2024-2025学年新教材高中数学第四章数列4.3.1第1课时等比数列的概念及通项公式课后提升训练含解析新人教A版选择性必修第二册

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础达标练1.等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,则公比q等于()A.2 B.3 C.48 D.2解析等比数列{an}中,a1a2=2,a2a4=16,∴a2·a4a1·a2=q3=8,答案A2.(多选)(2024福建厦门一中高一月考)设{an}为等比数列,给出四个数列:①{2an};②{an2};③{2an};④{log2|an|},其中肯定A.① B.② C.③ D.④解析设等比数列{an}的公比为q,则2an2an-1=aan2a故{an2}取等比数列an=(-1)n,则{2an}的前三项为12,2,12,不成等比数列;此时log2|an|=0,{log2|an故选AB.答案AB3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8 C.4 D.2解析设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a1>0且q>0,则可得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.答案C4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4 B.-6 C.-8 D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴a32=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=()A.2n-1 B.32n-1 C.解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32.又S1=a1=1,所以S答案B6.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.

解析设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=132,∴q=1∴这4个数依次为80,40,20,10.答案80,40,20,107.在数列{an}中,已知a1=3,且对随意正整数n都有2an+1-an=0,则an=.

解析由2an+1-an=0,得an+1an=12,所以数列{an}是等比数列,公比为12.因为a1=3,答案3·18.在等比数列{an}中,若a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=18×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4答案±49.已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2bn=an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.(1)证明由log2bn=an,得bn=2a因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,则bnbn-1=2an2an-1=2an-(2)解由已知,得a解得a1=-1,d=4,于是b1=2-1=12,公比q=2d=24=16,所以数列{bn}的通项公式10.已知数列{an}满意a1=1,an+1=2an+1.(1)证明:数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.∴an+1+1an+1=2(∴数列{an+1}是等比数列.(2)解由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.实力提升练1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16 B.15 C.14 D.12解析依题意,得2b=答案D2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9 B.10 C.11 D.12解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.(多选)(2024山东滕州第一中学新校高二月考)已知数列{an},{bn}是等比数列,那么下列肯定是等比数列的是()A.{k·an} B.1C.{an+bn} D.{an·bn}解析由题意,可设等比数列{an}的公比为q1(q1≠0),则an=a1·q1n-1,等比数列{bn}的公比为q2(q2≠0),则bn=b对于A,当k=0时,{k·an}明显不是等比数列,故A错误;对于B,1a∴数列1an是一个以1a1为首项,1q1对于C,举出反例,当an=1,bn=-1时,数列{an+bn}不是等比数列,故C错误;对于D,an·bn=a1·b1(q1·q2)n-1,∴数列{an·bn}是一个以a1b1为首项,q1q2为公比的等比数列,故D正确.故选BD.答案BD4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则a2-a1解析由题意,得a2-a1=-1-(-7)3=2,b22=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.

解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=-1+答案-6.若数列a1,a2a1,a3a2,…,anan-1,…是首项为解析由题意,得anan-1=(-2)n-1(n≥2),所以a2a1=-2,a3a2=(-2)2,a4a3=(-2)3,a5a4=(-2)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得a5a1=(-2答案327.已知各项都为正数的数列{an}满意a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解(1)由题意可得a2=12,a3=1(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以an+1an=12.故{因此an=12n-1,n8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,(1)求证{an}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,∴an+1=2an.由已知及上式可知an≠0.∴由an+1an=2知{a由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.(2)由(1)知,an=-2n-1,∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.bn+1bn=-4×2n-素养培优练已知数列{cn},其中cn=2n+3n,数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p.解因为数列{cn+1-pcn}为等比