2024-2025学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用学案含解析新人教A版选修2-2VIP

PAGE1-1．7.1定积分在几何中的应用[目标]1.能说出定积分的几何意义.2.学会利用定积分求平面图形的面积.3.加深微积分基本定理及定积分的性质的应用．[重点]利用定积分求简洁平面图形的面积．[难点]利用定积分求较为困难的图形的面积．学问点定积分与平面图形面积的关系[填一填]1．平面图形面积的求法在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数和积分的上、下限．2．常见的平面图形的计算(1)求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a<b)及y＝0所围成平面图形的面积S.图①中，f(x)>0，∫eq\o\al(b,a)f(x)dx>0，因此面积S＝∫eq\o\al(b,a)f(x)dx；图②中，f(x)<0，∫eq\o\al(b,a)f(x)dx<0，因此面积S＝|∫eq\o\al(b,a)f(x)dx|＝－∫eq\o\al(b,a)f(x)dx；(2)求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x＝a，x＝b(a<b)所围成平面图形的面积S.[答一答]1．如图，如何求相交曲线所围图形的面积？2．如何利用定积分表示如图平面图形ABCD的面积？提示：选取y为积分变量，积分区间为[a，b]，则图中平面图形ABCD的面积为S＝∫eq\o\al(b,a)[f2(y)－f1(y)]dy.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积．对于分割或补形中的多边形的面积，可干脆利用相关面积公式求解.类型一不必分割的图形的面积求解【例1】计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．【思路分析】如图所示，结合图形，先求出两曲线交点的横坐标x1，x2，将所求面积转化为两个曲边梯形的面积差，然后利用定积分求其面积．【解】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝x2－2x＋3，))解得x1＝0，x2＝3.因此所求图形的面积为S＝eq\i\in(,3,)0(x＋3)dx－eq\i\in(,3,)0(x2－2x＋3)dx＝eq\i\in(,3,)0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝eq\i\in(,3,)0(－x2＋3x)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2)eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).为解此类题应做到：①画出图形；②依据图形的特征，由曲线的交点坐标确定积分的上、下限；③确定被积函数．求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．解：如图，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－4,y＝－x＋2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0))，所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)，设所求图形面积为S，依据图形可得S＝eq\i\in(,2,)－3(－x＋2)dx－eq\i\in(,2,)－3(x2－4)dx＝(2x－eq\f(1,2)x2)eq\o\al(2,－3)－(eq\f(1,3)x3－4x)eq\o\al(2,－3)＝eq\f(25,2)－(－eq\f(25,3))＝eq\f(125,6).类型二需分割的图形的面积求解【例2】求由曲线y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所围成图形的面积．【思路分析】先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积分区间，然后分段利用公式求解．【解】法1：画出草图，如图所示．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),x＋y＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x),y＝－\f(1,3)x))及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,y＝－\f(1,3)x))，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．法2：若选积分变量为y，则三个函数分别为x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．由两条或两条以上的曲线围成的较为困难的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所改变，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，将积分区间进一步化分，然后依据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为困难，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限.求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．解：由题意，作出图形如图，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8xy>0,x＋y－6＝0))，得x＝2.所以y2＝8x与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为：定积分与概率的综合应用【例3】如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,7)【思路分析】本题是几何概型概率问题的求解，依据定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，利用微积分基本定理求解即可．【答案】C【解后反思】高考命题常以定积分与几何概型的综合为背景命题，既考查定积分求面积又考查了几何概型，是一种在学问交汇点处命题的思路．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为eq\f(1,3).1．用S表示如图中阴影部分的面积，则S的值是(D)2．由曲线y＝|x|与x＝－1，x＝1，y＝0所成的图形的面积是(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．23．由曲线y＝ex，x