2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE6-1.3集合的基本运算第1课时并集与交集学习目标核心素养1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集和交集．(重点、难点)2．能运用Venn图表达集合间的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.借助Venn图培育直观想象素养．2．通过集合并集、交集的运算提升数学运算素养.某班有学生20人，他们的学号分别是1,2,3，…，20，现有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a，学号是3的倍数的读过新书b.问题：(1)问至少读过一本书的有哪些同学？(2)同时读了a，b两本书的有哪些同学？提示：(1)至少读过一本书的有学号为2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20的同学．(2)同时读了a，b两本书的有学号为6,12,18的同学．1．并集思索：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种状况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种状况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．(2)不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．2．交集3．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中的全部元素的个数和． ()(2)当集合A与集合B没有公共元素时，集合A与集合B就没有交集. ()(3)若A∪B＝A∪C，则B＝C. ()(4)A∩B⊆A∪B. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝________，A∪B＝________.{5,8}{3,4,5,6,7,8}[∵A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，∴A∩B＝{5,8}，A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．]3．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________，A∩B＝________.{x|x>－3}{x|2＜x＜4}[如图故A∪B＝{x|x>－3}，A∩B＝{x|2＜x＜4}．]4．满意{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于________．{2}或{1,2}[∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能为{2}或{1,2}．]并集概念及其应用【例1】(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0} B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的2种基本方法1定义法：若集合是用列举法表示的，可以干脆利用并集的定义求解；2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.eq\o([跟进训练])1．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5}[A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．]交集概念及其应用【例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．(1)A(2)2[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故A∩B中有2个元素．]1．求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为：(1)定义法；(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要留意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．eq\o([跟进训练])2．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]3．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1D[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]集合交、并运算的性质及综合应用[探究问题]1．设A，B是两个集合，若A∩B＝A，A∪B＝B，则集合A与B具有什么关系？提示：A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B.2．若A∩B＝A∪B，则集合A，B间存在怎样的关系？提示：若A∩B＝A∪B，则集合A＝B.【例3】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[思路点拨]eq\x(A∪B＝A)eq\o(→,\s\up7(等价转化))eq\x(B⊆A)eq\o(→,\s\up7(分B＝∅和B≠∅))eq\x(建立k的不等关系)eq\o(→,\s\up7(求交集))eq\x(得k的范围)[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满意A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1，,4≥2k－1，,k＋1≤2k－1，))解得2≤k≤eq\f(5,2).综合(1)(2)可知k≤eq\f(5,2).1．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围．[解]由A∩B＝A可知A⊆B.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3≥k＋1，,2k－1≥4，,2k－1≥k+1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≤－4，,k≥\f(5,2)，,k≥2，))所以k∈∅.所以k的取值范围为∅.2．把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3<x≤5}”，求k的值．[解]由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<k＋1≤4，,2k－1＝5，))解得k＝3.所以k的值为3.1．理解2个概念——并集、交集(1)对于并集，要留意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区分，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种状况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由全部至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“全部”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特殊地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．规避2个易错点——交、并运算中的留意事项(1)对于元素个数有限的集合，可干脆依据集合的“交”“并”定义求解，但要留意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要留意端点值能否取到．1．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C等于()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}D[因为A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2}．又C＝{2,3,4}，所以(A∩B)∪C＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．]2．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝()A．{x|－3≤x≤5} B．{x|－2≤x＜4}C．{x|－2≤x≤5} D．{x|－3≤x＜4}B[因为集合A＝{x|－3≤x＜4}，集合B＝{x|－2≤x≤5}，所以A∩B＝{x|－2≤x＜4}．]3．已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{0,1} B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝________.{2}[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．]5．设A＝{x