人教版九年级上册数学第二十二章测试题有答案

人教版九年级上册数学第二十二章测试卷一、单选题1．把二次函数y=x2-4x+1化成y=a（x-h）2+k的形式是（）A．y=（x-2）2+1 B．y=（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x-2）2+32．抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）3．将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣34．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是()A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜05．二次函数的图象如图所示，对称轴为．给出以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有（）A．个 B．个 C．个 D．个6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．7．对于下列结论：①二次函数y=6x2，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1；③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元。设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．81(1-x)²=100B．100(1+x)²=81C．81(1+x)²=100D．100(1-x)²=819．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米二、填空题10．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________.11．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为_____．12．已知函数（k为常数）的图象经过点A（1，y1），B（2，y2），C（-3，y3），则y1，y2，y3从小到大排列顺序为_______________13．二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为________14．二次函数y=（x-1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为_____________．15．对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），有下列说法：①当b=a+c时，则抛物线y=ax2+bx+c一定经过一个定点（-1，0）；②若△=b2-4ac＞0，则抛物线y=cx2+bx+a与x轴必有两个不同的交点；③若b=2a+3c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；④若a＞0，b＞a+c，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点；其中正确的有______________．16．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了_____m（结果保留根号）．三、解答题17．已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式．18．已知抛物线的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求的解析式。19．已知二次函数y=﹣x2+4x．（1）写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．20．已知函数y=

kx2

+

(k+1)x+1（k为实数），（1）当k＝3时，求此函数图象与x轴的交点坐标；（2）判断此函数与x轴的交点个数，并说明理由；（3）当此函数图象为抛物线，且顶点在x轴下方，顶点到y轴的距离为2，求k的值．21．已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．（1）求直线l的函数解析式；（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．22．某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？23．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值．（3）当0≤x≤t，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围；25．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．

