太和二中2025届高考数学二模试卷含解析

太和二中2025届高考数学二模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户2．由曲线围成的封闭图形的面积为（）A． B． C． D．3．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知复数，则的虚部是（）A． B． C． D．15．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．6．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（）A． B．C． D．7．已知与分别为函数与函数的图象上一点，则线段的最小值为()A． B． C． D．68．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A． B． C． D．9．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．复数的虚部是()A． B． C． D．11．已知复数z满足，则z的虚部为（）A． B．i C．–1 D．112．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，，则__________.14．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．15．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.16．函数在处的切线方程是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行统计，结果如下：加工1个零件用时（分钟）20253035频数（个）15304015以加工这100个零件用时的频率代替概率.（1）求的分布列与数学期望；（2）刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.18．（12分）已知首项为2的数列满足.（1）证明：数列是等差数列．（2）令，求数列的前项和.19．（12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，为的中点，是上的点.（1）若平面，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函数，若的解集为．（1）求的值；（2）若正实数，，满足，求证：．22．（10分）如图，在平面四边形中，，，.（1）求；（2）求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.2、A【解析】

先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.3、A【解析】

利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限.【详解】，对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4、C【解析】

化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.【详解】，，所以的虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.5、D【解析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，，当时，，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，，，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.6、C【解析】

可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.【详解】解：因为，即，又，设，根据条件，，；若，，且，则：；在上是减函数；；；在上是增函数；所以，故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.7、C【解析】

利用导数法和两直线平行性质，将线段的最小值转化成切点到直线距离.【详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点，可知抛物线存在某条切线与直线平行，则，设抛物线的切点为，则由可得，，所以切点为，则切点到直线的距离为线段的最小值，则.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.8、A【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.9、D【解析】

取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.【详解】如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，则，，即为二面角的平面角，过点B作于O，则平面ACD，由，可得，，，即点O为的中心，三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，，,解得，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.10、C【解析】因为，所以的虚部是，故选C.11、C【解析】

利用复数的四则运算可得，即可得答案.【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.12、D【解析】

求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

由题意得，，再代入中，计算即可得答案.【详解】由题意可得，，∴，解得，∴.故答案为：.【点睛】本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.14、【解析】

根据定积分的计算，得到，令，求得，即可得到答案．【详解】根据定积分的计算，可得，令，则，即的展开式中各项系数和为.【点睛】本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15、2【解析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式，从而可求得离心率．【详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，由得，∴，，∴．故答案为：2.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于的等式．16、【解析】

求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，，.因此，函数在处的切线方程是，即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）分布列见解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根据题目所给数据求得分布列，并计算出数学期望.（2）根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率计算公式，计算出刘师傅讲座及加工个零件作示范的总时间不超过分钟的概率.【详解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）设，分别表示讲座前、讲座后加工该零件所需时间，事件表示“留师傅讲座及加工两个零件示范的总时间不超过100分钟”，则.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查对立事件概率计算，考查相互独立事件概率计算，属于中档题.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式两端同时除以,可得到,即可证明结论;（2）由（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式,然后求出的前项和即可.【详解】（1）证明:因为,所以,所以,从而,因为,所以,故数列是首项为1,公差为1的等差数列.（2）由（1）可知,则,因为,所以,则.【点睛】本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.【详解】（1）由于，此时切点坐标为所以切线方程为.（2）由已知，故.由于，故，设由于在单调递增同时时，，时，，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值，故由于，所以，.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）因为，利用线面平行的判定定理可证出平面，利用点线面的位置关系，得出和，由于底面，利用线面垂直的性质，得出，且，最后结合线面垂直的判定定理得出平面，即可证出平面.（2）由（1）可知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面和平面的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出的余弦值.【详解】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以可设平面平面，又因为平面，所以.因为平面，平面，所以，从而得.因为底面，所以.因为，所以.因为，所以平面.综上，平面.（2）解：由（1）可得，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则，，，，所以，，，.设是平面的法向量，由取取，得.设是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.21、（1）；（2）证明见详解.【解析】

（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式证明.【详解】解：（1），，，因为的解集为，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，当且仅当，，，等号成立．【点睛】本题考查了绝对值