专题35 最值模型之费马点模型解读与提分精练（全国）（解析版）

专题35最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.费马点模型 1模型2.加权费马点模型 12 20模型1.费马点模型结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。图1图2图3注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°）证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。【最值原理】两点之间，线段最短。例1．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是．【答案】【分析】将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，由旋转的性质可得，，，，，易得是等边三角形，可得，进而得到，当点H、E、P、C共线时，有最小值，再求出和的长度，由勾股定理可求解．【详解】解：将绕着点A顺时针旋转，得到，连接，过点C作，交的延长线于N，∴，，，，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴当点H、E、P、C共线时，有最小值．∵，，∴，∴，∴．在中，，即点P到三个顶点之和的最小值是．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，构造旋转图形是本题的关键．例2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是边上一动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点连接则的最小值为．【答案】【分析】将绕点D逆时针旋转得到，连接，从而将转化到，当点E、、P、、在同一条直线上时，=取得最小值．【详解】如图，将绕点D逆时针旋转得到，连接，则有：、是等边三角形，=由折叠的性质可知，的运动轨迹是以E为圆心，EB长为半径的圆（如图所示），故当E、、P、、在同一直线上时取最小值；是的中点，、是等边三角形，DC=4，，，的最小值为：==；故答案为．【点睛】本题考查了图形中求最短距离的问题，解题的关键是把所求线段转化到同一直线中求解．例3．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，．∵______，∴为等边三角形，∴，∴，∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______；（3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由；【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______．【答案】问题背景：（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；实际应用；【分析】问题背景：（1）先证明为等边三角形，得到，则，由此可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．（2）由旋转的性质可得，，进而利用三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质得到，则，，即可利用周角的定义得到；（3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论；实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于D，证明是等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理得到，则得最小值为．【详解】解：问题背景：（1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，．∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”．（2）如图2所示，设交于O，由（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，由旋转的性质可得，，又∵，∴∵为等边三角形，∴，∴，，∴，∴，故答案为：；

（3），理由如下：∵，，∴，如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则：，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴；实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于D，由旋转的性质可得，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴得最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，通过旋转构造全等三角形是解题的关键．例4．（2023春·重庆·九年级专题练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)见详解；(3)；(4)．【分析】（1）根据旋转性质得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根据△ABC为等边三角形，得出∠BAC=60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根据勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，根据，根据两点之间线段最短得出点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，点P在CB′上即可；（3）将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根据，可得点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB=2AC=2，根据勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根据∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，根据四边形ABCD为正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直角三角形性质得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根据勾股定理AB′=即可．【详解】（1）解：连结PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′为等边三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案为150°；（2）证明：将△APB逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，∵，∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∴点P在CB′上，∴过的费马点．（3）解：将△APB逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴点C，点P，点P′，点B′四点共线时，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根据勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：将△BCE逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F⊥AB，交AB延长线于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴点C，点E，点E′，点B′四点共线时，最小=AB′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【点睛】本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．例5．（2024·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里．【答案】15+10【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，∵AB=10，∴△ABH的高为5，∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）．【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．模型2.加权费马点模型结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点）证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。例1．（2024·广东广州·一模）如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．

(1)求证：；(2)当的长度最大时，①求的长度；②在内是否存在一点P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：

