人教版八年级数学上册整式的乘法与因式分解《乘法公式：平方差公式》公开课教学课件

第十四章整式的乘法与因式分解平方差公式1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式.2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．

预习目标

初春时节，小萌的父亲在自家院子里圈了一块地准备尝试种植脐橙，她帮父亲测得这块地长是10.3米，宽是9.7米，她的父亲要他帮助算一下这块地的面积，她脱口而出面积是99.91平方米，父亲惊讶地问：“你是怎么算得这么快？”小萌说：“我利用了数学课上刚学过的一个公式.”数学与生活多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.议一议：多项式与多项式相乘的法则活动一以前，狡猾的灰太狼，把一块长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植。今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了。懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了。过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了。这是为什么呢？喜羊羊与灰太狼小故事4米4米a米(a-4)(a+4)米相等吗？原来现在面积变了吗？面积变了吗？a2(a+4)(a-4)

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(a+b)(a−b)=a2−b2平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.

相同为a

相反为b注：这两个数可以是两个单项式也可以是两个多项式．(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)aba2-b21x-3aa1

0.3x1(a-b)(a+b)(0.3x-1)(1+0.3x)找一找、填一填例1：运用平方差公式计算

注意

1、先把要计算的式子与公式对照2、哪个是a；哪个是b练习：

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为b小结相同为a

适当交换合理加括号平方差公式(1)(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；

(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？等号的左边：两个数的和与差的积，等号的右边：是这两个数的平方差.=a2－4=4x2－1活动二探究平方差公式平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a－b)=a2－b2.a2－ab+ab－b2=公式变形:1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)特点：

☆具有完全相同的两项☆具有互为相反数的两项平方差公式在结构上有什么特点？1、(a–b)(a+b)2、(b+a)(-b+a)3、(-a+b)(-a-b)4、(a-b)(-a-b)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是()（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a)；（3）(－a+b)(a－b)；（4）(x2－y)(x+y2)；（5）(－a－b)(a－b)；（6）(c2－d2)(d2+c2).（2）（5）（6）练一练

请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(a－b)=a2－b2图1图2活动三动手操作验证平方差公式1、运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2).(2)(b+2a)(2a－b).

解

(1)(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4.(2)(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.只有符合(a+b)(a－b)的形式才能用平方差公式活动四新知运用2.计算(1)102×98.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).解（1）102×98=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996.解：原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)

=y2－22－y2-5y+y+5

=-4y+1.利用平方差公式计算：原式=(-2y-x)(-2y+x)=4y2－x2.解：原式=(5+2x)(5-2x)=25－4x2.解：原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]=(x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x.解：

解：原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2+0.25)=(0.25－x2)(0.25+x2)=0.0625－x4.（4）100.5×99.5.解：原式=(100+0.5)(100-0.5)=10000-0.25=9999.75.（5）（0.5-x)(x+0.5)(x2+0.25)1．下列运算中正确的是（）

A．B．

C．D．【解析】选B.在A中3a＋2a＝5a；C中；

D中.7.已知a-b=1,则a2－b2－2b的值为()A．4 B．3C．1 D．0【解析】选C.a2－b2－2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.活动五达标训练3.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___________．【解析】图甲的面积=（a+b）(a-b)，图乙的面积=a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.答案:（a+b）(a-b)=a2-b2

原式=(100-1)(100+1)×10001=(10000-1)(10000+1)=100000000-1=99999999.4.计算99×101×10001.

解：5.化简：(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)=（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)=(x16-y16)(x16+y16)=x32-y32.解：选择选择下列各式中,能用平方差公式运算的是()A.(-a+b)(-a-b)B.(a-b)(b-a)

C.（100+8)(100-7)2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是()A.(x-2y)(2y+x)B.(-x+2y)(-x-2y)C.(-2y-x)(x+2y)D.(-2b-5)(2b-5)AC火眼金睛D.(x+y-1)(x+y-1)我能行!我能行!运用平方差公式计算：1、(m+n)(-n+m)=2、(-x-y)(x-y)=3、(2a+b)(2a-b)=4、(x2+y2)(x2-y2)=5、51×49=m2-n2位置变化y2-x2符号变化4a2-b2系数变化x4-y4指数变化2499无中生有(a+b)(a-b)=a2-b2练习3：判断正误练习3：判断正误（1）(2b+a)(a-2b)=4b2-a2()（2）(m–n)(-m-n)=-m2-n2()（3）(x+y)(-x-y)=x2-y2()（4）（a-b+c)(a-b-c)=

(a-b)²-c²

（√）a2-4b2n2-m2-x2-2xy-y2×××（5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2-9b2()√大显身手大显身手

完成下列填空

1、()()=4x2-9y2

2、（5+a）()=25-a²a²-b²=(a+b)(a-b)

公式逆用（1）(a+3b)(a-

3b)=(9x2－16)

－(6x2+5x

-6)=3x2－5x-10（2）(3+2a)(－3+2a)（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(－y－2x2)(－2x2+y)计算下列各式（3）2009×2007－20082当堂训练小试牛刀小试牛刀例2计算：⑴102×98;⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);⑴102×98动脑筋！谁是a?谁是b?102=(100+2)98(100-2)=1002-22=10000-4=9996⑵(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)动脑筋！yyyy22=y2

-2215-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1灵活运用平方差公式计算：1、(3x+4)(3x-4)–(2x+3)(3x-2);2、(x+y)(x-y)(x2+y2);（）化简(x4+y4)(x4+y4)(x4+y4)拓展提升挑战极限挑战极限

(2+1)(22+1)(24+1)

挑战极限挑战极限喜羊羊同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积式乘以（2-1）得：

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1挑战极限挑战极限你能根据上题计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22n+1)的结果吗？

运用平方差公式解：（1）(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

==x2-4y2

例1运用平方差公式计算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)运用平方差公式解：（2）(-3x-1)(3x-1)(a+b)(a-b)原式=(-1+3x)(-1-3x)=(-1)2-(3x)2=1-9x2(-3x-1)(3x-1)原式=-(3x+1)(3x-1)=-［

(3x)2-12］

=-(9x2-1)

=-9x2+1

例1运用平方差公式计算：（1）(-x+2y)(-x-2y)；（2）．(-3x-1)(3x-1)a2-b2(a+b)(a-b)a2-b2巩固平方差公式例2

计算：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)

；

解：（1）(-y+2)(-y-2)-(y-1)(y+5)=(-y)2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行。巩固平方差公式例2

计算：

（2）102×98．解：(2)102×98=(100+2)×(100-2)=1002-22=10000-4=9996巩固平方差公式练习运用平方差公式计算：（1）(6x+2)()=36x2-4；（2）

(a-b)()=b2-a2.

6x-2-a-b

初春时节，小萌的父亲在自家院子里圈了一块地准备尝试种植