初中数学变式教学的理论与案例分析-2016

初中数学变式教学的理论与案例分析华东师范大学数学系鲍建生欢送投稿编辑部电子信箱：在线视频介绍〔忻重义〕：引子1：青浦实验中的变式教学证明等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等腰三角形.ABC第1步：利用情境变式激发探究兴趣A原題：∠B=∠C,求证：AB=AC.情境性变式：小强想证明下面的问题：“有两个角〔图中的∠B和∠C〕相等的三角形是等腰三角形〞.但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的∠C和边BC.请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？BC第2步:学生独立探究问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗方法1：量出∠C的大小;作∠B＝∠C;则∠B的一条边和∠C的一条边的延长线交于点A.方法2：作边BC的垂直平分线与∠C的另一边的延长线交于点A.方法3：如图，将长方形纸片对折使点B和点C重合，找到∠C与折痕的交点A第3步：证明定理学生自己发现的不同证法：：证法2：过A作AD垂直于BC,

证明△ABD≌△ACD证法5：证明

△ABC≌△ACB证法4：（反证法）：

假设AB>AC,那么

∠C>∠B.证法1：作∠A的平分线，然后证明：△ABT≌△ACT錯誤!证法3：过A作BC边上的中线，证明：引子2：铺垫与脚手架有层次的推进可以保存在头脑中脚踏实地目标驱动途徑单一,进度不同跳来跳去临时的风险大活动驱使多种途徑，多种进度引子3：数学思维的特征数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种表达形式；基于变式的化归是数学问题解决的根本思路；提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一引子4：变式教学存在的问题变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多老师都是在不自觉地运用变式教学的思想。需要把变式教学变成一个自觉的行为变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变成了单纯的变式训练。应该通过变式教学，拓展学生的思维许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变式问题。寻找变式教学设计的有效工具变式教学的目的是针对最近开展区构建教学支架，但有的变式活动成为“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里〞应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法一、中国的变式教学与西方的变易理论中国数学变式教学中的各种变式

概念性变式

过程性变式

概念变式

非概念变式

标准变式

非标准变式

问题解决的变式化归

解题三部曲

铺垫教学

精致练习

马顿的变易理论为了认识某个事物，就必须注意到这个事物与其他事物之间的不同。为了注意这个事物与其他事物在某个属性上的不同，这个属性就必须在某个维度上发生变化。在所有其他属性都保持不变的情况下，这个差异才可以被识别出来。————F.Marton变式教学与变易理论的联系有效教学变式教学变易理论数学任务学习空间知识结构思想方法学科能力概念理解技能训练问题解决灵活性适应性创造性整体属性样例部分基于关键属性的教学设计拓展学习空间例子属性部分整体关键属性课堂教学设计与研究的工具多维度的学习空间确定最近发展区扩展思维空间构建知识网络聚焦核心概念加深数学理解二、变式教学的案例分析案例1：无理数的学习空间关键属性2：背景几何方程函数小数极限关键属性4：应用方程问题不等式问题函数问题关键属性3：算与证结构：代数，序，拓扑证明：不能写成整数之比性质：封闭性，稠密性算法：加减乘除关键属性1：形式特例：√2，π无限不循环小数数轴上的点变式：2+π教学路径〔1〕1.背景：正方形2.形式：数轴上的点01a23.形式：小数估计教学路径〔2〕4.算与证：可以写成两个整数之比吗？5.形式：无限不循环小数比照：有限小数和无限循环小数都可以写成分数6.形式：根号教学路径〔3〕7.形式：还有其它这样的数码？教学路径〔4〕8.算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数码？拓展：的表示案例2：等腰三角形属性1：导入三角形的分类对称性生活图案属性2：性质定义边角关系三线合一轴对称属性3：典型例题作图与构造：镰刀图形判定形状：作业布置度量计算：属性4：问题情境折剪问题拼图问题对称问题折纸对称与运动：运动问题案例3：二次函数属性1：导入一次函数抛物线二次方程属性2：性质零点开口方向对称性单调性属性3：典型例题根的分布：解析式：待定系数法对称性：数学变换属性4：问题情境抛物线问题最值问题几何问题面积问题因式分解：运动问题顶点案例4：平方差公式属性1：导入简化计算面积多项式乘法属性2：形式字母代数式抽象符号逆向变形属性3：典型例题对称性：算法：几何：属性4：问题情境计算问题化简问题几何问题添项与减项因式分解：方程问题数字案例5：不等式性质属性1：导入等式的性质天平数轴属性2：性质乘除正数乘除负数乘方不等式的定义属性3：典型例题非负数：三角形代换差比较法：商比较法换：属性4：问题情境解不等式路程问题度量问题数的大小关系取值范围：最值问题加减法案例6：概率的意义属性1：导入数学问题实验操作日常经验属性2：性质规律预测量化误差属性1：典型问题情境投硬币与骰子产品检验摸球与彩票故事几何变异案例7：平行线性质属性1：导入数学问题实际情境讨论三线八角属性2：性质内错角同旁内角唯一性三角形内角和属性3：基本图形“F”形“Z”形“E”形属性4：问题情境几何问题拼图问题折纸问题由判定定理导入“Σ”形运动问题调味酱三、变式教学的理论根底变式教学是中国数学教学的特色之一1.有助于形成良好的认知结构双基典型例题数学思想方法2.在较大的认知单元上工作课例：“二元一次方程组的应用〞复习课例5例4例6例3例7例2例8例1原设计新设计例5例4例6例3例7例2例8例13.设计奠基性数学活动〔林福来〕由圆柱和圆锥的体积推测圆台的体积公式？4.聚焦根源性问题〔化归思维〕5.举一反三与一以贯之原始问题变式1变式2变式3关于变式教学的研究历程顾泠沅(1977–1990).上海青浦实验顾泠沅(1991).学会教学.人民教育出版社

鲍建生,黄荣金,易凌峰

&顾泠沅(2003).变式教学研究.数学教学,1-3

聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究.华东师大博士论文GuL.,Huang,R.&Marton,F.(2004).BiansheJiaoxue(Teachingwithvariation):Aneffectivewayofmathematicsteachingin