2024-2025学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1第1课时等差数列的概念和通项公式学案含解析北师大版必修5

PAGE§2等差数列2．1等差数列第1课时等差数列的概念和通项公式学问点一等差数列的定义[填一填]假如一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．由此定义可知，对于等差数列{an}，有a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d.[答一答]1．怎样用公式表示等差数列的定义？提示：an＋1－an＝d(d为常数)．学问点二等差数列的通项公式[填一填]设等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式an＝a1＋(n－1)d.[答一答]2．怎样推导等差数列的通项公式？提示：{an}是等差数列，所以a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……an－1－an－2＝d，an－an－1＝d.将以上n－1个等式的两边分别相加得an－a1＝(n－1)d，所以an＝a1＋(n－1)d.学问点三从函数角度探讨等差数列{an}[填一填](1)若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上．②这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.(2)①d>0时{an}是递增数列，②d<0时{an}是递减数列，③d＝0时{an}是常数列．[答一答]3．怎样推断等差数列的单调性？提示：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)是关于n的一次函数，d为斜率，(n，an)在直线上，由an＝am＋(n－m)d，得d＝eq\f(an－am,n－m)，d>0时，一次函数递增，{an}是递增数列；d<0时，一次函数递减，{an}是递减数列．理解等差数列的定义需留意以下问题：(1)留意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必需从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差．(2)留意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的依次，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必需相邻．(3)留意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．类型一等差数列的判定【例1】推断下列各数列是否为等差数列．(1)1,2,4,6,8；(2)7,7,7,7,7；(3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n(4)a－d，a，a＋d.【思路探究】依据等差数列的定义进行推断，即推断从第2项起先每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．【解】(1)因为2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2，所以该数列不是等差数列．(2)因为7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0，所以该数列是等差数列．(3)因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n，(2m＋n)－(m＋2n)＝m－n所以当n＝m－n，即m＝2n时，该数列是等差数列；当m≠2n时，该数列不是等差数列．(4)因为a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d，所以该数列是等差数列．规律方法要推断一个数列是不是等差数列，只要看对于随意的正整数n，an＋1－an是不是等于同一个常数，切记不行通过计算a2－a1，a3－a2，a4－a3等几个有限的式子的值后，依据它们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．因为由特殊到一般得出的结论不肯定正确．推断下列数列是否为等差数列：(1)an＝3n－1；(2)an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2；))(3)an＝n2＋n.解：(1)由通项公式an＝3n－1，知an＋1＝3(n＋1)－1.于是an＋1－an＝[3(n＋1)－1]－(3n－1)＝3.由n的随意性知，这个数列是等差数列．(2)由通项公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2))知a1＝1，a2＝1，a3＝2.明显an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立．但a2－a1≠a3－a2，即数列从第3项起先，每一项与前一项的差才是同一个常数，所以该数列不是等差数列．(3)由an＝n2＋n得an＋1＝(n＋1)2＋n＋1＝n2＋3n＋2，则an＋1－an＝2n＋2，所以该数列不是等差数列．类型二等差数列的证明【例2】已知函数f(x)＝eq\f(3x,x＋3)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定．(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列；(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x100.【思路探究】(1)利用条件xn＝f(xn－1)可以确定数列{xn}中相邻两项的递推关系，要证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列，依据定义，只需证明eq\f(1,xn＋1)－eq\f(1,xn)或eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)(n≥2)是常数即可；(2)利用(1)的结论．先求数列{xn}的通项公式，再用通项公式求x100.【解】(1)证明：xn＝f(xn－1)＝eq\f(3xn－1,xn－1＋3)(n≥2，n∈N＋)，所以eq\f(1,xn)＝eq\f(xn－1＋3,3xn－1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,xn－1)，eq\f(1,xn)－eq\f(1,xn－1)＝eq\f(1,3)(n≥2，n∈N＋)．所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列．(2)由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))的公差为eq\f(1,3).又因为x1＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,x1)＝2.所以eq\f(1,xn)＝2＋(n－1)×eq\f(1,3)，eq\f(1,x100)＝2＋(100－1)×eq\f(1,3)＝35.所以x100＝eq\f(1,35).规律方法(1)推断数列为等差数列要敏捷运用三种判定方法，本例是用等差数列的定义来证明和推断的．(2)由某些递推关系式求数列的通项公式的一个重要方法就是构造新数列法．先通过取倒数、平方或其他分解变形构造出一个新数列，再证明该数列就是等差数列．然后由等差数列的通项公式求出所求的数列的通项公式，其中视察分析递推式的结构特点，恰当地构造出新数列是解决问题的关键．已知数列{an}满意a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n≥2)，令bn＝eq\f(1,an－2).