北师大版八年级下册数学第一次月考试卷

北师大版八年级下册数学第一次月考试卷一．选择题（每题3分，共30分）1． 已知x＞y，则下列不等式成立的是（） A．x﹣1＜y﹣1 B．3x＜3y C．﹣x＜﹣y D．2． 等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（） A．8 B．10 C．14 D．10或143． 用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（） A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤14． 如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（） A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜05． 如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（） A．10 B．16 C．18 D．266． 若不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（） A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤27． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以一个定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝4，BC＝3，则CD的长为（） A． B． C． D．8． 如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x＋b＜kx﹣1的解集是（） A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣19． 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（） A．5 B．6 C．7 D．810．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③二．填空题（每题3分，共15分）11．不等式x﹣2＞1的解集为________．12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：________（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，AB＝8，则BD＝_______．14．如图，直线y＝kx＋b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx＋b≥0的解集是________．15．在第1个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第1个三角形的以A1为顶点的内角的度数为；第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为________．三．解答题（共55分）16．（8分）解不等式（组）：（1）4x＋5≥6x﹣3； （2）．17．（7分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来、说明所有整数解．18．（7分）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a＋1）（b﹣1）的值．19．（7分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，求∠CFA的度数．20．（8分）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1台甲型洗衣机和2台乙型洗衣机，共需要资金2600元；若购进2台甲型洗衣机和3台乙型洗衣机，共需要资金4400元．（1）求甲、乙型号的洗衣机每台进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的洗衣机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；

21．（9分）对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义： 若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是________． Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2）为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是________和________，两者的距离是________．（3）若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝（用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．

22．（9分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为10cm2？（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由（可在备用图中画出具体图形）．

