2024年浙江宁波效实中学强基自主招生数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年浙江省宁波市效实中学强基招生数学试卷一、填空题（每空4分）1．已知是关于的方程的根．当时，，=．2．已知实数，，满足，则的最小值为，此时．3．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是．4．如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则．5．记．若，则．6．若一条直线过的内心，且平分的周长，则该直线分所成的两个图形的面积之比为．7．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有人．8．如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有个．9．用表示自然数的数字和，例如：．若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值是．10．把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是．11．若实数，满足，则的取值范围为．12．已知，若关于的方程与都有解，且两个方程的解完全相同，则实数的取值范围是．二、解答题（每题15分）13．已知函数在时有最大值1．(1)求实数，的值；(2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值．14．如图，在中，是边上的高，为上一点，连结并延长交于，连结并延长交于．求证：．15．设，已知关于的方程．(1)若方程有实根，求证：，，不能成为一个三角形的三条边长；(2)若方程有实根，求证：；(3)当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数，，的值．16．如果有理数可以表示成（其中、是任意有理数）的形式，我们就称为“世博数”．(1)两个“世博数”、之积也是“世博数”吗？为什么？(2)证明：两个“世博数”、之商也是“世博数”．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．或【分析】本题考查解一元二次方程，已知字母的值求代数式的值．把代入方程得到，运用因式分解法解方程即可求出，再代入式子即可解答．【详解】解：当时，方程为，整理得：，则，，∴或即或，当时，；当时，；的值为．故答案为：或；．2．####【分析】本题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是整体思想的应用．根据，得出，即可求出的最小值，根据得出，即可求解．【详解】解：，，当且仅当时取等号，的最小值为，此时，则，，．故答案为：；．3．【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】解：，，又，，即，若该方程有两个相等的实数根，则，由得：，由得：或，；若该方程有两个不等负根，则，解得：．故答案为：，a>0．4．##【分析】此题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识．由是半圆的直径得到，由得到，求出，由是的中点得到，则，得到，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案．【详解】解：是半圆的直径，，，，，是的中点，，，，，．故答案为：．5．4【详解】本题考查了分式的加减运算，运算量有点大，正确进行计算是解题的关键．先把三项的分母展开，再通分，并用其中的用代替，化简即可．【解答】解：根据题意，可知、、均不为0，，，．故答案为：4．6．【分析】本题考查三角形的内切圆与内心．由内心到三角形三边的距离都相等，将三角形被分成的两部分图形面积分别用以这距离为高的三角形的面积和表示，可得结论．【详解】解：通过图可看到，过内心的直线将的周长平分．设的周长为，内切圆半径为，则左边部分的面积为，同理右边部分的面积也为，该直线分成的两个图形的面积相等，该直线分所成的两个图形的面积之比为，故答案为：．7．100【分析】本题考查了推理与论证，因为是求得最多是多少人，且如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，根据体重和身高两个条件找出答案即可．【详解】解：取100个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就是最轻者，次高者同时也就是次轻者，…，第高者同时也就是第轻者，显然这100个小伙子都是棒小伙子．故答案为：100．8．9【分析】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了分类讨论思想的准确应用，本题中根据讨论x，y的值是解题的关键．设两直角边为x、y，则斜边为，则，讨论x、y的值，进行求解．【详解】解：设该直角三角形三边长为、、，其中，由勾股定理得：，，显然为大于1且小于401的奇数，为大于1小于20的奇数，，即满足题意的直角三角形有9个．故答案为：9．9．97【分析】本题考查数字类规律探究，对数字在不同数位上所代表的值的理解是解题的关键；列出，，80时的值，再判断且n为自然数时的取值情况，即可得解．【详解】解：因为，，，，，，，，，当且为自然数时，，当且为自然数时，，∵，，，，……若对任意自然数，都有，则满足这个条件的最大的两位整数的值为．故答案为：．10．红桃【分析】本题考查逻辑与推理，理解操作方法是解决本题的突破点；得到所剩牌的规律是解决本题的难点．经过实验可知，扑克牌为张时，总能剩下牌的最后一张，那么张牌，先数出张后，还剩张，那么数出张后的最后一张牌就是所剩的牌．【详解】解：将54张牌按照上述顺序依次标号为，∵步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，∴如果扑克牌的张数为、、……，依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张，∵比小的最大的的幂次方是，，∴第一轮先丢掉张牌，此时放到牌堆最底下的是原第张牌红桃，牌堆剩下张牌，∴经过题中步骤最后留下的就是红桃故答案为：红桃．11．【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次函数的性质．首先根据二次根式中被开方数的非负性质可得、，所以可得，然后再分当和a>0两种情况讨论．【详解】解：由题意易知，，显然时，，当时，不妨设，此时，解得：，由，可得：，由，可得：，，则，若，则，则，不符合题意，若，则，则，也不符合题意，，即，易知时，，，令，则，由二次函数的性质可知，综上，的取值范围为．故答案为：．12．【分析】本题主要考查了根的判别式的应用，正确理解根的判别式和方程的解的关系是解题的关键．由得，进而可得，根据两个方程的解完全相同，可得有实数根，此时要么没有实根，要么实根是方程的根，由此求出实数的取值范围．【详解】解：，，，，即，∴，由题意可知有实根，①当时，有，即，令，即，符合要求；②当时，有解，则，解得，要满足题意，此时要么没有实根，要么实根是方程的根，若没有实根，则，解得；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有，解得，再代入得，，综上所述，的取值范围是：故答案为：．13．(1)(2)【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．（1）根据时函数有最大值，即可求出b的值，根据时有最大值1，代入求出c的值即可；（2）先求出，，根据、是关于的方程的两个根得到，求出或或，根据即可求出答案．【详解】（1）解：∵时函数有最大值，，，又时有最大值1，代入得，，故．（2），，又，，．，，，、是关于的方程的两个根，，或或，，．14．证明见解析【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形全等的判定与性质等知识，过作的平行线，分别交、、、的延长线于点、、、，根据平行线分线段成比例推出，再根据是高，推理出，即可证明，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．【详解】证明：如图，过作的平行线，分别交、、、的延长线于点、、、，，，，，，，，，，，，点、在直线上，，，，在和中，，，，即．15．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系．（1）根据方程有实根得，由进一步得到．即可证明结论；（2）设，由，且，又由（1）知，即可得到二次方程的实根都在与之间，结论得证；（3）由根与系数关系有，，得．由（2）知，故得，则．得到，由即可求出．【详解】（1）解：由方程有实根得，，即，由，得，即．所以，，，不能成为一个三角形的三边．（2）设，则，且，由（1）知，所以二次方程的实根都在与之间，即．（3）由根与系数关系有，，得．由（2）知，故得，．，由，解得．16．(1)是“世博数”，见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握“世博数”的概念是解题的关键．（1）先将有理数变形为，可知“世博数”（其中p、q是任意有理数）．两个“世博数”a、b，不妨设，，其中j、k、r、s为任意给定的有理数．再求出a、b之积，然后根据“世博数”的定义判