一元线性回归模型参数的最小二乘估计（4）课件高二下学期数学人教A版选择性

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（4）1.经验回归方程：我们将

称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.

这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为：

复习引入3.残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为

值，通过经验回归方程得到的

称为

，

减去

称为残差，即

.4.残差分析：

是随机误差的估计结果，通过对

的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为

.观测预测值观测值预测值残差残差残差分析5.残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.6.求非线性经验回归方程的步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；（2）由经验确定非线性经验回归方程的模型；（3）通过变换，将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型；（4）按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；（5）消去新元，得到非线性经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到下图令x=ln(t-1895).通过x=ln(t-1895)，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据(精确到0.01)，如下表所示.编号12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95根据最小二乘法，可得新的经验回归方程为①将x=ln(t-1895)代入(*)式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程(1)直接观察法在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象(蓝色)以及经验回归方程①的图象(红色)，如图(5)所示.我们发现，散点图中各散点都非常靠近②的图象，表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.(5)下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.思考：对于男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份关系的问题，我们建立了两个回归模型，得到了两个回归方程，你能判断哪个回归方程拟合的精度更好吗？在上表中，用ti表示编号为i的年份数据，用yi表示编号为i的纪录数据，则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.观察各项残差的绝对值，发现经验回归方程②远远小于①，即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①.编号12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022

②①编号12345678年份18961912192119301936195619601968记录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95在一般情况下，直接比较两个模型的残差比较困难，因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些散点的情况则相反.可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果.由可知Q2小于Q1.因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.（2）

残差分析通过前面的讨论我们知道，当残差的平方和越小，经验回归模型的拟合效果就越好，故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.决定系数R2的计算公式为在R2表达式中，由于与经验回归方程无关，残差平方和

与经验回归方程有关，因此R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；

R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.（3)利用决定系数R2刻画回归效果.显然0≤R2≤1，R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好.还可以证明，在一元线性回归模型中R2=r2，即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方.决定系数R2的计算公式为编号12345678t189619121921193019361956196019680.591-0.284-0.301-0.218-0.1960.1110.0920.205-0.0010.007-0.0120.015-0.0180.052-0.021-0.022由上述残差表可算出经验回归方程①和②的决定系数R2分别为由于因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多.课本120页在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决哪些问题?解：分析残差可以帮助我们解决以下几个问题:(1)寻找残差明显比其他残差大很多的异常点，如果有，检查相应的样本数据是否有错.(2)分析残差图可以诊断选择的模型是否合适，如果不合适，可以参考残差图提出修改模型的思路.例：为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：

(1)作出散点图，并求经验回归方程；(2)求出R2；(3)进行残差分析．x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8例题(2)求出R2；x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解：列表如下：0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31解：由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与质量成线性关系．0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31(3)进行残差分析．(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是响应变量．(2)画出解释变量与响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型．(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数.(5)得出结果后需进行线性回归分析.①残差平方和越小，模型的拟合效果越好.②决定系数R2取值越大，说明模型的拟合效果越好.建立线性回归模型的基本步骤：注意:若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可.归纳总结1.已知某种商品的单价x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:x1416182022y1210753求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.解：练习列残差表如下：y1210753129.77.45.12.800.3－0.4－0.10.24.62.6－0.4－2.4－4.4故回归模型的拟合效果很好.(1)作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述；课本120页2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:年份GDP/亿元年份GDP/亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：画GDP与年份的散点图，如图所示，可以观察到随着年份的增加GDP也随之增加，GDP值与年份呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画.(2)建立年份为解释变量，GDP为响应变量的一元线性回归模型，并计算残差;课本120页2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:年份GDP/亿元年份GDP/亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：用y表示GDP的值，t表示年份，用一元线性回归模型拟合数据，用统计软件计算，得到经验回归方程为残差的计算结果见下表.年份1997199819992000200120022003200420052006残差171267752-1734-6873-11145-15145-14296-4732589223157(3)根据你得到的一元线性回归模型，预测2017年的GDP，看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少;课本120页2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:年份GDP/亿元年份GDP/亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：2017年的GDP预报值为359684亿元，2017年的实际的GDP为820754亿元，预测值比实际值少461070亿元.(4)你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗?请说明理由.课本120页2.1997-2006年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:年份GDP/亿元年份GDP/亿元199779715.02002121727.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5解：上面建立的回归方程的R2=0.9213，说明在1997-2006年内，该模型年份能够解释92.13%的GDP值变化，因此所建立的模型较好地刻画了GDP和年份的关系.但因为残差呈现一定的规律性，中间是负数，两边是正数，所以可以考虑用非线性回归模型拟合数据.(5)随着时间的发展，又收集到2007-2016年的GDP数据如下:建立年份(1997-2016)为解释变量，GDP为响应变量的经验回归方程，并预测2017年的GDP，与实际的GDP误差是多少?你能发现什么?年份GDP/亿元年份GDP/亿元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2课本120页解：仍用y表示GDP的值，t表示年份，用一元线性回归模型拟合1997-2016年的数据，用统计软件计算，得到经验回归方程为利用上述模型，预测2017年的GDP值为704025亿元，而2017年GDP的实际值820754亿元，预测值比实际值少116729亿元通过两个模型预测2017年的GDP值，发现第2个模型预测的更准确，说明建立的模型自变量的取值范围决定了模型的适用范围，通常不能超出太多，否则会出现较大的误差.在使用经验回归方程进行预测时，需要注意下列问题:(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体.例如，根据我国父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述美国父亲身高与儿子身高之间的关系.同样，根据生长在南方多雨地区的树高与胸径的数据建立的经验回归方程，不能用来描述北方干旱地区的树高与胸径之间的关系.(2)经验回归方程一般都有时效性.例如，根据20世纪80年代的父亲身高与儿子身高的数据建立的经验回归方程，不能用来描述现在的父亲身高与儿子身高之间的关系.(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果会比较好，超出这个范围越远，预报的效果越差.(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.事实上，它是响应变量的可能取值的平均值.哪位同学建立的回归模型拟合效果最好()A.甲B.乙C.丙D.丁1.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：

甲乙丙丁R20.980.780.500.85解析:决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好.随堂检测哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高(

)A.甲B.乙C.丙D.丁

甲乙丙丁散点图残差平方和1151061241033.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原料y(吨)的相关性，在生产过程中收集4组对应数据(x，y)如下表所示：5.9x3467y2.534m解析：根据样本(4,3)处的残差为－0.15，4.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与