参考答案与试题解析一．选择题1．已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1 B．3x＜3y C．﹣x＜﹣y D．【解答】解：A、根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变．故本选项错误．故选：C．2．等腰三角形的一边长为6，一边长为2，则该等腰三角形的周长为（）A．8 B．10 C．14 D．10或14【解答】解：①当2为底时，其它两边都为6，2、6、6可以构成三角形，则该等腰三角形的周长为14；②当2为腰时，其它两边为2和6，∵2＋2＜6，∴不能构成三角形，故舍去．∴这个等腰三角形的周长为14．故选：C．3．用不等式表示图中的解集，以下选项正确的是（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≥1 D．x≤1【解答】解：由题意，得x≥1，故选：C．4．如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≥1 C．a＜1 D．a＜0【解答】解：由于不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，可知不等号的方向发生了改变：x＜，可判断出a﹣1＜0，所以a＜1．故选：C．5．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（）A．10 B．16 C．18 D．26【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△BDC的周长为18，∴BC＋CD＋BD＝BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝18，∵BC＝8，∴AC＝10，故选：A．6．若不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解答】解：因为不等式组的解集是x＞2，根据同大取较大原则可知：m＜2，当m＝2时，不等式组的解集也是x＞2，所以m≤2．故选：D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以一个定长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝4，BC＝3，则CD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：∵∠C＝90°，由作图方法可知AP是∠BAC的平分线，∴CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△ABC中，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE＝4，∴EB＝1，在Rt△DEB中，∵BD2＝DE2＋BE2，∴（3﹣x）2＝x2＋12，解得：x＝．故选：B．8．如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x＋b＜kx﹣1的解集是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：当x＜﹣1时，x＋b＜kx﹣1，即不等式x＋b＜kx﹣1的解集为x＜﹣1．故选：D．9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°＋∠C；②当∠C＝60°时，AF＋BE＝AB；③若OD＝a，AB＋BC＋CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°＋∠C，①正确；∵∠C＝60°，∴∠BAC＋∠ABC＝120°，∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB＋AC＋BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）•a＝ab，③正确．故选：C．二．填空题11．不等式x﹣2＞1的解集为x＞3．【解答】解：x﹣2＞1，x﹣2＋2＞1＋2，x＞3．故答案为：x＞3．12．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．【解答】解：条件是AC＝AD（答案不唯一），∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，AB＝8，则BD＝2．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，∴BC＝AB＝4，在Rt△BCD中，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BD＝BC＝2．故答案为：2．14．如图，直线y＝kx＋b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx＋b≥0的解集是．【解答】解：由图象可得：当x≤2时，kx＋b≥0，所以关于x的不等式kx＋b≥0的解集是x≤2．15．在第1个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第1个三角形的以A1为顶点的内角的度数为75°；第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝＝75°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝37.5°；同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，∴∠An＝，故答案为：75°；．三．解答题16．解不等式（组）：（1）4x＋5≥6x﹣3；（2）．【解答】解：（1）移项得：4x﹣6x≥﹣3﹣5，合并同类项得：﹣2x≥﹣8，系数化为1得：x≤4；（2），解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3．17．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来、说明所有整数解．【解答】解：，解不等式①，2（2x﹣1）﹣3（5x﹣1）≤12，4x﹣2﹣15x＋3≤12，4x﹣15x≤12＋2﹣3，﹣11x≤11，x≥﹣1，解不等式②，3x﹣1＜2x＋2，3x﹣2x＜2＋1，x＜3，在数轴上表示如下：所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3，整数解有﹣1、0、1、2．18．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，求（a＋1）（b﹣1）的值．【解答】解：解不等式组得2b＋3＜x＜，∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴＝1且2b＋3＝﹣1，解得a＝﹣1，b＝﹣2，则原式＝（﹣1＋1）×（﹣2﹣1）＝0．19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，求∠CFA的度数．【解答】（1）证明：如图，∵∠ABC＝∠CBF＝90°，∴在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°，∴∠CFA＝90°﹣15°＝75°．20．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1台甲型洗衣机和2台乙型洗衣机，共需要资金2600元；若购进2台甲型洗衣机和3台乙型洗衣机，共需要资金4400元．（1）求甲、乙型号的洗衣机每台进价为多少元？（2）该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的洗衣机共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；【解答】解：（1）设每台甲型洗衣机的进价为x元，每台乙型洗衣机的进价为y元，依题意得：，解得：．答：每台甲型洗衣机的进价为1000元，每台乙型洗衣机的进价为800元．（2）设购进甲型洗衣机a台，则购进乙型洗衣机（20﹣a）台，依题意得：，解得：7≤a≤10，又∵a为正整数，∴a可以为7，8，9，10，∴共有4种进货方案，方案1：购进甲型洗衣机7台，乙型洗衣机13台；方案2：购进甲型洗衣机8台，乙型洗衣机12台；方案3：购进甲型洗衣机9台，乙型洗衣机11台；方案4：购进甲型洗衣机10台，乙型洗衣机10台．21．对于平面直角坐标系xOy中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；当QM＝QN＝MN时，称点Q为线段MN的“完美中垂点”．（1）如图1，A（4，0），下列各点中，线段OA的中垂点是Q2．Q1（0，4），Q2，（2，﹣4），Q3（1，）（2）如图2，点A为x轴上一点，若Q（2，2）为线段OA的“完美中垂点”，写出线段OQ的两个“完美中垂点”是A（4，0）和Q′（﹣2，2），两者的距离是4．（3）若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段OA的“完美中垂点”，点P（0，m）在y轴上，在线段PA上方画出线段AP的“完美中垂点”M，直接写出MQ＝m（用含m的式子表示）．并求出∠MQA（写出简单思路即可）．【解答】解：（1）∵若点Q满足QM＝QN，则称点Q为线段MN的“中垂点”；∴Q在MN的垂直平分线上，∵线段OA的对称点在OA的垂直平分线上，且A（4，0），O（0，0），∴线段OA的中垂点横坐标为2，∴Q2（2，﹣4）符合题意，故答案为Q2．（2）如图，当△AOQ，△OQQ′是等边三角形时，点A和点Q是线段OQ的“完美中垂点”，∴A（4，0），Q′（﹣2，2），AQ′＝＝4，故答案为：A（4，0），Q′（﹣2