浙江省金华市十校2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析

浙江省金华市十校2025届高三六校第一次联考数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是()A． B．C． D．2．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（）A．， B． C．， D．，3．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（）.A． B．9 C．5 D．4．若的内角满足，则的值为（）A． B． C． D．5．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．7．在直角中，，，，若，则（）A． B． C． D．8．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是()A． B．C． D．9．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．10．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，若函数的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍后，得到的函数在有且仅有5个零点，则的取值范围是()A． B．C． D．11．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为()A． B． C． D．12．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，那么______.14．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____15．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则面积的最大值为________.16．在平面直角坐标系中，若双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩，某公司设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.（1）请你根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”；采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价(单位：元)和日销量(单位：件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的：①根据上表数据计算的值；②已知该公司成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①：附②：对应一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.18．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.20．（12分）已知函数（1）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数(mR)的导函数为．（1）若函数存在极值，求m的取值范围；（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．22．（10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E．（1）求证：四边形ACC1A1为矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

求出的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出的范围即可．【详解】解：令，则，则，故，如图示：由，得，函数恒过，，由，，可得，，，若方程有唯一解，则或，即或；当即图象相切时，根据，，解得舍去），则的范围是，故选：．【点睛】本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．2、A【解析】

依题意问题是，然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，观察程序框图可知，应填入，，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.3、A【解析】

根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.【详解】定点为,，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.4、A【解析】

由，得到，得出，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，角满足，则，又由角A是三角形的内角，所以，所以，因为，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质，以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题，着重考查了推理与计算能力.5、C【解析】

化简得到，得到答案.【详解】，故，对应点在第三象限.故选：.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.6、B【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.7、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角中，，，，，

，

若，则故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．8、C【解析】

由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，，因为，所以，或，因为时，，或时，，，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，，所以.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.9、A【解析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【详解】因为,所以，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.10、A【解析】

根据题意，，求出，所以，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出的取值范围.【详解】已知与的图象有一个横坐标为的交点，则，，，，，若函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则，所以当时，，在有且仅有5个零点，，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.11、B【解析】

根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.12、D【解析】

设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵，∴，，∴.故答案为：.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14、【解析】

设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.【详解】设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，故，所以此点取自内的概率是．故答案为：【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.15、【解析】

利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，当且仅当时等号成立，∴，∴面积的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.16、【解析】

利用，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】，且，，，该双曲线的渐近线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线离心率与渐近线方程，考查了双曲线基本量的关系，考查了运算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）列联表见解析，有把握；（2）①；②元时【解析】

（1）直接由题意列出列联表，通过计算，可判断精英店与采用促销活动是否有关.（2）①代入表中数据，结合公式求出；②由①中所得的线性回归方程，若售价为，单价利润为，日销售量为，进而可求出日利润，结合导数可求最值.【详解】解：（1）由题意知，采用促销中精英店的数量为，采用促销中非精英店的数量为；没有采用促销中精英店的数量为，没有采用促销中非精英店的数量为，列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.（2）①由公式可得：所以回归方程为②若售价为，单件利润为，日销售为，故日利润，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.故当售价元时，日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验，考查了线性回归方程的求法，考查了函数最值的求解.在求函数的最值时，常用的方法有：函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．【详解】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．因此有．（ii）．．，为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，．．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19、（1）（2）与交点的极坐标为，和【解析】

（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即.的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，计算函数的单调性，得到，再讨论，，三种情况，计算得到答案.（2）计算得到，讨论，两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.【详解】（1），①当时恒成立，所以单调递增，因为，所以有唯一零点，即符合题意；②当时，令，函数在上单调递减，在上单调递增，函数。（i）当即,所以符合题意，（ii）当即时，因为，故存在,所以不符题意（iii）当时，因为，设，所以,单调递增，即，故存在，使得，不符题意；综上，的取值范围为。（2）。①当时，恒成立，所以单调递增，所以，即符合题意；②当时，恒成立，所以单调递增，又因为，所以存在，使得，且当时，。即在上单调递减，所以，不符题意。综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.21、（1）（2）{1，2}．【解析】