专题02 解直角三角形重要模型之新定义模型解读与提分精练（北师大版）（解析版）

专题02解直角三角形重要模型之新定义模型解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.新定义模型 2 17模型1.新定义模型新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c；图1图2图31）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2，则，，∴，∴，同理，，，∴；2）正弦面积公式：如图1，.证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在中，，∴，∴，在中，，∴．∴．同理可得．因此有．3）余弦定理：如图2，．证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得。同理：；。图4图54）同角三角函数的基本关系式:，。证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。又∵，，∴；。5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）：;（已证）.;.（已证）.证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则，利用锐角三角函数在中表示，。∵（等面积），即；在中，，则。例1．（2024九年级上·山东济南·专题练习）已知正弦定理：．(1)小明想学习正弦定理，但他不会证明，老师已经给出了思路，请根据思路，帮小明完成证明．如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设．根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：；(2)证明后，老师提出还可以用其他方法证明，请你对此进行证明；(3)接下来请你运用正弦定理，解决下面问题：中，，平分，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等等：（1）解得到，则，同理可得，由此即可证明；（2）过点A作于D，解得到，解，得到，则，即可证明，同理可证明，则；（3）利用正弦定理得到，，则；如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F，解得到，则，则，解得到，则，设，解得到，解得到，则，可得，则．【详解】（1）证明：如图，作的外接圆，O为圆心．连接并延长交圆于D，设根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得：，在中，，∴，∴，同理可得，∴；（2）解：如图所示，过点A作于D，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴，同理可证明，∴；（3）解：∵，，∴，∴，如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F，在中，，∴，∴，在中，，∴，∵平分，∴，设，在中，，在中，，∴，解得，∴，∴．例2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则①②③用以上的公式和定理解决问题：【简单应用】（1）在锐角中，设的对边分别为a，b，c，且，求；（2）如图3，在中，，，求的面积与周长．【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）

【答案】（1）；（2）的面积为，周长为18；（3）【分析】本题考查三角形的性质、锐角三角函数，理解题中新定义并灵活运用是解答的关键．（1）利用题意正弦定理得到，进而得到，利用特殊角的三角函数值可求解；（2）根据题中面积公式和余弦定理求解即可；（3）延长，使得，连接，证明得到，，则，进而得到，，利用题中正弦定理和余弦定理求得，，，进而求得，即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，即，∴；（2）∵在中，，，∴，，∴（负值舍去），∴周长；（3）∵在中，，的面积为，∴，则，延长，使得，连接，

∵为的中点，∴，又，∴，∴，，∴，则，在中，，，∴，则，∴在中，，∴（负值舍去），∵,∴（负值舍去），∴的周长为．例3．（2024·山东·校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究．探究一：如图1，在中，，，，，求的面积．在中，，．．探究二：如图2，中，，，，求的面积（用含、、代数式表示），写出探究过程．探究三：如图3，中，，，，求的面积（用、、表示）写出探究过程．问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：___________（用文字叙述）．问题应用：如图4，已知平行四边形中，，，，求平行四边形的面积（用、、表示）写出解题过程．问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用、、、、、表示），其中，，，，，．【答案】，见解析；，见解析；一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半；；【分析】探究二：如图2中，作于．求出高，即可解决问题；探究三：如图3中，作于．求出高，即可解决问题；问题解决：（）是a、b两边的夹角）；问题应用：如图4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解决问题；问题拓广：如图5，连接，由探究三的结论可得出答案．【详解】解：探究二：如图2中，作于．，，，，在中，，，，．探究三：如图3中，作于．在中，，．问题解决：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．故答案为：一个三角形两边及其夹角的正弦值的积的一半．问题应用：如图4中，作于．在中，，．问题拓广：连接，由探究三的结论可得：．．．【点睛】本题考查四边形综合题、三角形的面积、平行四边形的面积，锐角三角函数知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．例4．（2024·重庆·九年级校考开学考试）设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下面的面积公式（海伦公式）（秦九韶公式）若一个三角形的三边长依次为5，6，7，则这个三角形的面积为（可以直接利用上面的面积公式）【答案】【分析】利用两个公式分别代入即可．【详解】解：，由海伦公式可得；由秦九昭公式可得．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．例5．（2024·重庆·校考一模）关于三角函数有如下的公式：利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：如图所示，直升机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角为，底端C点的俯角为，此时直长机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高．【答案】84米【详解】试题分析：过点D作于E，在Rt△ADE中，利用tan60°可求出AE的长，在Rt△ABC中，ÐACB=75°，利用tan75°可求出AB的长，然后计算CD=BE=AB-AE即可得出结论．试题解析：过点D作于E，依题意，在中，，在(米)．答：建筑物CD的高为84米．例6．（2024·重庆·校考一模）材料一：证明：．证明：如图，作∠BAC=∠a，在射线AC上任意取一点D(异于点A)，过点D作DE⊥AB，垂足为E．∵DE⊥AB于点E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度数；由“SAS”定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来.应用以上材料，完成下列问题：(1)如图，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的长．(2)在（1）题图中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的长度吗？如果可以，写出推导过程；如果不可以，说明理由．【答案】(1)(2)能，过程见解析【分析】(1)过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得；(2)过点A作于点D，根据解直角三角形即可求得．【详解】（1）解：过点A作于点D，（2）解：如图，过点A作于点D，．【点睛】本题考查了解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解决本题的关键．例7．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系．在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化．如图1，在中，．若，则．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对的定义，解答下列问题：图1