26．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形脚手架CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．参考答案1．C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y=x2-4x+1=（x2-4x+4）-4+1=（x-2）2-3.故选C．【点睛】二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．2．D【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．故选D．3．D【详解】因为y=x2-4x-4=（x-2）2-8，以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为（2，-8），把点（2，-8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-1，-3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-3．故选D．4．D【详解】：∵二次函数y=a（x-1）2+3，∴该二次函数的对称轴为直线x=1，又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴a＜0.故选D．【点睛】运用了二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．5．B【分析】根据二次函数的图象的开口方向，对称轴以及与y轴的交点位置可判断出a，b，c的取值范围，从而可对①判断；根据抛物线与x轴的交点个数对②进行判断；根据抛物线的对称性确定x=2时y的取值即可对③进行判断；由对称轴x=1可求出b=2a，再根据x=-1结合函数的图象确定y的取值范围即可对④进行判断，从而可求出本题的答案．【详解】①∵函数图象开口向上，∴a＞0，∵函数图象与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴，故②正确；③抛物线上的点（0，y）关于直线x=1对称点的坐标为（2，y），∵x=0时，y=c＜0，∴x=2时，y=4a+2b+c＜0，故③错误；④由对称轴可知：，∴b=-2a，∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，即3a+c＞0，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6．C【详解】试题分析：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，当a＜0时，二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数开口向上，顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．符合条件的只有选项C，故答案选C．考点：二次函数和一次函数的图象及性质．7．D【解析】【分析】①根据二次函数的性质即可得出抛物线y=6x2的对称轴为y轴，结合a=6＞0即可得出当x＞0时，y随x的增大而增大，结论①正确；②将x=﹣2和1代入一元二次方程可得出x+m的值，再令x+m+2=该数值可求出x值，从而得出结论②正确；③由“当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0”可得出当x=1时y=0且抛物线的对称轴≥2，解不等式即可得出b≤﹣4、c≥3，结论③正确．综上即可得出结论．【详解】∵在二次函数y=6x2中，a=6>0，b=0，∴抛物线的对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大，∴①结论正确；∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，∴x+m=-2+m或1+m，∴方程a（x+m+2）2+b=0中，x+m+2=-2+m或x+m+2=1+m，解得：x1=-4，x2=-1，∴②结论正确；∵二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，∴解得：b≤-4，c≥3，∴结论③正确．故选D【点睛】此题重点考察学生随函数图象和性质理解，熟练掌握图象性质是解题的关键.8．D【解析】试题解析：∵某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，∴第一次降价后的价格为：100×(1−x)，∴第二次降价后的价格为：100×(1−x)×(1−x)=∴可列方程为：故选D.9．A【详解】）∵y=－x2＋4x=，∴当x=2时，y有最大值4，∴最大高度为4m10．答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．【分析】由题意得，设，此时可令的数，然后再由与y轴的交点坐标为(0，3)求出k的值，进而可得到二次函数的解析式.【详解】解：设，将(0，3)代入，解得，故或y=x2﹣4x+3．故答案为：答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．考点：1.二次函数的图象及其性质；2.开放思维.11．【解析】【分析】据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得a的值，即可求出二次函数的解析式．.【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得4a=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=，故答案为y=．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式．12．y1<y2<y3【解析】∵函数y=3x2-6x+k（k为常数）的图象经过点A（1，y1），B（2，y2），C（-3，y3），∴y1=-3+k，y2=k，y3=45+k，∵45+k＞k＞-3+k，∴y1＜y2＜y3．故答案为y1＜y2＜y3．13．x1=﹣1，x2=3．【详解】试题分析：二次函数y=ax2-2ax+3的图象与x轴的交点坐标的横坐标则为ax2-2ax+3=0的两个解，由交点（-1，0）可知方程ax2-2ax+3=0的一个解为x=-1，将x=-1带入原方程可得a=1，即原方程为x2-2x+3=0，解得，也可通过根与系数关系，求出答案考点：二次函数与方程的关系．14．-1＜y≤0，2≤y＜3.【解析】试题分析：本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围.把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．当y=2时，（x-1）2+1=2，解得x=0或x=2，当y=5时，（x-1）2+1=5，解得x=3或x=-1，又抛物线对称轴为x=1，∴-1＜x≤0或2≤x＜3．故答案为-1＜x≤0或2≤x＜3．考点：二次函数的性质.15．①③④．【解析】试题解析：①抛物线y=ax2+bx+c一定经过一个定点（-1，0），则0=a-b+c，即b=a+c，此选项成立成立；②方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则△=b2-4ac＞0，当c=0时，cx2+bx+a=0不成立，即抛物线y=cx2+bx+a与x轴必有两个不同的交点不成立；③当b=2a+3c，则b2-4ac=（2a+3b）2-4ac=4a2+8ac+9b2=4（a+c）2+5c2，而a≠0，于是b2-4ac＞0，则方程必有两个不相等的实数根；④当a＞0，b＞a+c，则b2-4ac＜（a+c）2-4ac=（a-c）2＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴必有两个不同的交点，结论成立．正确的结论是①③④．考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数的性质．16．2﹣4．【分析】先设解析式，然后构建函数图象，求出解析式，再带入数值进行计算即可得到答案.【详解】设抛物线的解析式为：y=ax2，∵水面宽4m时，拱顶离水面2m，∴点（2，-2）在此抛物线上，∴-2=a•22，∴a=-∴抛物线的解析式为：y=-x2，当水面下降1m时，即y=-3时，-3=-x2，∴x=±，∴此时水面的宽度为：2，即此时水面的宽度增加了（2-4）m．故答案为2-4【点睛】此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力，会设函数解析式是解题的关键.17．．【解析】【分析】先设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），利用待定系数法，把点（1，－1），（0，1），（－1，13），代入可解得二次函数的解析式．【详解】设二次函数解析式为，把三点分别代入得，，，联立方程组解得，，，故这个二次函数的解析式．【点睛】本题考查考查用待定系数法求函数解析式，熟悉掌握是解题关键.18．【解析】试题分析：物线的顶点式解析式y=a（x-h）2+k，代入顶点坐标另一点求出a的值即可．试题解析：∵抛物线l1的最高点为P（3，4），∴设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+4，把点（0，1）代入得，1=a（0-3）2+4，解得，a=-，∴抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4．19．（1）对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）见解析；（3）x＜0或x＞4．【解析】试题分析：（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．试题解析：（1）∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x=2；（2）列表得：x…-1012345…y…-503430-5…描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．20．（1）函数图象与x轴的交点坐标为(-1，0)，(-，0)；（2）当k=0或1时,它的图象与x轴有一个公共点；当k≠0且k≠1时，图象与与x轴有两个公共点；（3）顶点坐标为（-2，-）.【详解】试题分析：令即可求出此函数与轴的交点坐标.分和两种情况进行讨论.顶点到轴的距离为2，即即可求得的值.试题解析：（1）令解得：∴此函数图象与x轴的交点坐标为①当时，函数为此函数图象与x轴有一个公共点；②当时，若则，它的图象与x轴有一个公共点；若则，它的图象与x轴有两个公共点；当或1时,它的图象与x轴有一个公共点；当且时，图象与与x轴有两个公共点.（3）依题可得：解得或①当时，顶点坐标为顶点在x轴下方，满足题意；②当时，∴顶点坐标为∴顶点在x轴上方，不符合题意.21．（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.【详解】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得解得解析式为y=﹣x+4．（2）设M点的坐标为（m，n），∵S△AMP=3，∴（4﹣1）n=3，解得，n=2，把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，M（2，2），∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．【点睛】此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键.22．（1）a=25，b=30；（2）①y=－5+350x－5000；②35元时，最大利润为1125元．【详解】试题分析：根据题意列方程组即可得到结论；①由题意列出关于x，y的方程即可；②把函数关系式配方即可得到结果．试题解析：（1）根据题意得：，解得：；（2）①由题意得：y=（x－20）【100－5（x－30）】∴y=﹣5+350x﹣5000，②∵y=﹣5+350x﹣5000=﹣5+1125，∴当x=35时，y最大=1125，∴销售单价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．考点：二次函数的应用；二元一次方程组的应用23．（1）y＝－x2＋2x＋3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．又∵C(0，3)经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1．∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P．则此时的点P，使△PAC的周长最小．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：．∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3．当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．∵抛物线的对称轴为：x=1，∴设M(1，m)．∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±．③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．24．（1）x=1,y=-x2+2x+3；（2）当m=时，线段MN的最大值是；（3）1≤t≤2.【解析】【分析】(1)AB=4，先求函数对称轴，再根据对称轴得到函数解析式（2）要求MN的最大值，根据MN平行y轴得到MN的长度即可得到结果（3）当0≤x≤t，3≤y≤4根据图象求出t的范围.【详解】（1）直线，由轴对称性可知，A（-1,0）∴

∴a=-1∴(2)MN=当m=时，线段MN的最大值是；（3）【点睛】此题重点考察学生对二次函数的应用，掌握函数解析式及函数图象性质是