第14讲 实数的运算（5种题型）（原卷版）

第14讲实数的运算（5种题型）【知识梳理】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【考点剖析】题型一：实数的混合混算例1.计算：（1）＝___.（2）4+＝___．（3）的立方根为___．（4）如果的平方根是±3，则＝___．【变式1】如图边长为2的正方形，则图中的阴影部分面积是______．【变式2】若与互为相反数，则________．【变式3】计算：|﹣|﹣．【变式4】（2022·浙江金华·七年级期末）计算：(1)(2)【变式5】计算：(1)；(2)．【变式6】（2022·浙江台州·七年级期中）计算【变式7】（2022·浙江台州·七年级期中）计算：(1)；(2)．题型二：程序设计与实数运算例2.按如图所示的程序计算，若开始输入的x为，则输出的结果为________．【变式1】如图所示是计算机程序计算，若开始输入x＝﹣3，则最后输出的结果是____．【变式2】如图，是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果应为______________．【变式3】（2022·浙江台州·七年级期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x为9时，y值为；(2)如果输入0和1，（填“能”或“不能”）输出y值；(3)当输出的y值是时，请写出满足题意的x值：．（写出两个即可）题型三：新定义下的实数运算例3．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（

）A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使【变式1】任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作，，这样对72只需进行3次操作即可变为1，类似地，对81只需进行（

）次操作后即可变为1．A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（）A．﹣ B．﹣ C． D．【变式3】（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）现规定一种运算：，其中，为有理数，则等于(

)A．a2－b B．b2－b C．b2 D．b2－a【变式4】（2022·浙江杭州·七年级期中）用“”定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：，那么20225＝________；当m为实数时，＝________．【变式5】（2022·浙江·七年级专题练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，那么计算：=__．【变式6】（2022·浙江绍兴·七年级期末）如，我们叫集合M．其中1，2，x叫做集合M的元素，集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，我们说．已知集合，集合，若，则的值是______．【变式7】定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如．（1）求的值．（2）求的平方根．【变式8】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．题型四：实数运算的实际应用例4.如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．【变式1】设x，y是有理数，且x，y满足等式，则的平方根是___________.【变式2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．【变式3】已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中．（1）求_______________．（2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形．【变式4】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.题型五：与实数运算相关的规律题例5.如图将1、、、按下列方式排列．若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（

）．A．1 B． C． D．【变式1】将实数按如图所示的方式排列，若用表示第m排从左向右数第n个数，则与表示的两数之积是________1（第1排）

（第2排）

1

（第3排）

1

（第4排）

1

（第5排）【变式2】若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则…＝_____．【变式3】借助计算器计算下列各题：(1)＝_____；(2)＝_____；(3)＝______；(4)＝______；(5)根据上面计算的结果，发现＝______________．(用含n的式子表示)【变式4】已知：，求的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•鄞州区校级月考）若a＝﹣，b＝，则a﹣b＝（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣62．（2022秋•杭州期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤a与b两数的平方和表示为a2+b2．其中错误的是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．③④⑤3．（2022秋•西湖区校级期中）如果a，b是2022的两个平方根，那么a+2ab+b的值是（）A．0 B．2022 C．4044 D．﹣40444．（2022秋•吴兴区期中）下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋•西湖区校级月考）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为3的是（）A．a＝0，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝4，b＝1 D．a＝9，b＝06．（2021秋•余姚市校级期中）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对100只需进行多少次操作后变为1（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共12小题）7．（2022秋•滨江区校级期中）已知x，y是两个不相等的有理数，且满足等式；（3﹣1）x＝3﹣y，则x＝，y＝．8．（2022秋•东阳市期中）如图，是一个计算程序，若输入的数为，则输出的结果应为.9．（2022秋•镇海区校级期中）计算：＝．10．（2022秋•上城区校级期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为．11．（2021秋•柯桥区期末）根据图示的对话，则代数式3a+3b﹣2c+2m的值是．12．（2021秋•浙江期末）计算：+＝．13．（2021秋•东阳市期末）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则2022a+2021b+mnb+k2的值为．14．（2022秋•宁波期中）任意写出两个无理数，使它们的和为2：．15．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为．16．（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝．17．（2022秋•青田县期中）计算：﹣＝．18．（2022秋•新昌县期中）已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a是的整数部分，则的值是．三．解答题（共7小题）19．（2022秋•鄞州区期中）初中阶段，目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式：（1）＝；（2）＝；（3）＝．20．（2022秋•余杭区校级期中）计算：（1）+；（2）．21．（2022秋•婺城区期末）计算：．22．（2022秋•鄞州区校级月考）计算：（1）﹣；（2）4+（﹣3）2×2﹣．23．（2022秋•杭州期中）（1）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，，．则a＝；b＝；c＝