图2

备用图(1)直接写出的值为___________；(2)若，则的正对值的取值范围是__________；(3)如图2，已知，其中为锐角，求的值；【答案】(1)1(2)(3)【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键．（1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可；（2）求出0度和120度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）如图2，过点作于点．在中，，则可设，则．由勾股定理得，则，．在等腰中，．【详解】（1）解：根据正对定义可得：当顶角为时，等腰三角形底角为，∴此时该三角形为等边三角形，底边腰长，故答案为：1；（2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0，当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近，的正对值的取值范围是，故答案为：；（3）解：如图2，过点作于点．．图2在中，，设，则．．，．在中，利用勾股定理得，．在等腰中，．例8．（23-24九年级下·四川达州·期中）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．阅读以上内容，回答下列问题：在中，．(1)如图③，若，则__，_____；．(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示）【答案】(1)；；(2)【分析】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【详解】（1）由勾股定理可得：由三角函数的定义可得，由材料可得：故答案为；；（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：则，，，在中，，在中，，在中，，则则故答案为．例9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）阅读下面材料，完成后面题目．0°-360°间的角的三角函数在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值．（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．【答案】（1）sinα；（2）或；（3）；（4）1≤sinα+cosα≤．【分析】（1）由点P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根据sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判断；（2）分两种情形讨论即可解决问题；（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．想办法求出OE的长，根据三角函数的定义即可解决问题；（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，由此即可解决问题.【详解】（1）∵点P（x，y）在第二象限，∴x＜0，y＞0，∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，∴取取正值的是sinα．（2）如图1中，①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，∴sinα+cosα=．综上所述，sinα+cosα=或．（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．由题意PE=，cosα=，∴OP=2，∴OE=，∴tanα=．（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，∴1≤sinα+cosα≤．【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目．1．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此选项正确；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此选项正确；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确；故正确的有4个．故选D．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．2．（2020·四川广元·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1），故此结论正确；（2），故此结论正确；（3）故此结论正确；（4）==，故此结论错误.故选：C．【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.3．（23-24九年级下·湖北·期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列说法正确的有(

)①sinA＞cosA②sin2A＋cos2A＝1③tanA·tanB＝1④tanA＝A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【详解】∵∠C=90°，∴，已知中不知BC与AC在大小关系，故①错误；，故②正确；，故③正确；，故④正确，故选B.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，互余两角的三角函数的关系等，解题关键是熟记各三角函数概念.4．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（

