2025版高中数学第2章数列2.1数列的概念与简单表示法第2课时数列的通项公式与递推公式课时作业案新人教A版必修5

PAGEPAGE1第2课时数列的通项公式与递推公式A级基础巩固一、选择题1．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(A)A．－3 B．－4C．－5 D．2[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是(D)A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点[解析]∵an＝3n－2，n∈N*，∴数列{an}的图象是一群孤立的点．3．在数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(B)A．－eq\f(16,3) B．eq\f(16,3)C．－eq\f(8,3) D．eq\f(8,3)[解析]∵a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，a3＝(－1)3×2×eq\f(2,3)＝－eq\f(4,3)，a4＝(－1)4×2×(－eq\f(4,3))＝－eq\f(8,3)，a5＝(－1)5×2×(－eq\f(8,3))＝eq\f(16,3).4．数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(C)A．eq\f(25,9) B．eq\f(25,16)C．eq\f(61,16) D．eq\f(31,15)[解析]∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).5．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，假如an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(C)A．－7 B．3C．15 D．81[解析]由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5.又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选6．设数列{an}满意a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(D)A．4eq\f(1,5) B．4eq\f(2,5)C．4eq\f(3,5) D．4eq\f(4,5)[解析]由题知：an＋1＝eq\f(2nan－n－1an－1,n＋1)，a3＝eq\f(2×2×3－1,3)＝eq\f(11,3)，a4＝eq\f(2×3×\f(11,3)－2×3,4)＝4，a5＝eq\f(2×4×4－3×\f(11,3),5)＝eq\f(21,5)，a6＝eq\f(2×5×\f(21,5)－4×4,6)＝eq\f(26,6)，故an＝eq\f(5n－4,n).所以a20＝eq\f(5×20－4,20)＝eq\f(24,5)＝4eq\f(4,5).故选D．二、填空题7．已知F(x)＝f(x＋eq\f(1,2))－1是R上的奇函数．an＝f(0)＋f(eq\f(1,n))＋…＋f(eq\f(n－1,n))＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为__an＝n＋1__.[解析]因为F(x)＋F(－x)＝0，所以f(x＋eq\f(1,2))＋f(－x＋eq\f(1,2))＝2，即若a＋b＝1，则f(a)＋f(b)＝2.于是由an＝f(0)＋f(eq\f(1,n))＋…＋f(eq\f(n－1,n))＋f(1)(n∈N*)，得2an＝[f(0)＋f(1)]＋[f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))]＋…＋[f(eq\f(n－1,n))＋f(eq\f(1,n))]＋[f(1)＋f(0)]＝2n＋2，所以an＝n＋1.8．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝eq\f(an＋1,an)构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为__eq\f(5,2)，eq\f(8,5)，eq\f(11,8)，eq\f(14,11)，eq\f(17,14)__.[解析]∵an＝3n－1(n∈N*)，∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n＋2,3n－1).∴b1＝eq\f(5,2)，b2＝eq\f(8,5)，b3＝eq\f(11,8)，b4＝eq\f(14,11)，b5＝eq\f(17,14).三、解答题9．一老汉为感谢梁山英雄除暴安良，带了些千里马要送给梁山英雄，见过宋江后，宋江把老汉带来的马匹的一半和另外一匹马作为回礼送给了他，老汉又去见卢俊义，把现有剩马的一半送给卢俊义，卢俊义也把老汉送的马匹的一半和另一匹马作为回礼送给老汉……始终送到108名英雄的最终一名是这样的，老汉下山回家时还剩两匹马，你知道老汉上山时一共带了多少匹千里马吗？[解析]设老汉上山一共带了a1匹千里马，送给宋江后还剩a2匹，则a2＝eq\f(1,2)a1＋1，再送给卢俊义后还剩下a3匹，则a3＝eq\f(1,2)a2＋1.依次地进行下去，送给第k个人后还剩下ak＋1＝eq\f(1,2)ak＋1，根据题目要求应有a109＝eq\f(1,2)a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2.依次代入递推关系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老汉最初上山带了两匹千里马．B级素养提升一、选择题1．数列{an}满意a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝(A)A．1 B．1999C．1000 D．－1[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．已知数列{an}满意a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，则a20＝(B)A．0 B．－eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵a1＝0，a2＝eq\f(a1－\r(3),\r(3)a1＋1)＝－eq\r(3)，a3＝eq\f(a2－\r(3),\r(3)a2＋1)＝eq\r(3)，a4＝eq\f(a3－\r(3),\r(3)a3＋1)＝0，….至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，…，周而复始．∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－eq\r(3).3．已知数列{an}对随意的p，q∈N*满意ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(C)A．－165 B．－33C．－30 D．－21[解析]由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋4．视察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(B)A．40个 B．45个C．50个 D．55个[解析]交点个数依次组成数列为1,3,6，即eq\f(2×1,2)，eq\f(2×3,2)，eq\f(3×4,2)，由此猜想an＝eq\f(nn－1,2)，∴a10＝eq\f(10×9,2)＝45.二、填空题5．数列{an}满意递推公式a1＝5，an＝eq\f(n,n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前四项依次为__5，eq\f(10,3)，eq\f(5,2)，2__，它的通项公式为__an＝eq\f(10,n＋1)__.[解析]由eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n＋1)(n≥2，n∈N*)，得eq\f(a2,a1)＝eq\f(2,3)，eq\f(a3,a2)＝eq\f(3,4)，…，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n,n＋1)(n≥2，n∈N*)，将以上各式两两相乘得eq\f(an,a1)＝eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·…·eq\f(n,n＋1)＝eq\f(2,n＋1)，所以an＝eq\f(10,n＋1)(n≥2，n∈N*)，又a1＝5符合上式，所以其通项为an＝eq\f(10,n＋1).所以a1＝5，a2＝eq\f(10,3)，a3＝eq\f(5,2)，a4＝2.6．设f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)__.[解析]f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).三、解答题7．(1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝eq\f(an,an＋1)构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．[解析](1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝eq\f(an,an＋1)，∴b1＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(a3,a4)＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(a4,a5)＝eq\f(5,8)，b5＝eq\f(a5,a6)＝eq\f(8,13).8．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋2an＋1an＝0(n∈N*)，求通项公式an.[解析]把(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋2an＋1an＝0分解因式，得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋2)an＋1－n