高三年级上册期中数学真题分类汇编（新高考）专题14圆锥曲线经典小题（十二大题型）

专题14圆锥曲线经典小题

题型01求圆锥曲线的方程

I.（2022秋•河南洛阳•高三洛阳市第一高级中学上学期期中）己知抛物线C:/=2px5>0）的焦点

为尸，准线为/,点M是抛物线C上一点，MHJJ于H,若川=4,NHFN=60。，则抛物线C的方

程为.

【答案】y=4x

【分析】根据题意，得到|ME|=|M〃|=4,推出尸为正三角形，求出=记准线/与x轴

交于点。，根据P=|。尸|=|"日sin/。”/即可求出结果.

【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，

所以月=阿川=4,又NHFM=6（f,

所以尸为正三角形，所以口|=4,

记准线，与x轴交于点。，则N0"F=3O。，

所以P=|。尸=||冏sinZ.QHF=4sin300=2*

所以该抛物线方程为：y2=4x.

故答窠为：/=4x.

2.（2022秋•辽宁•高三校联考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12,离心

率为g,则椭圆的标准方程为（）

222222

Axy.nxy,xy.

A.—+—=1B.—+—=1C.——+—=1D，

362436203626

【答案】D

【分析】根据长轴长为12,离心率为!，由2〃=12,£=：求解.

3a3

【详解】由题意知，2a=12,-=1,

a3

所以a=6,c=2,

所以6=/—c?=32,

又焦点在x轴上,

所以椭圆的标准方程为2+2=1.

3632

故选：D.

3.（山东省潍坊市临胞县第一中学20222023学年高三上学期期中）双曲线=1过点

（Tb2

（72,^）,且离心率为2,则该双曲线的标准方程为（）

2222

A.x-^-=}B.—-v=1C.^--x=1D.v--=1

3333

【答案】A

【详解】根据离心率可得c=2a,再由/=°2一可得曲线方程为《一工=[,然后将点代入即可

a34r

求解.

【解答】解：双曲线离心率e=£=2,故c=2a,b=6a,

a

将点（夜,6）代入双曲线方程可得，4-A=4=i,

a3a*a'

故a=\,b=6,双曲线的方程为工2一彳_=1,

故选：A.

4.（2022秋•山东日照•高三统考期中）已知抛物线/=2px（p>0）的焦点为产，准线为/,过点尸且

斜率为万的直线交抛物线于点〃（“在第一象限），MV垂足为N,直线可/交V轴于点。，

若|也|=26,则抛物线的方程是（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

【答案】C

【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形MW是正三角形，结合已知条件求出MN,结

合产在MN上的射影是MN是中点，然后求解抛物线方程.

【详解】由题意如图，过点尸且斜率为⑺的直线交抛物线于点时也在第一象限），

可知，NNMF=60。,

MN工I,垂足为N,直线N/交V轴于点。，准线与x轴的交点为A,

所以的=对/,则三角形是正三角形，

因为。是/产的中点，ANHOD,所以。是NF的中点，

所以MZ51N/，Z.DMF=30°,

|也|=2百，所以|M/|=当1=4,则|次|=4,

cos30°

由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点,

所以""=NN=2,则F(l,O).

可得P=2,

所以抛物线方程为：/=4x.

故选：C.

【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与抛物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点

到点的距离与点到直线的距离的转化：3)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)

将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.

5.(湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中)以椭圆《+片=1的焦点为顶点，以这个椭

34

圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()

【答案】B

【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的4,b,C,再

求双由线的标准方程.

【详解】•・•椭圆的方程为《+片=1,

34

・•・椭圆的长轴端点坐标为(0,2),(0,-2),焦点坐标为(0,1),(0-1),

:.双曲线的焦点在y轴上，且4=1,c=2,

:.从=3,

・•・双曲线方程为/一1=1,

故选：B.

6.(福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中)过原

点的直线/与双曲线C:5•-，=1(凡/>>0)的左、右两支分别交于N两点，尸(2,0)为。的右焦

点，若丽.丽=0,且|两|+|丽|=2氐则双曲线C的方程为.

