2024秋高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-1.4.1全称量词1.4.2存在量词自主预习·探新知情景引入生活中常常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今日，全班全部同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参与”等等．其中“都”“存在”“全部”“至少”在数学命题中也常常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的推断有什么影响呢？新知导学1．全称量词与全称命题(1)短语“__全部的__”“__随意一个__”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__∀__”表示，含有全称量词的命题，叫做__全称命题__.(2)全称命题的表述形式：对M中随意一个x，有p(x)成立，可简记为：__∀x∈M，p(x)__.(3)常用的全称量词还有“全部”“每一个”“任何”“随意”“一切”“任给”“全部”，表示__整体或全部__的含义．2．存在量词与特称命题(1)短语“__存在一个__”“__至少有一个__”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__∃__”表示，含有存在量词的命题，叫做__特称命题__.(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，__∃x0∈M，p(x0)__.(3)存在量词：“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”，表示__个别或一部分__的含义．预习自测1．下列命题中含有全称量词的是(D)A．至少有一个自然数是2的倍数B．存在小于零的整数C．方程3x＝2有实数根D．无理数是小数[解析]选项D中“无理数”指的是全部的无理数．2．下列语句是特称命题的是(B)A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n0，使n0能被11整除C．x>7D．∀x∈M，p(x)成立[解析]选项A、C不是命题，选项B中有存在量间“存在”，故B项是特称命题．D是全称命题．3．选出与其他命题不同的命题(B)A．有一个平行四边形是菱形B．任何一个平行四边形是菱形C．某些平行四边形是菱形D．有的平行四边形是菱形[解析]B选项为全称命题，其余的为特称命题．4．下列命题中，假命题是(B)A．∀x∈R,3x－2>0 B．∀x∈N*，(x－2)2>0C．∃x0∈R，lgx0≤2 D．∃x0∈R，tanx0＝2[解析]特别值验证x＝2时，(x－2)2＝0，∴∀x∈N*，(x－2)2>0是假命题，故选B．5．若对随意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是__(－∞，3]__.[解析]a<x在x∈(3，＋∞)恒成立，令g(x)＝x，则a<g(x)min，∵g(x)min>g(3)＝3，∴a≤3.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶全称命题与特称命题的判定典例1(1)下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对随意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称命题的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4(2)下列命题为特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3[规范解答](1)中，只有②③含有全称量词，故选B．(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D．『规律总结』1.推断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要留意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合详细问题多加体会．┃┃跟踪练习1__■推断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若全部不等式的解集为A，则有A⊆R；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)自然数的平方是正数．[解析]因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为特称命题；(4)因为“自然数的平方是正数”的实质是“随意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题．综上所述，(1)为特称命题，(2)(4)为全称命题，(3)不是命题．命题方向❷全称命题与特称命题的真假推断典例2指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并推断真假．(1)在平面直角坐标系中，随意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的肯定值不是正数；(3)对随意实数x1、x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2；(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．[规范解答](1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题．(1)在平面直角坐标系中，随意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的肯定值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，所以该命题是假命题．(4)存在一个函数f(x)＝0，它既是偶函数又是奇函数，所以该命题是真命题．『规律总结』1.全称命题的真假推断要判定一个全称命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成马上可．2．特称命题的真假推断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可；否则，这一特称命题就是假命题．┃┃跟踪练习2__■有下列四个命题：①∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；②∃x0∈N，xeq\o\al(2,0)≤x0；③∃x0∈N*，x0为29的约数；④有的向量方向不定．其中真命题的个数为(C)A．1 B．2C．3 D．4学科核心素养利用全称命题和特称命题的真假求参数范围典例3命题p：∀x∈R，sinxcosx≥m，若命题p是真命题，求实数m的取值范围．[规范解答]m≤sinxcosx，∀x∈R恒成立，令f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，f(x)min＝－eq\f(1,2)，∀x∈R，∴m≤－eq\f(1,2)，∴实数m的取值范围eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).┃┃跟踪练习3__■若命题“∃x0∈R使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数m的取值范围是(C)A．[－10,6] B．(－6,2]C．[－2,10] D．(－2,10)易混易错警示典例4指出下列命题是全称命题还是特称命题．(1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2)当x∈(0,1)时，eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1；(3)有的平面四边形两对角线相互垂直．[错解](1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题．[辨析]对省略全称量词和存在性量词的命