此时，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，由旋转可得：，∴，∴，∴,过P作于S，则，，∴，则，∴，∴，∵，即，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，由题意，，，，，过点L作垂直的延长线于点Q，，∴，，则，在中，根据勾股定理得，∴的最小值为.【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.例2．（2024·重庆·二模）已知中，点和点是平面内两点，连接，和，．(1)如图1，若，，，求的长度；(2)如图2，连接和，点为中点，点为中点，连接和，若，求证：；(3)若，，当取得最小值，且取得最大值时，直接写出的面积．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点作交于点，证明即可求解；（2）取的中点，连接，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再证明，得出，进而即可得证；（3）将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，根据，当四点共线时，最小，进而确定的位置，根据点在为圆心，为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当取得最大值时，在的延长线上，连接，过点作于点，进而解直角三角形，求得的长，根据三角形面积公式，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点，∵中，∴，，∵，，∴，．又∵，∴∴∴；（2）解：如图所示，取的中点，连接，又∵是，，∴，∵∴，∵，为的中点，∴，在中，∴∴∴即又∵即，∴∴∵∴∴（3）解：∵中，，∴是等边三角形，如图所示，将绕点顺时针转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，∴，，，则是等边三角形，是等边三角形，∵取的中点，则，∵是的中点，，，∴∴当四点共线时，最小此时如图所示，∴∵，∴，∴是直角三角形，∴是直角三角形，∴∵∴∴设，则，，在中，∵是等边三角形，∴，在中，∴∴解得：∴，取的中点，连接，∵∴点在为圆心，为半径的圆上运动，∴，∴当取得最大值时，在的延长线上，连接，过点作于点，在中，，∴，∴，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键．例3．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，，连接交于点F，交于点H．(1)如图1，当点D为中点时，且，求的面积；(2)如图2，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若，在内部有一个动点P，连接、、，直接写出的最小值．【答案】(1)(2)，见解析(3)【分析】（1）过点E作，交的延长线于点M，求得，，，利用计算即可．（2）在上取点M使，连接．则由可证明，从而有，；再由证明，得，则由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作于点C，使得，过点C作于点C，使得，证明，得到，根据勾股定理，得，从而得到，根据两点之间线段最短，得到，得到当共线时，取得最小值，过点A作，交的延长线于点Q，过点A作于点R，则四边形是矩形，利用等边三角形的性质，勾股定理解答即可．【详解】（1）解：过点E作，交的延长线于点M，∵等边，∴，，∵点D为中点,∴，，∵，，，∴，由勾股定理得，解得；∵，，∴，∴．（2）解：．理由如下：在上取点M使，连接．∵是等边三角形，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，∴．（3）解：过点C作于点C，使得，过点C作于点C，使得，根据题意，得，，∴，∴，∴，∴，根据勾股定理，得，∴，∴，∵，∴当共线时，取得最小值，∵，∴，∴，过点A作，交的延长线于点Q，过点A作于点R，则四边形是矩形，∴，∵等边，∴，，∴，∴，故的最小值为．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，含30度直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相应的知识是解题的关键．本题有一定的难度，添加适当的辅助线是解题的关键．1．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M是矩形内一点，且，，N为边上一点，连接、、，则的最小值为______．【答案】【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接、，然后即可得为等边三角形，同理为等边三角形，接着证明当、、三条线段在同一直线上，的值最小，即的值最小，过点作于点E，即最小值为：，问题随之得解．【详解】如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，根据旋转的性质有：，，，为等边三角形，同理为等边三角形，，，，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，即的值最小，如下图，过点作于点E，交于点F，最小值为：，在矩形中，于点E，即可知四边形是矩形，，即，为等边三角形，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定定理与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．2．（2023·广东深圳·二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______．【答案】【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．【详解】∵为正三角形，∴，∴∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴．在和中，∴（SAS）∴在中，又∵，∴为等边三角形，∴．∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=．过点E作交CB的延长线于F，可得．设正方形的边长为x，则BF=，．在，∵，∴解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键．3.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为．【答案】7+2【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：如图：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴即PB2＝12∴∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．4．（2023·四川成都·二模）如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为．​【答案】/【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质是解决此题的关键．【详解】将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，则三点共线，，∴，∴，∵点E是的中点，∴，∵，∴，由折叠成，∴，∴点在以点E为圆心，为半径的圆上，∴，∵两点间线段最短，∴，即，∴，∴，则的最小值为，故答案为：．5．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（

）A． B．36 C． D．【答案】A【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴，∵等边三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴当三点共线时最小，∵∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为，故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．6．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】连接，以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为，过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P，，利用旋转解答即可．【详解】解：连接，根据题意，得，∵，，∴∴，以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为，根据，得对角互补，∴G的运动轨迹为以O为圆心，以为半径的圆的红色圆弧，过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P，则四边形是正方形，且，∴，，取，连接，∵，，∴，且，∴，∴，∴，将四边形绕点A顺时针旋转，则，如图作，∴，∴，∴∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用，熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用是解题的关键．7．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长．材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下：将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为．请结合以上两材料求出的最小值

【答案】【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可．【详解】解：原式可看做下图中的，其中为，则，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，，，，，，为等边三角形，，，，又，∵，∴，∴的最小值为；的最小值为．

8．（2023上·广东珠海·八年级校考期中）综合与实践：【问题情境】学完等边三角形后，老师在课堂上提出了一个问题并证明了：如图1，等边与等边共一个顶点时，无论怎么摆放可通过恒有．于是提出了如下问题．

