湖南省长沙一中2025届高考数学必刷试卷含解析

湖南省长沙一中2025届高考数学必刷试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则=()A． B． C． D．2．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为()A．2 B． C． D．4．以下关于的命题，正确的是A．函数在区间上单调递增B．直线需是函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象5．已知为虚数单位，复数，则其共轭复数（）A． B． C． D．6．函数f(x)＝的图象大致为()A． B．C． D．7．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，，则.其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④8．设全集集合，则（）A． B． C． D．9．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（）A． B． C． D．10．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（）A． B．C． D．11．设是等差数列的前n项和，且，则()A． B． C．1 D．212．在中，，，，若，则实数()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.14．若变量，满足约束条件则的最大值是______.15．若的展开式中所有项的系数之和为，则______，含项的系数是______（用数字作答）.16．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，（1）求的单调区间；（2）设恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.20．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.21．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.（1）求线段的长.（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.22．（10分）交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

计算，，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2、A【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3、C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.4、D【解析】

利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项，函数先增后减，错误B选项，不是函数对称轴，错误C选项，，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.5、B【解析】

先根据复数的乘法计算出，然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由，所以其共轭复数.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.6、D【解析】

根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称，排除选项B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.7、C【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：①：、也可能相交或异面，故①错②：因为，，所以或，因为，所以，故②对③：或，故③错④：如图因为，，在内过点作直线的垂线，则直线，又因为，设经过和相交的平面与交于直线，则又，所以因为，，所以，所以，故④对.故选：C【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.8、A【解析】

先求出，再与集合N求交集.【详解】由已知，，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.9、C【解析】

根据题目中的基底定义求解.【详解】因为，，，，，，所以能作为集合的基底，故选：C【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10、A【解析】

由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.【详解】由题意，2c＝8，则c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴双曲线C的方程为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.11、C【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.【详解】由于等差数列满足，所以，，.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.12、D【解析】

将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案．【详解】解：函数的定义域为，且，函数为奇函数，当时，函数，显然此时函数为增函数，函数为定义在上的增函数，不等式即为，在上恒成立，，解得．故答案为．【点睛】本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目．14、9【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，目标函数过点时取得最大值，联立，解得，即，所以最大值为9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.15、【解析】的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是，故答案为（1），（2）.16、【解析】

先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．【详解】由是单位向量．若，，设，则，，又，则，则，则，又，所以，（当或时取等）即的取值范围是，，故答案为：，．【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】

（1），令，解不等式即可；（2），令得，即，且的最小值为，令，结合即可解决.【详解】（1），当时，，递增，当时，，递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），，，设的根为，即有可得，，当时，，递减，当时，，递增.，所以，①当；②当时，设，递增，，所以.综上，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．【详解】（1）由题意，得，直线（）设，，联立消去，得，显然，，则点的横坐标，因为，所以点在轴的右侧．（2）由（1）得点的纵坐标．即．所以线段的垂直平分线方程为：．令，得；令，得．所以的面积，的面积．因为与的面积相等，所以，解得．所以当与的面积相等时，直线的斜率．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【详解】（Ⅰ）取中点，连，，由，可得，可得是平行四边形，则，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中点，则，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以∥，又平面，平面，所以∥平面，由，有，∥，又平面，平面，所以∥平面，由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系由面，所以面的法向量可取，点，点，点，，，设面的法向量，所以，取，二面角的平面角为，则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.21、（1）的长为4（2）【解析】

（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据向量垂直关系计算得到答案.（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.【详解】（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.，因为，所以，即，解得，所以的长为4.（2）因为，所以，又，故.设为平面的法向量，则即取，解得，所以为平面的一个法向量.显然，为平面的一个法向量，则，据图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查