2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−4<x≤1}，N={x|−1<x<3}，则M∪N=(

)A.{x|−4<x<3} B.{x|−1<x≤1} C.{0,1,2} D.{x|−1<x<4}2.下列关系中正确的个数是(

)

①12∈Q；②2∉R；A.1 B.2 C.3 D.43.“a>0”是“函数f(x)=ax+b(a≠0)单调递增”的(

)A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.设x=2a(a+2)，y=(a−1)(a+3)，则两数最精确的关系是(

)A.x>y B.x≥y C.x<y D.x≤y5.若a，b∈R，则下列命题正确的是(

)A.若a>b，则a2>b2 B.若a≠b，则a2≠b2

C.若a<|b|6.一元二次不等式2x2−x−1<0的解集是A.(−∞,−12)∪(1,+∞) B.(−1,12)7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是(

)A.y=|x|，u=v2 B.y=x2，s=(8.函数y=|x−3|−|x+1|的(

)A.最小值是0，最大值是4 B.最小值是−4，最大值是0

C.最小值是−4，最大值是4 D.没有最大值也没有最小值9.若实数x>0，y>0，且x+2y=1，则yx+y+1A.有最大值为73 B.有最小值为2+12

C.10.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0,−1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么|f(x+1)|<1的解集的补集是(

)A.(−1,2) B.(1,4)

C.(−∞,−1)∪[4，+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知集合A={x|1<x<2}，B={x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是______．12.用符号语言表示命题：对于所有的实数x，满足x2−x+1=0：______；该命题的否定为______．13.已知x>1，则y=x+4x−1−114.若不等式ax2+2x+a<0对一切x∈R恒成立，则a15.已知f(x)是偶函数，当x<0时f(x)=x(x+1).则当x>0时f(x)=______．16.f(x)=x2+1,x>0−2x,x≤0，若f(x)=10，则x=三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

若A={1,4,x}，B={1,x2}且A∩B=B，求18.(本小题12分)

某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？19.(本小题12分)

已知幂函数y=xm2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数．

(1)求m的值；

(2)求满足20.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax+1x+1+1x−1，a∈R．

(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(Ⅱ)当a<2时，证明：函数f(x)在(0,1)上单调递减；

(Ⅲ)若对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞)，不等式(x−1)[f(x)−2参考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.D

6.D

7.A

8.C

9.B

10.D

11.a≥2

12.∀x∈R，x2−x+1=0

∃x∈R，13.4

14.(−∞,−1)

15.x216.3或−5

17.解：∵A={1,4,x}，B={1,x2}，且A∩B=B，

∴B⊆A，

∴x2=4或x2=x，

解得x=−2，或x=2，或x=0，或x=1，

当x=−2时，A={1,4,−2}，B={1,4}，成立；

当x=2时，A={1,4,2}，B={1,4}，成立；

当x=0时，A={1,4,0}，B={1,0}，成立；

当x=1时，A={1,4,2}，B={1,1}，不成立．

∴x18.解：由题意，可设矩形广告牌的一边长为xm，

则另一边长为(l2−x)m，且0<x<l2．

设矩形广告牌的面积为S，则

S=x(l2−x)=−x2+l2x=−(x−l4)2+19.解：(1)∵函数在(0,+∞)上递减，

∴m2−2m−3<0即−1<m<3，又m∈N∗

∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，

∴m2−2m−3为偶数，故m=1为所求．

(2)函数y=x−13在(−∞,0)，(0,+∞)上均为减函数

∴(a+1)−13<(3−2a)−20.(Ⅰ)解：∵f(−x)=−ax+1−x+1+1−x−1=−(ax+1x+1+1x−1)=−f(x)，

又∵f(x)的定义域为{x∈R|x≠−1且x≠1}，

∴函数f(x)为奇函数；

(Ⅱ)证明：任取x1，x2∈(0,1)，设x1<x2，则

f(x1)−f(x2)=