【问题证明】（1）如图2，M是等腰内一点，N是等边内一点，且满足．求证：是等边三角形．【迁移应用】（2）在（1）的基础上，知点M是等腰内一点，当点M到三角形3个顶点的距离之和，即最小时，我们把M点称为等腰的“紫荆点”．若M是等腰的紫荆点，求．完成以下推导过程：（①填理由；②填线段；③与④填关系式）解：如图3，令，分别是等腰，等边内一点，且满足∴∵是等边三角形∴，由①可知：∴的最小值的最小值=②∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰的紫荆点∴③；④∴

【拓展提升】（3）甲同学发现等腰“紫荆点”的作法：如图5，已知，在AB的左侧作等边．连接，与的角平分线交于点M，点M就是“紫荆点”，甲同学发现是否正确？请说明理由．【答案】（1）见详解（2）①两点之间，线段最短，②③④（3）正确，理由见详解【分析】（1）因为，所以，，因为是等边三角形，则，故，即可证明是等边三角形；（2）依题意，由的最小值的最小值，知道①填写的内容是两点之间，线段最短，即②填写的是；根据，又因为以及邻补角性质，故，因为三角形外角性质，知，结合推导前后内容，即可作答；（3）连接，在上取点N，使，根据是等腰的角平分线，得，结合，所以，证明，得，，证明是等边三角形，，，即可作答．【详解】（1）证明：∵，∴，，∵是等边三角形，则，∴∵，∴是等边三角形；（2）解：如图3，令，分别是等腰，等边内一点，且满足∴∵是等边三角形∴，由两点之间，线段最短可知：∴的最小值的最小值∴如图4，当D、N、M、C在一条直线上时．M是等腰的紫荆点∴；∴

（3）正确，证明如下：如图：连接，在上取点N，使，连接，∵是等腰三角形∴∵是等腰的角平分线，∴∵，∴∴，∵是等边三角形，是等腰三角形∴∴∵∴∴，，∴，∴是等边三角形，则，即，结合“紫荆点”的定义，则甲同学发现是正确的．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、以及等腰三角形的性质和等边三角形的性质与判定，综合性较强，熟练掌握作辅助线证明三角形全等是解题的关键．9．（2024·陕西西安·二模）问题提出(1)如图1，在等边内部有一点P，，，，则______．问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，，，，，，．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且，．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)150°；(2)最小的总费用为元【分析】（1）、将绕点B顺时针旋转60°得，则可得为等边三角形，由勾股定理逆定理可得：，即可求解；（2）、连接BE，BP，EP，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接由（1）方法可得最小，即需最小，所以当A，P，，四点共线时，由勾股定理求解即可．【详解】（1）解：如图3，将绕点B顺时针旋转60°得，则，，为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）如图4，连接BE，BP，EP，修桥梁费用为100a，修观光路费用为．∵，，∴四边形BCQP是平行四边形，四边形PQDE是平行四边形，∴，，∴要使最小，则需最小．将绕点B顺时针旋转60°得到，连接．∴是等边三角形，∴，，∴，当A，P，，四点共线时，最小，∴的最小值为，如图5，延长，过点A作，垂足为点H，∵，，∴．∵，∴，∴，∵，∴，，在中，由勾股定理，得，∴最小的总费用为元．【点睛】本题考查了三角形旋转，等边三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，利用三角形旋转性质作出辅助三角形是解题的关键．10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值．（2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质．（1）连接，由旋转的性质得到，，，再由勾股定理得即可解答．（2）连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，，当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，过点作于点H，交于点M，证得为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到，米，则，再根据勾股定理得的值，设交于点N，过点B作于点Q，易证，即可解答．【详解】解：（1）如图①，连接．根据小明的思路可知，，，则．∵，，在中，，当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为．（2）存在．∵点A，关于对称，米，点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上．如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧．由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，为等边三角形，，∵，米．当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点．过点作于点H，交于点M．∵，为等边三角形，米．∵，，，（米），在中，（米）．易得米，米，则（米），（米），在中，（米），（米），的最小值为300．设交于点N，过点B作于点Q．，，，即，米，米，米，，，，，米，易知当取得最小值时，，在中，（米）．答：的最小值为300，此时的长为米．11．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）课本再现：（1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为________；