【答案】--/=1

【分析】设双曲线的左焦点为G，连接£N,则1MM=|历|=4,|砌丽(二16,解得

|可7H丽卜2百，得到〃=石，b=l,得到答案.

【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为耳，连接F、N,

丽・丽=0，则丽1丽，四边形Mfg为矩形，|MN|=|"；|=4.

故网2+网2=16,西+网=2石，则回H丽卜2百，

丽-师卜网-网=2"2百，故°=6b=\.

双曲线C的方程为[-产=]

故答案为：—=1

3

|题型02|根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围

7.（2022秋,山东淄博•高三统考期中）“（1呜2*+（1（^2）。=1表示焦点在产轴上的椭圆，，的一个

充分不必要条件是（）

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

【答案】C

【分析】由已知条件求得db之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.

Ioga2>0a>\

【详解】若（1。&2）/+（10gz,2）产=1表示焦点在y轴上的椭圆，则需/。&2>0,即">1,所

loga2>log„2[a<h

以1<o<b,

所以“（log,,2）x2+（lo&2）y2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2<a<b,

故选：C.

【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.

8.（2022秋・山东青岛•高三统考期中）已知方程上一+上=1表示焦点在工轴的双曲线，则加的

6+2nim+2

取值范围是（）

A.-2<w<-1B.-3<m<-2C.\<m<2D.2<m<3

【答案】B

【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.

【详解】因为方程丁匚+上-=1表示焦点在不轴的双曲线，

6+2min+2

故可得6+2m>0,/〃+2<0,

解得-3（6<一2.

故选：R

【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.

22

9.（海南华侨中学2023届高三上学期期中）（多选）已知方程上―+上-=1,贝I」（）

16-7W9+

A.mw（-9,16）时，方程表示椭圆B.6=0时，所表示的曲线离心率为近

4

C.〃?e（16,+oo）时，方程表示焦点在y轴上的双曲线D.机=-11时，所表示曲线的渐近线

方程为y=

【答案】BC

【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；

r22

【详解】解：因为^^+2v一=1,

16-zw9+加

\6-rn>0

77

对于A：若方程表示椭圆，所以9+m>0,解得-或故A错误；

16一加工9+〃？

对于B：若〃?=0,则《+片=1,所以/=16、从=9,所以。2=/-从=7,所以离心率e=£=且，

169a4

故B正确；

9+加>0

对于C：若方程表示焦点在），轴上的双曲线，则16-川<0，解得小>16,故成©。6,+8）时，方程

表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；

对于D：若吁-11,则曲线方程为捺—=1,则渐近线方程为一回，故D错误；

故选：BC

10.（湖北省宜昌市协作体20222023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线C的方程为

上+工=1（keR）,则下列结论正确的是（）

k-26-k'）

A.当仁4时，曲线。为圆

B.当上0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±Gx

C.**5<k<6”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件

D.存在实数女使得曲线C为双曲线，其离心率为亚

【答案】ABC

【解析】A.将々=4.代入方程中并判断方程对应的曲线的形状：

B.将4=0,代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；

C.先分析曲线。为焦点在工轴上的椭圆时对应的女的取值范围，再根据区间（5,6）与所求范围之间

的集合关系判断出属于何种条件；

D.根据离心率为正分析出双曲线方程中。力的关系，由此求解出左的值并正行判断.

【详解】对于4选项，当Q4时，曲线C的方程可化为，+/=2,为圆心在原点，半径为五的

圆，所以选项彳正确；

对于5选项，当仁0时，曲线。的方程可化为口一二二1,a=R，b=O,

焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y=±fx=±x/5x,所以选项8正确；

b

对于C选项，当曲线C表示焦点在X轴上的椭圆时，要满足左-2＞6-左＞0,解得4＜攵＜6,则

（5,6）（4,6）,

所以"5＜k＜6”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；

对于0选项，当曲线C的方程』一+J-=1表示离心率为0的双曲线时，

k-26-k

有e=£=&,则a=b,即|左一2|=|6一川，解得Q4,

a

此时由线C表示为圆，即不存在实数4使得曲线。为双曲线，其离心率为0,所以选项。错误；

故选：ABC.