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：因为bn＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,(4－\f(4,an))－2)＝eq\f(an,2an－4)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2(an－2))－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2(an－2))＝eq\f(1,2)，所以数列{bn}是公差d＝eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)得{eq\f(1,an－2)}构成以eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)为首项，d＝eq\f(1,2)为公差的等差数列，所以eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，所以an＝2＋eq\f(2,n)，所以数列{an}的通项公式为an＝2＋eq\f(2,n).类型三等差数列的通项公式【例3】已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．【思路探究】思路一eq\x(\a\al(设前三项分别为a1，,a1＋d，a2＋2d))→eq\x(列方程组求解)思路二eq\x(设前三项分别为a－d，a，a＋d)→eq\x(列方程组求解)【解】方法一：依据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＝21，,a1(a1＋d)(a1＋2d)＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1(a1＋d)(a1＋2d)＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因为数列{an}为单调递增数列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4，))从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a－d，a，a＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a－d)＋a＋(a＋d)＝21，,(a－d)a(a＋d)＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,a(a2－d2)＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于数列{an}为单调递增数列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，))从而an＝4n－1.规律方法求等差数列的通项公式的两种思路1．设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．2．已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d即可绕过求首项a1，干脆写出等差数列的通项公式．留意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4).(1)求数列{an}的通项公式．(2)推断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由．解：(1)由题知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝又a2a4＝eq\f(3,4)，数列{an}单调递减，∴a4＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2).∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝－eq\f(1,2)，∴a1＝a2－d＝2，∴an＝2＋(n－1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2).(2)由(1)，知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)，∴数列{a1an}是等差数列，且公差为－1.【例4】两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？【思路探究】先求出每个数列的通项，列出等式，探讨项数的关系即可．【解】数列5,8,11，…记为{an}，数列3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋(m－1)·4＝4m－令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)即n＝eq\f(4,3)m－1(n，m∈N＋)．要使n为正整数，m必需是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)．∴n＝eq\f(4,3)·3k－1＝4k－1.∵4k－1≤100，∴k≤eq\f(101,4)，且k∈N＋，∴1≤k≤25.∴两数列共有25个相同的项．规律方法(1)本题的求解，要用到两个等差数列的通项公式，然后求公共项．本题的关键是要把通项公式求对，然后探求公共项满意的条件．(2)本题易错处在于，令an＝bn，得3n＋2＝4n－1，∴n＝3.从而两数列只有一个公共项，这是明显的错误．两数列的公共项不肯定项数相同，比如，a7＝b6，这也是它们的公共项．(3)本题也可以先找出几个公共项后，视察其特点，得到其通项公式．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式．解：解法一：由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31.))解得d＝3，a1＝－2.∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5.解法二：由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，即d＝eq\f(a12－a5,7)＝3.又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5.——多维探究系列——等差数列公差计算的方法公差是等差数列的两个关键量之一，公差的计算正确与否，干脆确定着等差数列问题解决的正确与否，而公差的计算方法不唯一，因此我们要选择合适的计算方法，且能计算正确．法一：d＝an－an－1.法二：d＝eq\f(an－a1,n－1).法三：d＝eq\f(an－am,n－m).【例5】在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25.【思路分析】通过已知条件，特殊是项的下标关系，可实行多种方法求解．【规范解答】解法一：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋14d＝25.))这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝\f(3,2)，))所以这个数列的通项公式为an＝4＋eq\f(3,2)×(n－1)，即an＝eq\f(3,2)n＋eq\f(5,2).因此a25＝eq\f(3,2)×25＋eq\f(5,2)＝40.解法二：设数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，则依据题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5p＋q＝10，,15p＋q＝25，))解这个方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(3,2)，,q＝\f(5,2)，))所以an＝eq\f(3,2)n＋eq\f(5,2)，所以a25＝40.解法三：由题意可知a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d，所以10d＝15.又因为a25＝a15＋10d，所以a25＝25＋15＝40.(1){an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(BA．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2(2)等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(B)A.eq\f(α＋β,2n) B.eq\f(α－β,2n)C.eq\f(α＋β,2m) D.eq\f(α－β,2m)解析：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，,a1＋2d＝0，))解得d＝－eq\f(1,2).故选B.(2)d