）A．5 B． C． D．2【答案】C【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可．【详解】解：根据题意得：，∴或（舍去），故C正确．故选：C．【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算．5．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题．中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则其面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为5，6，7的面积，从而可以解答本题．【详解】∵S=∴若一个三角形的三边长分别为5，6，7，则面积是：S=，故选A.【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简.6．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知0，则的值为．【答案】1【分析】由分式为0的条件，推导出且，求得．对进行化简，得，将代入其中，得，进而求出．【详解】解：，且．且．且．且．．，．故答案为：1．【点睛】本题主要考查分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系，熟练掌握分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系是解决本题的关键．7．（23-24九年级上·河南周口·期末）若规定，则【答案】【分析】本题考查了特殊角的正弦、余弦值，熟记特殊角的正弦和余弦值是解题关键．根据，利用公式计算即可得．【详解】解：．故答案为：．8．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则．【答案】/【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案．【详解】解：如图，过点A作于，，设，则，，，，根据勾股定理得，，．故答案为：．9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则．【答案】【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用关系式，结合已知条件且，进行求解即可．【详解】解：根据题意，猜想：对任意锐角，都有．证明过程如下：如图，在中，过点作于，则，，，，，，，又，为锐角，，．故答案为：．10．（2023·河北石家庄·九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【详解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：对任意锐角，都有故答案为：1；1；1；111．（23-24九年级上·江苏南京·期末）某校数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过自主思考、合作交流讨论，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD．……思路二如图2，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°……思路三利用科普书上的有关公式：tan（α＋β）＝；tan（α―β）＝；…请解决下列问题（上述思路仅供参考）．（1）选择你喜欢的一种思路，完成解答过程，求出tan15°的值（保留根号）；（2）试利用同样的方法，计算tan22.5°的值（保留根号）．【答案】（1）2－；（2）－1【分析】(1)选择思路2，因为AB＝AC，∠A＝30°，CD⊥AB，可得CD＝AC，设CD＝AC＝x，根据勾股定理可得AD＝3x，所以BD＝AB－AD＝2x－3x＝（2－3）x，从而求解.（2）可设∠ABC=45°，因为AB＝BD，可得∠D=22，5°，设AB＝BD=2．然后求出的值即可.【详解】（1）思路2:

解：由已知AB＝AC，∵∠A＝30°，CD⊥AB，∴CD＝AC＝x，∠BCD=90°-（180°-30°）=15°，则AD2＝AC2－CD2＝（2x）2－x2＝3x2，∴AD＝3x，∴BD＝AB－AD＝2x－3x＝（2－3）x，∴tan∠BCD=tan15°＝＝＝2-3．

（其它思路同样可以）（2）在图1中，，设∠ABC＝45°，AB＝BD＝2，∴∠D＝∠ABC＝22.5°，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝1，∴CD＝1＋2，∴tan∠D=tan22.5°＝＝2－1．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理和求三角函数值，解题关键是熟练运用转化思想和数形结合思想，尤其是构造出15°角和22,5°角的方法.12．（2023·宁夏·校考三模）阅读下列材料，并解答后面的问题．在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．（1）小明学习小组发现如下结论：如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有，则有（2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：