【点睛】结论点睛：确定形如《+工=1的方程所表示曲线的形状：

9nn

（1）当机＞〃＞0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

（2）当〃＞机＞。时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

（3）当机＞0,〃＜0时，方程表示焦点在X轴上的双曲线；

（4）当机＜0,〃＞0时，方程表示焦点在夕轴上的双曲线.

11.（2022秋•黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第二高级中学校考期中）设义eR,若工+上=1表示

2-22-3

双曲线，则4的取值范围是

【答案】（2,3）

【分析】将双曲线方程化简，根据双曲线解析式的特征，即可得力的取值范围.

【详解】因为上+上=1,即上——±=1

A-2A-32-23-2

根据双曲线性质可知(％-2)(3-A)>0

gp(2-2)(2-3)<0

解不等式可得2<4<3,即4的取值范围是(2,3)

故答案为:(2,3)

【点第】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.

题型03焦点三角形

12.(山东省济宁市邹城市20222023学年高三上学期期中数学试题)如图，已知双曲线

/-/二/⑺〉。)的左，右焦点分别为£上，过名的直线与双曲线的右支交于尸,0两点.若

=且而2=4瓦0,则;I的值为()

85

A.3B.2C."D.—

32

【答案】A

【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得归5|=2〃，从而再得|助|=4%由余弦定理求得

cos/P/y；,由诱导公式得cos/凿不设|0用二加，则106km+2%再由余弦定理求得m=,

从而可得4.

【详解】由已知°=缶，|耳闻=2应%|0耳|一|凿|=|明一|02|=|P闾=2%

则忸用二|尸用+2〃=4%

在Ng中，cos/"VP=(2扃，+产甘-(痛)：=J1,

2-2\J2a-2a4

在△。可玛中，cosZ.FlF2Q=-cosZFlF2P=—f设|图|=加，贝耳|=〃?+2a,

由|0户「二|甲珠+1。段2一21印制0&cos。得

(2a+m)2=(2y/2a)2+m2-2-2>/2a-w—.解得机="

__M=2a=

尸产2=460,所以前一下•

故选：A.

13.（2022秋•江苏南通•高三期中）（多选）已知椭圆C：「+!=l上有一点尸，B、B分别为其左右

84

焦点，4F\PF,=e,△片尸鸟的面积为s,则下列说法正确的是（）

A.若S=2,则满足题意的点尸有4个

B.若9=60。,则$=竽

C.。的最大值为90。

D.若△片即是钝角三角形，则S的取值范围是（0,右）

【答案】ABC

【分析】根据面积求出点夕纵坐标的范围即可判断A；

结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B;

根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C

根据C中的推理可以判断4对不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑尸点在第•象限的情形,

根据角的变化情况先考虑尸鸟，耳用的情况，进而求得答案判断D.

【详解】由题意，a=2五,b=c=2,

对A,设尸（xj）,则5=，|《乃|'3=?4乂|川=2=>|川=1<6,由椭圆的范围可知A正确；

对B,如图，设|尸石|=帆,|也|=〃，因为勿|〃=%=4后，所以在中，

八m~+n~-4c~(m+n)-2w/?-4c;32—2m〃一168

cos"------------------=-----------------------------=--------------------=-

2mn2mn2tnnmn

百

而5=’〃皿$m。，因为6=600,所以，mn2c4

厂=S=三一，故B正确;

2

S=-mn•--

22

Q

cos6=------1>8,-1=0

,当且仅当加=〃&时取"="，即。的最大值

对C,由mnm+n(2阴=2

2

为90。，C正确:

对D,根据C可知，4尸6最大值为90。，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点尸在

第一象限的情况，根据角的变化情况，若产入1£6，将x=2代入椭圆方程解得：|川二正，此时

S=1x4xV2=2>/2,则△6P6是钝角三角形，S的取值范围是（0,2夜），D错误.

故选：ABC.

14.（2022秋•山东临沂・高三统考期中）己知£、鸟是椭圆工+己=1的两焦点，过点名的直线交椭

169

圆于A、8两点.在△/耳8中，若有两边之和是9,则第三边的长度为（•

A.6B.7C.8D.4

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义即可求出△力£8的周长，进而可得第三边的长度.

