离散型随机变量及其分布列（1）课件高二下学期数学人教A版选择性

7.2离散型随机变量及其分布列（1）(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.可重复性可预知性随机性1.随机试验的概念复习引入一般地，一个试验如果满足下列条件：我们就称这样的试验是一个随机试验.我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.2.样本点与样本空间的概念求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验．探究一：随机变量和离散型随机变量问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：(1)掷一枚骰子，观察出现的点数；(2)掷两枚骰子，观察两个点数之和；(3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况；(4)随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值．例如(3)，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：(3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况；(4)随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值．又如(4)，随机抽取一件产品，如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．问题1：请为以下随机试验的样本点与实数建立对应关系：(4)随机抽取一件产品，观察出现“抽到次品”和“抽到正品”的情况.对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．探究：考察下列随机试验及其引入的变量:试验1:从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y有哪些共同的特征?对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1组成长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各样本点与变量X的值的对应关系如下图所示.00100001001110010111011110121223Ω1X探究：考察下列随机试验及其引入的变量:试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数.这两个随机试验的样本空间各是什么?各个样本点与变量的值是如何对应的?变量X,Y有哪些共同的特征?对于试验2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间Ω2＝{h,th,tth,ttth,‧‧‧}.Ω2包含无穷多个样本点.各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示.thhtthttththh2134thhΩ2Ytt一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下共同点:(1)取值依赖于样本点；(2)所有可能取值是明确的.1.随机变量的定义:试验1中随机变量X的可能取值为0,1,2,3,共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1,2,3,‧‧‧，有无限个取值，但可以一一列举出来.像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.

通常用大写英文字母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x,y,z.2.离散型随机变量的定义:3.随机变量与函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集.随机变量的取值X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0,1,2,‧‧‧,10；某网页在24h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0,1,2,‧‧‧；等等.3.随机变量与函数的关系现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3.这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.课本60页下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500ml的饮料，其实际含量与规定含量之差.解：(1)点数之和X是离散型随机变量，X的可能取值为2，3，‧‧‧，12.{X＝k}表示掷出的点数之和为k.(2)进球个数Y是离散型随机变量，Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射进k个球.(3)误差Z不是离散型随机变量.练习判断一个变量是否是离散型随机变量的步骤：反思归纳探究二：离散型随机变量的分布列根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题.例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由掷出各种点数的等可能性，我们还可以得到这一规律我们还可以用下表来表示.213456XP随机变量X的概率分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，

‧‧‧，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，简称分布列.1.离散型随机变量的分布列归纳总结由于函数可以用解析式、表格、图象表示，所以离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示.2.分布列的表示：1.解析式法x2x1xnXPp2p1pn2.表格法3.图象法上图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.PX1023456根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:3.离散型随机变量的分布列的性质注：这个两个性质是判断分布列是否正确的重要依据.利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为类似地，事件“掷出偶数点”的概率为练习反思归纳随堂检测则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（

）

2.某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.5.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解:由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123(1)2X＋1的分布列(2)|X－1|的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.3则由上表得两个分布列为X012342X＋113579|X－1|10123课堂小结一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X