第08讲 垂径定理（原卷版）

第08讲垂径定理【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【考点剖析】一．垂径定理（共9小题）1．（2023•荆州模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣4，﹣2），则点N的坐标为（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）2．（2023•西湖区校级模拟）如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是（）A． B． C．3 D．3．（2022秋•杭州期末）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，，则△ODE的面积为（）A．4 B． C． D．4．（2023•杭州模拟）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，则⊙O的直径为（）A．9 B． C． D．125．（2023•衢州一模）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝2cm，DE＝7cm，则AB的长为（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm6．（2022秋•杭州期末）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．7．（2023•桐乡市一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（2023•天台县一模）如图，AB是半圆O的直径，P是AB上的动点，CP⊥AB交半圆于点C，已知AB＝2，则OP+PC的最大值是．9．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求证：DF＝AB．（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．二．垂径定理的应用（共12小题）10．（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2023•杭州一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm12．（2023•金华模拟）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．13．（2022秋•滨江区期末）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．（1）求这个管道横截面的半径．（2）求∠AOB的度数．14．（2023•鹿城区校级三模）如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求AB所在圆的半径为（）A．50mm B．50.5mm C．51mm D．51.5mm15．（2023•沂南县二模）如图是美妆小镇某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，则香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm16．（2023春•乐清市月考）如图1，是某隧道的入口，它的截面如图2所示，是由和矩形ABCD组成，且点B，​C也在所在的圆上，已知AB＝4m，M是BC的中点，此时隧道的最高点P离地面BC的距离MP＝8m，则该道路的路面宽BC＝m；在上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若点E是的中点，则这两排照明灯离地面的高度是m．17．（2023•长兴县一模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝米．18．（2023•松阳县二模）课堂上，师生一起探究用圆柱形管子的内径去测量球的半径．嘉嘉经过思考找到了测量方法：如图，把球置于圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高CD＝12cm，底面内径BC＝8cm，球的最高点E到瓶底的距离为20cm，则球的半径为cm．​19．（2023•南浔区一模）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5cm，水面宽AB＝8cm，则截面圆心O到水面的距离为cm．20．（2023•瑞安市模拟）如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现∠AFC＝90°．测得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，则所在圆的半径为米，所在圆的半径为米．21．（2022秋•温州期末）根据素材解决问题．设计货船通过圆形拱桥的方案素材1图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m．素材2如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（米）与货船增加的载重量x（吨）满足函数关系式．问题解决任务1确定桥拱半径求圆形桥拱的半径任务2拟定设计方案根据图3状态，货船能否通过圆形拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？

【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江衢州·统考一模）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金华·统考一模）如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金华·统考一模）一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（

）A．8 B．7 C．6 D．54．（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．（2023·浙江·一模）如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度，则该截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．26．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，点C是弧的中点，点D在的延长线上，连接交⊙O于点E，若，则（）A．20° B．2° C．25° D．30°7．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（

）．A．点 B．点 C．点 D．点8．（2023秋·浙江·九年级期中）如图，是以为直径的半圆上一点，连接，，分别以，为边向外作正方形，，，，弧，弧的中点分别是、、、，若，，则（

）A． B． C．11 D．159．（2021秋·九年级校考期中）AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或410．（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面上取点C，作射线交弧（主桥拱）于点D，右边画出了与关于长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．桥拱的最高点与桥面的实际距离约为210米B．桥拱正下方的桥面的实际长度约为500米C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上段的实际长度约200米二、填空题11．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知的半径为，弦，且，则弦和之间的距离为_______．12．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）五水共治办公室在一次巡查时测量一排水管的排水情况，如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为，半径是，有水部分弓形的高为，则______．13．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为_____．14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．15．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为_______．16．（2021·浙江·九年级自主招生）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，M，N都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是_________．17．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．18．（2020秋·浙江·九年级期中）在半径为5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD间距离为____三、解答题19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；探究一：(1)若小红同学以为顶点求出了函数表达式是__________．(2)在（1）条件下，求出该抛物线在水面中的倒影所在抛物线函数表达式为____________．(3)一艘宽为米，高出水面米的货船，能否从桥下通过？探究二：(4)若已知桥洞的拱形是圆的一部分，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，该圆半径为__________．20．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．（1）若，，求的长；（2）若，且，求弦的长；21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．(2)已知的半径为4，，求弦的长．22．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为．(1)请用尺规作图，作出圆弧所在圆的圆心O，并计算圆的半径；(2)当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，水面离拱顶只有，即时，试通过计算