）设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套元，由“用600元在甲商店租用服装的数量与用500元在乙商店租用服装的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可得出答案．（2）分别计算甲、乙商店的费用，比较大小即可得出答案．【详解】（1）解：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套元，由题意可得：，解得：，经检验，是该分式方程的解，并符合题意，∴，∴甲商店租用的服装每套为60元，乙商店租用的服装每套为50元；（2）解：在乙商店租用服装的费用较少．理由：该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：（元），乙商店的费用为：（元），∵，∴乙商店租用服装的费用较少．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，能够根据题意找出等量关系建立方程是解决本题的关键，但要注意分式方程的解需要进行检验．8．（23-24八年级上·吉林·期末）某超市用3000元购进某种水果，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨9000元资金购进该种水果，但这次的进价比第一次进价每千克多元，购进水果的数量是第一次的2倍，超市此时按每千克9元的价格出售，当大部分水果售出后，余下的100千克按售价的9折售完．(1)求该种水果的第一次进价每千克是多少元？(2)超市第二次购进该水果时，进价为每千克______元，购进该水果_______千克．(3)求该超市第二次销售该水果盈利了多少元？【答案】(1)该种水果的第一次进价是每千克5元(2)，1200(3)该超市第二次销售该水果盈利了1710元【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，分式方程的应用；（1）等量关系式：第一次购买水果的重量第一次购买水果的重量，据此列方程，解方程，检验，即可求解；（2）由（1）得代入和，即可求解；（3）第二次销售水果的盈利千克的盈利千克，据此列算式，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．【详解】（1）解：设该种水果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（）元，根据题意得，解得，经检验：是原方程的解；答：该种水果的第一次进价是每千克5元；（2）解：由题意得第二次进价为：（元），第二次购进的水果为：（千克），故答案：，1200；（3）解：由题意得．答：该超市第二次销售该水果盈利了元．9．（23-24八年级上·吉林四平·期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元，若充电费和加油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元．(1)当充电费为元时，这款电动汽车的行驶路程为______公里（用含的代数式表示）；(2)请分别求出这两款车的平均每公里的行驶费用；(3)若燃油车和电动汽车每年的其它费用分别为元和元，问每年行驶里程在什么范围时，买电动汽车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用）【答案】(1)(2)电动汽车平均每公里行驶费用为元，燃油车平均每公里行驶费用为元(3)每年行驶里程超过公里时，买电动汽车的年费用更低【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，（1）利用这款电动汽车的行驶路程＝充电费÷这款电动汽车平均每公里的充电费用，即可用含的代数式表示出这款电动汽车的行驶路程；（2）由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出这款燃油车平均每公里的加油费用为元，利用可行驶的总路程＝加油费（充电费）÷这款燃油车平均每公里的加油费用（这款电动汽车平均每公里的充电费用），结合充电费和加油费均为元时电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出这款电动汽车平均每公里的充电费用，再将其代入中，即可求出这款燃油车平均每公里的加油费用；（3）设每年行驶里程为公里，根据买电动汽车的年费用更低，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论；解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出这款电动汽车的行驶路程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．【详解】（1）解：根据题意得：当充电费为元时，这款电动汽车的行驶路程为公里，故答案为：；（2）设这款电动汽车平均每公里的充电费用为元，则这款燃油车平均每公里的加油费用为元，由题意得：解得：经检验，是原分式方程的解且符合题意，∴（元），答：电动汽车平均每公里行驶费用为元，燃油车平均每公里行驶费用为元；（3）设每年行驶里程为公里时，买电动汽车的年费用更低依题意，得：，解得：，答：每年行驶里程超过公里时，买电动汽车的年费用更低．10．（23-24八年级上·吉林四平·期末）甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工个玩具所用的时间与乙加工个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具．(1)设甲每天加工个玩具，用含的代数式表示：乙每天加工______个玩具，甲加工个玩具所用的时间为______，乙加工个玩具所用的时间为______；(2)根据（1）中数据，列方程解答问题．【答案】(1)，天，天(2)甲每天加工个玩具，乙每天加工个玩具【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（1）设甲每天加工个玩具，则乙每天加工个玩具，再由时间（天）加工的个数每天加工个数，列式即可；（2）根据甲加工个玩具所用的时间与乙加工个玩具所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可．【详解】（1）解：设甲每天加工个玩具，则乙每天加工个玩具，甲加工个玩具所用的时间为：天，乙加工个玩具所用的时间为：天，故答案为：，天，天；（2）解：由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，（个），答：甲每天加工个玩具，乙每天加工个玩具．11．（23-24八年级上·吉林松原·期末）甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间每小时多生产30个零件，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等．设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解答下列问题．(1)根据题意，填写下表：车间零件总个数平均每小时生产零件个数所用时间甲车间600x乙车间900(2)甲车间平均每小时生产多少个零件？(3)若甲车间生产个零件与乙车间生产900个零件所用的时间相等，题目中的其他条件不变，则甲车间每小时生产的零件是__________个．（用含a的式子表示）【答案】(1)(2)甲车间平均每小时生产60个零件(3)【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出对应的代数式和方程是解答的关键．（1）根据题意，所用时间=零件总个数÷平均每小时生产零件个数可求解；（2）根据甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等列方程求解即可；（3）将（2）列出的方程中600换成a，然后解方程求解x值即可．