169

由椭圆的定义可得：耳|+|/用|=2a=8,|%|+忸玛|=2a=8,

所以的周长|/周+|地|+|/或=|期|+|明|+|4闻+|愿|=8+8=16,

因为有两边之和是9,所以第三边的长度为16-9=7,

故选：B.

1V2

15.（河北省冀东名校20222023学年高三上学期期中汨知耳，区分别是椭圆。二+与=1（〃>b>0）

a~b~

的左、右焦点，必是椭圆短轴的端点，点M在椭圆上，且标2=3可.若♦岬的面积为2,则

a=.

【答案】上

【分析】由题意可知M,K，N三点共线和再根据椭圆的定义，和勾股定理可证

2

MN、MF；=NF：,即可求出5.燃=§/=2,由此即可求出结果.

【详解】因为说=3可，所以M,F2.N三点共线.

又M是椭圆短轴的端点，所以g=M=a,

145

所以性=§a,MN=-a,则NE=2a-N鸟=§Q,

所以4+/听=折，

所以5.“的=2,解得。=百（负值舍去）.

故答案为：出.

16.（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆C：=+g=i（心心0）

ab~

和双由线氏/一产=1有相同的焦点B,无，且离心率之积为1,尸为两曲线的一个交点，则AF/PB

的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

【答案】B

【解析】根据题意可求得椭圆的方程，再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF/|,|EB|和|PB|.再判断三边

的关系进行分析即可.

【详解】由题意可知,£x&=lna=&c,因为。=血,

a

所以a=2,b2=a2—c2=2,

不妨设尸与尸2在y轴右侧，

则：,故网=3,|明=1,又降力=2应

得|PEf=|回户#+『尸子,

所以为直角三角形，

故选：B

【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率，同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基

础题型.

17.（2022秋•江苏扬州•高三校考期中）若双曲线5-/=1的左、右焦点分别为耳，8，点尸为圆

f+炉=4与此双曲线的一个公共点，则AM玛的面积为（）

A.4B.3C.2D.I

【答案】D

【分析】确定线段々乃是圆/+/一4的直径，得P号工PF2,然后利用双曲线的定义、勾股定理得

出归耳|，|尸国的关系式，变形求得|产片||尸司后可得三角形面积.

【详解】由题意"百，6=1,°=反1=2,所以线段6入是圆/+/=4的直径，因此防_L桃,

附f+|P闾2=,闾2=16

,所以|P£||P闻=2,

11M-1%卜20=26

，呻广；|「川户修=】•

故选：D.

［题型04j

18.(广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中)已知椭圆：工+E=l(0<b<2),左、右焦点

4b

分别为片，鸟，过耳的直线/交椭圆于48两点，若|瓯卜|彳同的最大值为5,则b的值是

3

A.1B.&C.-D.百

【答案】D

【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|5B|+MF2|=8・M8],再由过

椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当9垂直于X轴时|48|最小，把|”|的最小值〃代入|"2|+|力产2|

=8-AB\,由|8户2|+W尸2|的最大值等于5列式求b的值即可.

【详解】由0V6V2可知，焦点在x轴上，

•・•过尸/的直线/交椭圆于4B两点,

贝ij|8B|+M尸2|+|8B|+MB|=2a+2a=4a=8

・・・|瓯1+0五2|=8-\AB\.

当力巴垂直x轴时|人用最小，|8尸2|+|)*值最大，

此时“引=方2,则5=8-〃，

解得b=\/3，

故选D.

【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能

力，属于中档题.

19.（匚苏省常州市华罗庚中学20222023学年高三上学期期中）己知片，巴分别是双曲线=l

的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点6为圆氏Y+3+3）2=I上一动点，则+»用的

最小值为（）

A.7B.8C.6+GD.2a+3

【答案】A

【分析】求得双曲线的。，b,c,可得焦点坐标，求得圆E的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆

的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.

【详解】双曲线］-4=1中

43

a=2,b=G♦c=,4+3=V7，F、（-币,0）,

巴（力，0）,

圆E半径为广=1,£（0,-3）,

二.|伤H力用+2〃=|/司+4,

（当且仅当A,E,3共线

且B在A,£之间时取等号），

=J（-"r+32+3=7,

当且仅当A是线段防与双曲线的交点时取等号.