如图2，△ABC的外接圆半径为R，连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°，在Rt△DBC中，∵，∴，同理：，则有请你将这一结论用文字语言描述出来:．小颖学习小组在证明过程中略去了“”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来．（3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题：规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？【答案】（1）csinB，bsinC；（2）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；（3）学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．【分析】（1）由AD=csinB，AD=bsinC可得答案；（2）由结论可总结为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径，据此解答即可；（3）根据题意画出图形如图，则∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，由阅读材料的结论可得：，由此即可求出∠BAC的度数和R的值，进而可求出∠ACB的度数，即得∠ACN的度数，问题即得解决．【详解】解：（1）由AD=csinB，AD=bsinC得：csinB=bsinC；故答案为：csinB，bsinC；（2）由这一结论用文字语言描述出来是：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径．故答案为：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径；（3）如图，由题意得：∠B=45°，BC=千米，AC=千米，设学校的位置为点O，则OA=OB=OC=R，由阅读材料的结论可得：，即，解得：，千米，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=180°－45°－60°=75°，∴∠ACN=15°，即小区A在小区C的北偏西15°的方向．答：学校到三个小区的距离为1千米，小区A在小区C的北偏西15°的方向．【点睛】本题以阅读理解题的形式考查了解直角三角形、圆周角定理等知识，正确理解题意、熟练应用阅读材料提供的计算公式是解题的关键．13．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在中，、、所对的边分别为、、，求证：．证明：如图1，过点作于点，则：在中，CD=asinB在中，根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．【详解】（1）证明：如图2，过点作于点，在中，，在中，，，；（2）解：如图3，过点作于点，，，，在中，又，即，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．14．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，是锐角，，，面积为．(1)求证：(2)若，，，请求出三角形的面积(3)若，，，请求出的值【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）过点A作于点，在中，，即，继而根据三角形的面积公式即可得证；（2）根据（1）的结论代入数据即可求解；（3）根据（1）的结论代入数据即可求解．【详解】（1）证明：过点A作于点，在中，，即．∴（2）解：，（3）解：，，∴，∴【点睛】本题考查了三角函数的应用，掌握正弦的定义是解题的关键．15．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）（1）如图，中，，，平分交于点．利用这个图形可以求的值（结果保留根号）．小明是这样做的：“过点作于，令，……”请按照小明的思路，帮助小明写出完整的解答过程；（2）我们规定：对于锐角，．请根据上述规定求的值，验证（1）中结论的正确性．【答案】（1）；（2）（1）中计算结果正确，验证见解析【分析】（1）通过，可得到△BDE为等腰直角三角形，根据角平分线的性质可得CD=DE，从而求出BD，BC的长度，进而结合角平分线的定义求解即可；（2）根据题意利用公式计算当时的结果，与（1）中的结果对比即可．【详解】（1）∵，∠B=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，根据角平分线的性质可得CD=DE=1，∴，∴BC=AC=BD+CD=，又∵∠BAC=45°，AD平分线∠BAC，∴∠DAC=22.5°，∴在Rt△ADC中，，∴；（2）∵，∴根据题意有：，，∴（1）中计算结果正确．【点睛】本题主要考查运用数形结合的思想求解非特殊角的正切值，仔细审题，理解并运用题中描述的方法是解题关键．16．（2022春·浙江·九年级专题练习）1.某数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．请解决下列问题（上述思路仅供参考）．(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题目思路，将构造15°的过程转化为75°，并可求解；（2）计算出∠DAB=75°，利用tan75°求解．【详解】（1）解：方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=，tan∠DAC=tan75°=．方法二：根据tan（α±β）=．假设α=30°，β=45°代入差角正切公式：tan75°=tan（30°+45°）=．（2）解：在Rt△ABC中，BC=30，AC=60，∴；∴∠CAB=30°∵∠CAD=45°∴∠DAB=75°在Rt△ABD中，∴∴∴CD的高度为．【点睛】本题考查三角函数的计算，通过阅读，类比计算是解题关键．17．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）新版北师八年级（上）数学教材页第题指出：设一个三角形的三边长分别为，则有下列面积公式：（海伦公式）若有一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积；八年级的学生小明发现利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．(1)以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．解：∵一个三角形边长依次为，即，∴____________．根据海伦公式可得：(2)小明是个爱动脑筋的学生，他想，能不能不用公式也可以求解此题呢，首先，他想到，要求面积，若令底为，必须要求高，因此他作了下图，并且作了高，但接下去该怎么做，他就没有思路了，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？

【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据可得的值，最后利用海伦公式即可解答；（2）根据三角形的高线可知。设，利用勾股定理列方程即可解答．【详解】（1）解：∵一个三角形边长依次为，即，∴，根据海伦公式可得：，故答案为，；（2）解：∵是的高线，∴，∵，∴设，则,∵，，∴∴，∴x=1，即，∴在中，，∴．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的高线，海伦公式，读懂题意理解海伦公式是解题的关键．18．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．(1)初步尝试：我们知道：，，

发现结论：（填“＝”或“”）；(2)实践探究：如图1，在中，，，，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长至D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解，解出的正切值．（有必要解题过程）(3)拓展延伸：如图2，在中，，，．求出的值．【答案】(1)，，；(2)(3)【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中作辅助线构造是解决本题的关键.（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论；（2）根据题意，利用勾股定理求，得结论；（3）作的垂直平分线交于E，连接，则，在中，利用勾股定理求出，可求得结果．【详解】（1）解：，，发现结论：；（2）在中，，，，∴，如图1，延长至D，使得，∴，∴，∴，，∴；（3）作的垂直平分线交于E，连接．∴，∴，∴，∵中，，，∴，设，则在中，，解得，即，，∴．19．（2024·山东济宁·校考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如，等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设，是锐角，定义：当时，两角和的余弦公式：．例：计算的值．，两角差的余弦公