【详解】（1）解：由题意，甲车间所用时间为小时，乙车间所用时间为小时，故答案为：；（2）解：由题意，，解得，经检验，是所列方程的解，且符合题意，答：甲车间平均每小时生产60个零件；（3）解：若甲车间生产个零件，根据题意，得，解得，经检验，符合题意，答：甲车间平均每小时生产个零件．12．（23-24八年级上·吉林松原·期末）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元，(1)那么购进第一批书包的单价是多少元？(2)若商店两次购进书包的售价均为100元，那么这两批书包全部售出后，商店共盈利_________元．【答案】(1)购进第一批书包的单价是80元(2)1700【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．（1）首先设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量×3=第二批购进的数量，列方程，解方程即可；（2）根据商店盈利=第一批书包的利润+第二批书包的利润进行计算即可．【详解】（1）设购进第一批书包的单价是元，则购进第二批书包的单价是元由题意得：解得：经检验，是原方程的解答：购进第一批书包的单价是80元．（2）由（1）知，两次购买书包的数量均为个，第二次购买书包的单价为84元，∴这两批书包全部售出后，商店共盈利为（元），故答案为：1700．13．（23-24八年级上·吉林白山·期末）某企业有甲、乙两个车间用于生产医用防护服．甲车间每天生产的数量是乙车间每天生产数量的1.5倍，两车间各加工6000套医用防护服，甲车间比乙车间少用4天．(1)甲、乙两车间每天各生产多少套医用防护服？(2)已知甲、乙两车间生产这种医用防护服每天的生产费用分别是12000元和10000元，现有18000套医用防护服的生产任务，甲车间单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙车间单独完成．如果总生产费用不超过339000元，则甲车间至少需要生产几天？【答案】(1)(2)7天【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设乙车间每天生产x套医用防护服，根据甲车间比乙车间少用4天列方程求解即可；（2）设甲车间生产m天，根据总生产费用不超过339000元列不等式求解即可．【详解】（1）设乙车间每天生产x套医用防护服，则甲车间每天生产1.5x套医用防护服．依题意得．解得．

经检验，是原方程的解，且符合题意．∴答：甲车间每天生产750套医用防护服，乙车间每天生产500套医用防护服．（2）设甲车间生产m天，则乙车间生产天．依题意得．解得．答：甲车间至少需要生产7天．14．（23-24八年级上·吉林四平·期末）某校为了鼓励学生增加书籍阅读量，计划从书店购进，两种图书各若干本免费赠阅．已知每本图书的价格比每本图书的价格多元，每本图书和本图书可以组成一个套装，每个套装购买时可以享受八折优惠，若用元购买的套装中图书的数量与用元单独购买图书的数量相同，那么图书的售价是多少？【答案】图书的售价为元．【分析】本题考查了分式方程的应用，设图书的售价是元，根据用元购买的套装中图书的数量与用元单独购买图书的数量相同列出分式方程，解方程检验后可得答案，正确理解题意，找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．【详解】解：设图书的售价为元，则图书的售价为元，依题意，解得，经检验，是原方程的解，符合题意，答：图书的售价为元．15．（23-24八年级上·吉林白城·期末）某市经投标决定由甲、乙两个工程队共同完成一个工程项目．已知乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍．该工程如果由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天；(2)已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，则该工程预算的施工费用是多少万元？【答案】(1)甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天(2)该工程预算的施工费用是万元【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解；（1）把总工程当做单位“1”，设甲队单独完成这项工程需要天，则乙队单独完成这项工程需要天，根据甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天可以完成，列方程求解：（2）根据（1）求出甲乙完成所需要的时间，即可求出总预算．【详解】（1）解：设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要2x天．由题意得：，解得：．经检验，是分式方程的解，且符合题意，则．答：甲队单独完成这项工程需要天，乙队单独完成这项工程需要天．（2）解：总预算为：（万元）．答：该工程预算的施工费用是万元．16．（23-24八年级上·吉林白城·期末）用A，B两种型号的机器加工同一种零件．已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同．(1)求A型机器每小时加工零件的个数；(2)某工厂计划采购A，B两种型号的机器共20台，要求每小时加工零件不少于1450个，则至少购进A型机器多少台？【答案】(1)A型机器每小时加工零件80个(2)至少购进A型机器13台【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程和不等式是解题的关键．（1）设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件个．然后根据等量关系“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”列分式方程解答即可；（2）设购进A型机器y台，则购进B型机器台．再求出B型机器每小时加工零件，然后根据不等关系“求每小时加工零件不少于1450个”列不等式求解即可．【详解】（1）解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件个．根据题意得．解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：A型机器每小时加工零件80个．（2）解：设购进A型机器y台，则购进B型机器台．由（1）得，依题意得：，解得，又∵y为正整数，∴．答：至少购进A型机器13台．17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）观察下列各式：，，，(1)由此可推测：______；(2)依照上述规律，写出的推测过程；(3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由；(4)请直接用（3）中的规律计算的值．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析(4)0【分析】本题考查了分式的规律探究，分式的加减运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．（1）根据题意求解即可；（2）将分解成两个相邻整数的乘积，进而可得结果；（3）根据题意可推导一般性规律，然后证明即可；（4）根据题意进行拆分，然后加减运算即可．【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：；（2）解：由题意知，；（3）解：，理由如下：右边．．（4）解：．18．（23-24八年级上·吉林白山·期末）某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒．且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？(2)若第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，两种茶叶各售出一半后，两种茶叶均打七折销售，全部售出后（不考虑其他因素），第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因