.•.|45|+|盟|的最小值是7.

故选：A

【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质,

考查运算能力，属于中档题.

20.（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）设尸为椭圆M：二+产行和双

10

曲线N：--（=］的一个公共点，且?在第一象限，尸是M的左焦点，则|P尸卜.

【答案】Vio+1/i+Vio

【分析】先求出尸点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出尸点坐标，运用两点距离公式即可.

【详解】对于椭圆M,a2=\0,b2=1,/.?=a2-b2=9,F（-3,0）；

-厂--+V2=11

W2，解得/=，/=]

联立方程《

y.99

x2--=\

8

21.（2022秋•山东青岛•高三统考期中）已知F是双曲线。:炉一亡二1的右焦点，P是C左支上一点,

8

力（0,6指），当&4P产周长最小时，该三角形的面积为

【答案】12>/6

【分析】根据题意，根据R三点共线”求出直线力大的方程，联立双曲线方程，即可求得尸点

坐标，则由5*叩=5""；-5”明即可容易求得.

【详解】设双曲线的左焦点为耳，由双曲线定义知，山尸|=2"+|P凰，

，△力尸产的周长为。|+|尸尸|+|力尸|=|以|+2。+忸£|+|//|=周|+|「用+|/尸1+24,

由于2什|力尸|是定值，要使△"产的周长最小，则|%|+|尸川最小，即以小耳共线，

V/f（0,6>/6）,6（-3,0）・••直线/月的方程为5+土=1，即V=众一3代入f-（=i整理得

y2+6瓜y-96=0»

解得y=2底或y=-8"（舍），所以0点的纵坐标为，

***SMPF=SgFF]_SHPFF、-X6X6^6--X6X2^6=126.

故答案为：12遍.

【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.

22.（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）已知双曲线工一工二1的一个焦点是

m3m

（0,2）,椭圆广一片=1的焦距等于4,则〃二.

ni

【答案】5

［分析】根据双曲线和椭圆的几何性质计算可得.

【详解】因为双曲线~=1的个焦点是（0,2）,

m3m

所以一加一3m=4,得加=-1,

乂椭圆片+/=］的焦距等于4.

n

所以”1=(3,得〃=5.

故答案为：5

23.（2022秋•山西朔州•高三统考期中）P是双曲线三一工=1的右支上一点，M、N分别是圆

916

（x+5）2+y2=［和

(x5)*/=i上的点，则1PMT*l的最大值为

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【详解】(\PM\-\PN\^X=|PMLXHPN^PF\PF\-1：

=|?周一|?鸟|+2=6+2=8.

圆锥曲线的简单几何性质

24.（2022秋•福建厦门•高三屋门一中校考期中）已知48是圆。：/+/一6'+8=0上的两个动点,

ZACB=900，点〃为线段/9的中点，点P为抛物线产=4、上的动点，则|尸的最小值为（）

A.—B.372C.—D.2也

22

【答案】C

【分析】求出C点坐标，由几何关系得点〃的轨迹是以点。（3,0）为圆心，”为半径的圆，

2

点产为抛物线/=4X上的动点，所以设尸（工,凡），先求出|PC|min，

所以|网的最小值为|PC『乎=乎

【详解】圆C:/+y2-6x+8=0可化为（工一3）2+/=1,

所以点。（3,0）.又因为点“为线段48的中点，月.24C8=9（y,C4=C3=l,

所以C/W=孝，所以点M的轨迹是以点C(3,0)为圆心，等为半径的圆.

因为点P为抛物线步=4x上的动点，所以设P(x0,y0),

2

则|PC|=7(X0-3)+^=Jdx。="if+8，

所以当a=1时，|尸。比=2应,

所以|PM|的最小值为IPCL,-李=孚

故选：C.

25.(山东省潍坊市临胸县实验中学20222023学年高三上学期期中)设点P是抛物线G=4》上

的动点，点〃是圆G：(x-5)2+(7+4)2=4上的动点,</是点尸到直线尸-2的距离,则3+|产”|的最小

值是：)

A.5五-2B.572-1C.55/2D.5尬+1

【答案】B

【分析】根据题意画出图像，将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的

距离加1,若求4+|尸”|的最小值，转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可，根据

三角形两边之和大于第三边，即当产,％叫,。2共线时,d+|PM|取最小值为1+|%2卜乙算出结果即

可.

