专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分精练（全国）

专题10三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 2模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 5模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 13模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 15 26模型1.等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底和腰的原理相同。2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。例1．（24-25九年级上·山东·期末）若等腰内接于，，，则底角的度数为（）A． B． C．或 D．或例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A． B．或 C．或 D．例3．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对例4．（2024八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为，，，则等腰三角形的周长为（

）A．10B．7或10C．7或4D．10或7或4例5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是．模型2.等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。等腰三角形的两种分类讨论方法方法1.

“两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。如图：已知，两点是定点，在坐标轴上找一点构成等腰。①以已知线段为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2个）；②以已知线段为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以为圆心的有4个，以为圆心的有2个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。方法2.

“三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用“两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是．例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

例4．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），点P是y轴正半轴上的一点，且△AOP为等腰三角形，则点P的坐标为．例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1，中，于D，且，(1)试说明是等腰三角形；(2)已知，如图2，动点M从点B出发以每秒的速度沿线段向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若的边与平行，求t的值；②若点E是边的中点，问在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点，直线交x轴负半轴于点D，若的面积为

(1)求直线的表达式和点D的坐标；(2)横坐标为m的点P在线段上（不与点重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为，求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．模型3.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（

）A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或例2．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点F为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为．例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，，，点D是的中点，点E是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点F，若为直角三角形，则的长为．

模型4.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分三种情况，如图：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．例1．（2023九年级·广东·专题练习）如图，已知，C为坐标轴上一点，且是直角三角形，则满足条件的C点有(

)个．A．6 B．7 C．8 D．9例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为．

例3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在中，，点是射线上的一个动点．（1）当为直角三角形时，的长为．（2）若点在边的下方，当为直角三角形时，的长为．例4．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以的速度从点A出发沿方向运动，设运动时间为t秒，连接，当是直角三角形时，则t的值为秒．例5．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点（不与O点重合），将线段AP绕A点按逆时针旋转60°，P点的对应点为点Q，连接OQ，BQ。(1)点B的坐标为；(2)①如图①，当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°；②当点P在x轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）；(3)在点P运动的过程中，若△OBQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.例6．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

1．（2023秋·广东八年级课时练习）若是等腰三角形，，则的度数是（

）A．或B．或C．或D．或或2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点，点是轴上的一个动点，当是等腰三角形时，值个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点及点、作长方形，的平分线交于点.点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为秒，当为直角三角形时为（

）A．2或B．2或C．或D．2或或4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在边AC上滑动，三角尺的直角边始终经过点B，斜边交于点D，若点P在滑动中恰能使与均为等腰三角形，则∠C的度数为．5．（2023春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角的度数是．6．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，点分别是的中点，在射线上有一动点，若是直角三角形，则的长为．

7．（2024·河南郑州·三模）在矩形中，，为CD的中点，取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为．8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为．9.（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是．10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为．11．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是等腰三角形时，的长是．12．（2023春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为的等腰三角形，它的一个内角是，则以它的腰长为边的正方形的面积为．13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为．14．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在的直线对称，点，分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接，当为直角三角形时，的长为15．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．(1)请在图2三个图中，分别画出的“双等腰线”，并做必要的标注或说明．①；②，；③，(2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数