图1图2

图3迁移应用：（2）如图2，在正方形中，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求证：；

拓展延伸：（3）如图3，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．

①线段与的数量关系是________②连接，点P为内一点，连接．若，则的最小值为________．【答案】（1）90；（2）见解析；（3）①；②【分析】（1）先证明，可得，从而得到，由此可得答案；（2）过点F作交延长线于点H，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可证明结论；（3）①过点F作，与的延长线交于点H，可证得，从而得到，，，进而得到，，继而得到；②把绕点B逆时针旋转，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作的垂线交的延长线于点H，得为等边三角形，求出,当点四点共线时，的值最小，即的长，可得的最小值为的长，根据勾股定理可求解【详解】解：（1）∵矩形和矩形是全等矩形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：90；（2）如图，过点F作交延长线于点H，∵四边形是正方形，∴，∴，由旋转的性质得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；（3）①过点F作，与的延长线交于点H，∵四边形是菱形，∴，由旋转得，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵，∴，故答案为：；②如图，把绕点B逆时针旋转，点P的对应点为点N，点A的对应点为点M，过点M作的垂线交的延长线于点H，则，∴是等边三角形，∴∴，当点四点共线时，的值最小，最小值为线段的长，∵四边形是菱形，且，∴，，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形、矩形、菱形的性质以及旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键12．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：

(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：；(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值．参考公式：【答案】(1)证明见详解(2)，理由如下(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可求证；（2）过点作上交延长线于点，由等腰直角三角形可得，，由““可证，可得，可得结论；（3）将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作，交的延长线于点，由旋转的性质可得，则当点，点，点，点共线时，的值最小，最小值为的长，由角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解．【详解】（1）解：由题：在中，，，于点，,则也是上的中点，即是的垂直平分线，，，，，，，．（2），理由如下：如图1，过点作交延长线于点，，

，，，，，，，，，，又，，，．（3）如图2，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作，交的延长线于点，，，，，，是等边三角形，，，当点，点，点，点共线时，的值最小，最小值为的长，，，，，，，的最小值为：．【点睛】考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力，用旋转的知识解决几何最值问题，对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行，最值问题常常要通过轴对称和旋转把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决．13．（2023.河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为ABC的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决：（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将BPC绕点B顺时针旋转60°得到BDE，连接PD，可得BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值与线段的长度相等；（2）如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC=90°，连接AE、DE，在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）两点之间，线段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2【分析】（1）连接AE，由两点之间线段最短即可求解；（2）在Rt△ABC中先求出AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等，根据勾股定理即可求解；（3）在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，根据旋转的性质和两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等，再根据圆的特点、菱形与勾股定理即可求出GE，故可求解．【详解】（1）连接AE，如图，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值为线段AE的长故答案为：两点之间线段最短；AE；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△CDE，连接PD、AE，可得△CPD为等边三角形，∠BCE=60°∴PD=PC由旋转可得DE=PB，CE=BC=4∴PA+PB+PC=PA+DE+PD由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°∴在Rt△ACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值为2；（3）存在在ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，如图3，在△ADE内部取一点P，连接PA、PD、PE，把△PAD饶点D顺时针旋转60°得到△FGD，连接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均为等边三角形∴PD=PF由旋转可得PA=GF∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，两点之间线段最短可知，PA+PD+PE的最小值与线段GE的长度相等∵∠BEC=90°∴点E在以BC为直径的O上，如图3则OB=OC==2如图3，连接OG交O于点H，连接CG交AD于点K，连接AC，则当点E与点H重合时，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值为线段GH的长∵菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4∴△ABC、△ACD均为等边三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°∴四边形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30°∴CG、AD互相垂直平分∴DK=AD=2∴根据勾股定理得CK=∴CG=2CK=∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG中，OG=∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值为2-2．【点睛】此题主要考查四边形与圆综合的最短距离，解题的关键是熟知旋转的性质、圆周角定理及两点之间的距离特点．14.（23-24九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至，①求证：；②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小.（2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.

【答案】（1）①证明见解析部分②，（2）【分析】（1）①证明，可得结论；②利用两点之间线段最短以及全等三角形的性质解决问题即可；（2）如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．求出的值，可得结论．【详解】（1）①证明：，，是等边三角形，，，，，，，，，；②解：，当，，，共线时，的值最小，此时，，；（2）解：如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．

，，是等边三角形，，，，当，，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，，，，，，，，，，，．的最小值为．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．15．（2023·湖北随州·统考中考真题）