【详解】解:由题知圆G：(x-5)2+(y+4)2=4,

尸(0,1)为抛物线焦点J=-l为抛物线准线，

则过点P向N=-1作垂线垂足为D，如图所示：

则d=l+|PQ|,

根据抛物线定义可知|尸。|=|尸?|,

.-.J=1+|PF|,

d+\PM\=\+\PF'\+\PM\,

若求d+|PM|的最小值,只需求|尸川+|?”|的最小值即可，

连接尸G与抛物线交于点匕与圆交于点朋I,如图所示,

此时|PF|十|PM|最小，为|尸。2卜一,

心+|尸”k=1+附2卜一

vF（0,1）,C2（5,-A）,?.|FC21=555",

•.•伍+|尸根）*=1+附2卜〃=5拒-1,

故选:B

26.（2022秋・河北石家庄•高三石家庄二中校考期中）已知圆/+/=1与抛物线/=20M。>0）交

于A,8两点，与抛物线的准线交于C,。两点，若四边形48C。是矩形，则P等于（）

5五

B.4D考

【答案】D

【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦48为抛物线/=2px（p>0）的通径，进而有

（_^j+p2=l,解方程即可得答案.

【详解】解：因为四边形力BCD是矩形，

所以由抛物线与圆的对称性知：弦AB为抛物线y2=2Pxs>0）的通径，

因为圆的半径为1,抛物线的通径为2p,

所以有：（ij+p'i，解得'=昔

故选：D

27.（江苏省镇江中学20222023学年高三上学期期中）抛物线/=8x的准线过双曲线

x2—，=l（b>0）的左焦点，则双曲线的虚轴长为（）

A.8B.2GC.2D.46

【答案】B

【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的J根据凡伉。的关系可得答案.

【详解】因为抛物线尸=8工的准线为*=-2,所以由题意可知双曲线的左焦点为（-2,0）,

因为1+〃=4,所以人=石，所以双曲线的虚轴长为2石.

故选：B.

28.（山东省泰安市新泰市第一中学北校20222023学年高二上学期期中考）已知椭圆

C：1+g=l（a>b>0）的左，右焦点分别为耳,玛，上顶点为8,且tan/8"%=而，点P在椭圆

ab

C上，线段尸片与8玛交于。，苑二2的，则直线助的斜率为.

【答案】巫

5

【分析】根据椭圆的性质，利用锐角正切函数的定义，求得2=后，根据向量的坐标运算，求得

C

点。的坐标，结合斜率坐标公式，可得答案.

【详解】由题意，作图如下：

由题意,则耳（F，0）,K（c，0），8（0,b）,设。（工,歹）,

在工中，tan/-BF^F2==—=V15,

一OF、c

则丽=(x,y_b),QF\={c-x,-y),

_2c

——.(x=2(c—x)X-3

由80=2。玛，贝4/J,解得《:

y-b=-2y_o

直线式的斜率左=等=二二=N，记=半.

主+C5c55

3

故答案为：叵.

5

29.（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学20222023学年高三上学期期中）已知椭圆C:t+片=1,

则此椭圆的焦距长为,设耳名为椭圆的两个焦点，过£的直线交椭圆于48两点,

若M用+忸$=12,则»邳=.

【答案】68

【分析】根据椭圆方程求出的值，由c=万可得。的值，进而可得焦距2c,根据椭圆的定

义即可求得|力耳的长.

【详解】由椭圆C：4+J=l可得。=5,6=4,所以c=彳=年=3，

所以椭圆的焦距长为2c=6,

由椭圆的定义可知：|4周+|盟卜2°=10,忸£|+忸闯=2a=10,

两式相加可得：慎用+卜闾+|%|+|因卜20,

因为»用+|明|=12,所以|四|+|明|=8,即卜却=8,

故答案为：6；8.

题型06

30.（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）设椭圆C：耳+4=1（。>6>0）的左、右焦

a1h2

点分别为£,B，直线/过点6.若点B关于/的对称点。恰好在椭圆c上，且用•根=；/,则

c的离心率为（）

12-12

A.JB.-C.-D.-

【答案】C

【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得|P用=勿，|尸周=2。-勿.然后根据即•而=；/,可推

得4c28s6=g/.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率.

