专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型解读与提分精练（北师大版）

专题06圆中的重要模型之圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.相交弦模型 2模型2.双割线模型 3模型3.切割线模型 5模型4.弦切角模型 7模型5.托勒密定理模型 9 12模型1.相交弦模型相交弦定理（IntersectingChordsTheorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。结论：。证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴。例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是．

例2．（2023·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．例3．（2023春·山东·统考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．(1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值．模型2.双割线模型割线定理（SecantTheorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。结论：证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴又，∴，∴

，∴例1．（2023·重庆·一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD=．例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为．例3．（2023春·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长.模型3.切割线模型切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。结论：证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED，∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴。例1．（2023·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则．

例2．（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、．∵是的切线，是的半径，∴．∵是的直径，∴（__________），∴，∴__________．∵，∴__________．∵，∴∽，∴（__________），∴．任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长．例3．（23-24九年级上·北京·期末）如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长.模型4.弦切角模型弦切角定理：\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"弦切角的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"度数等于它所夹的弧所对的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED，∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴，∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠CBD==∠BAD。例1．（2023·成都市九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角．（1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论．例2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明．小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决．小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明；(2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题；(3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）；(4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______°模型5.托勒密定理模型托勒密定理（Ptolemy'stheorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦；结论：证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴．∴，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴；∴．∴．∴．∴，∴．例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（

）

A． B． C． D．例2．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）已知：如图①四边形是的内接四边形

求证：证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

例3．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角.如图①，四边形是的内接四边形，若，则.【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：证明：如图③，作，交于点.

∵，∴，∴

即

（请按他们的思路继续完成证明）【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为上一点，且，，求的长.1．（23-24九年级上·成都市·期中）如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（）A．2 B． C．4 D．2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（

）

A． B． C． D．3．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则=.4．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为．5.（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为．6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点．证明情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）：，∴∴，即情况二点P在⊙O外时（如图2）：情况三当点A和点B重合时（如图3）7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：．证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据）∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．8．（2023春·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角．(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：．证明：(2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长．11．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．∵是的切线，∴，∴，即．……任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是．②求的长．13．（2023春·山西·三模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明：已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．求证：．证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于点A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长．14．（2023春·河南商丘·统考二模）读下面材料，并完成相应的任务切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．下面是不完整的证明过程，请补充完整．已知：P为外一点，PA与交于A，B两点，PM与相切于点M．求证：．证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC．∵PM为的切线，∴_______，∴，∵CM为的直径，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．学习任务：如图，若线段AB与相交于C，D两点，且，射线AB，BF为的两条切线，切点分别为E，F，连接CF．(1)求证：；(2)若，，，求的面积．15．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．

证明：如图，连接．∵（依据：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________．求证：___________．