【详解】

设

NPF、F2=®,

由已知可得，归6|=归周=2,

根据椭圆的定义有|P国=2"|P£|=2a-2c.

乂用丽=$2，

所以4c2cosju」/

2

在△用巴中，由余弦定理可得，

附「=附|2+比用2-2|阿M周cos。,

即(2a-2c)2=8c2-8c2cos。=必-/

整理可得4c2+8ac-5/=0，

等式两边同时除以小可得，4/+&-5=0,

解得,e=1^e=-1（舍去），

所以e=1

故选：C.

31.（2022秋・浙江•高三慈溪中学校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了

椭圆的光学性质：从椭圆的•个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另•焦点.设

椭圆，=的左、右焦点分别为外,若从椭圆右焦点用发出的光线经过椭圆上

3

的点1和点6反射后，满足且cosN/旭C=§,则该椭圆的离心率为（）.

A.；B.—C.—D.在

2223

【答案】D

【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.

【详解】由题意，可作图如下:

3AB/AorA-

则8S/AB氏,正，sinN啊=心嬴f嚼即45:46：8耳=3:4:5,

Jorx

可设25=3%,AFX=4k,BF{=5k,

由48+/6+56=力用+86+46+8耳=4。，则4k+3攵+5左=4“，即31=°,

AF2=2a-AF}=2kt在RtzU£6中，耳巴={AF；+力用？=20=2c,

则八在=也=叵

2a6k3

故选：D.

32.（2022秋•山东泰安•高三统考期中）已知双曲线C:£-£=1（。＞0力＞0）的左焦点为F（-c,0）,

点M在双曲线C的右支上，4（0乃），若"M"周长的最小值是2c+4〃，则双曲线。的离心率是（）

A.B.x/3+1C.|D.5

【答案】B

【分析】设双曲线C1的右焦点为F',连接4k，线段力/交双曲线C于点〃'，由三角形两边之和

大于第三边得MM+|M尸以力/I，再由双曲线的定义得阿日-|"1=2%从而得到

\AM\-\MF\>\AF'\+7a,所以/周长的最小值可表示为2M尸|+2a,结合条件可求出关于凡。的

方程，即可解出离心率.

【详解】如图，

设双曲线。的右焦点为尸，连接线段力厂交双曲线。于点M',

则|期|+.1之上尸［.

由双曲线的定义可得阿尸卜|叼1=2%则|力划+照/|=|力〃|+根尸卜的?卜尸1+加.

因为/（0力），所以|4尸|=.尸1=病］？，

则△力M尸周长的最小值为2|力尸1+2a=2y/b2+c2+2a=2c+4a,

2

整理得c2-2ac-2a2=0，g|Je-2e-2=0^

解得e=>/3+1.

故选：B

33.（2022秋•河北唐山・高三开滦第二中学上学期期中）如图，圆柱0a的轴截面力844是正方形,

。、£分别是边44和的中点，C是”的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱侧面相交

所得到曲线的离心率是.

【答案】也

22

【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭

圆的离心率定义求解即可.

【详解】设圆柱0a的轴截面，即正方形的边长为2,设G是弧44的中点，且与C关于圆柱的中

心对称，

由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2,长轴0。=亚7s=26，

所以长半轴长a=0短半轴长6=1,

故半焦距为c=77二万=］,

所以椭圆的离心率为e=£=也，

a2

故答案为：息.

2

34.(2022秋•河北保定•高三河北省唐县第一中学校联考期中)己知双曲线C：4-4=1(«>0,/»0)

ab~

的左、右焦点分别为耳，M,N为双曲线一条渐近线上的两点，4为双曲线的右顶点，若四边形

MKAR为矩形，且NM4N=¥，则双曲线。的离心率为()

4

A.x/13B.75

C.浮D.G

【答案】B

【分析】先求出M,N的坐标，再根据NM4N=个得到一个关于。，b的等式，最后根据。，b,c

的关系求出离心率即可.

【详解】依题意，易得以丹鸟为直径的圆的方程为/