高级计量-时间序列

博士生高级计量经济学（管理类）之

时间序列计量经济分析

I.平稳时间序列模型

II.非平稳时间序列

III.向量自回归VAR模型

IV.ARCH与GARCH模型

平稳时间序列模型

时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点。近代计量经济

学和金融市场分析的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统的应

用较广的是Box和Jenkins（1970）提出的ARMA（自回归移动平均）模型。

Engle（1982）提出了ARCH模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融

时间序列模型，由此开创了时间序列分析独树一帜的研究思路和方法。就时间序

列分析理论和方法的发展而言，平稳时间序列的统计分析，在理论上的发展比较

成熟，构成时间序列分析的基础。

一、基本概念

（一）、随机过程

在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对丁些简

单的随机现象，一个随机变量就够了；对于一些复杂的随机现象，需要用若干个

随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次

品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。

还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能

只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种

动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数-它是一个随机变

量。若考察它随时间f变动的情况，则需要考察依赖于时间，的随机变量｝

就是一个随机过程。又例如，某国某年的G0P总量，是一个随机变量，但若考

查它随时间变化的情形，则｛GO《｝就是一个随机过程。

一般地，若对于每一特定的r（，£丁），》为一随机变量，则称这一族随机

变量｛»｝为一个随机过程。随机过程的分类一般有两种方法：（1）以参数集7

和咒的取值的特征来分类；（2）以统计特征或概率特征来分类。为了简便，我们

以参数集和其的取值的特征来分类。以参数集7的性质，随机过程可分为两大类:

7为可数集合与不可数集合。以*所取的值的特征，随机过程也可以分为两大类:

离散状态，即匕所取的值是离散的点；连续状态，即），，所取的值是连续的。由此

可将随机过程分为以下四类：离散参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过

程；连续参数连续型随机过程；离散参数连续型随机过程。

（二）、时间序列

离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序列。

经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。时间序列分

析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法。

时间序列的特点是：序列中的数据依赖丁时间顺序；序列中每个数据的取值

具有一定的随机性；序列中前后的数值有一定的用关性--系统的动态规律；序列

整体上呈现某种趋势性或周期性。时间序列的统/特征通常用其分布及数字特征

来刻画。例如期望E（y）,方差和协方差Cov（y“x）。

研究时间序列具有重要的现实意义，通过对时间序列的分析和研究，认识系

统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运

行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、

周期等）按照新的结构运行。

（三）、时间序列的平稳性

所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发

生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变

化“以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时，其估计方法、检验

过程才可能采用前面所介绍的方法。

直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。

从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指

随机过程｛上｝的联合分布函数与时间的位移无关。设｛R｝为一随机过程，〃

为任意正整数，力为任意实数，若联合分布函数满足：

G心,….（冷…，X"）=气:—（不…，天）

则称｛%｝为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。

弱平稳是指随机过程｛£｝的期望、方差和协方差不随时间推移而变化，若

｛上｝满足以下三条件：

2

E（y）=u,Var（yt）=a,Cov（y,工）=/（—s）

则称｛£｝为弱平稳随机过程。在以后的讨论中，关于平稳性的概念通常是指弱

平稳，弱平稳通常也被称作宽平稳。

需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过

程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布

函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。

时间序列分析中常用到的平稳随机过程是一一白噪声过程（序列）。

2

对于一个随机过程｛%/£为，如果f（y,）=O；Var（yt）=<J<oo；

Cov（K，”）=0,/ws,则称｛y"wT｝为白噪声过程（序列）。

白噪声序列因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关，显然白噪声是

二阶宽平稳随机过程。如果｛£｝同时还服从正态分布，则它就是一个严平稳的

随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强

度不变的干扰声。下图是由噪声过程产生的时间序列。

图1由白噪声过程产生的时间序列图2口元对美元汇率的收益率序列

在时间序列分析中，我们经常要用到滞后算子L,它的定义为

L

y.=yt-\

这个滞后算子L是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。如果应用两

次滞后算子，有

L

(Lyt)=Lyt_x=yz_2

记两个滞后算子的乘积为有/?),,=),々°规定。°x=y,即它是一个恒等映

射。滞后算子L的逆算子L满足一般地，对于任意的整数，我们

k

有^yt=yt-k

滞后算子L对于数量乘法和加法满足交换律和分配律，即对于任意的常数6和时

间序列()小2，*,｝二，｛叱｝二，有

L(优)=pLyt,L(xt+M;)=Lxt+Lw,

如果y,=(a+/?L)ZA,,那么有y,=(aL+bl3)x,=axt_t+bxt_2

另一个例子

2

=(1-A1L-Z!L+/1]/UL)A;

二七一(4+4)X,T+443_2

像(立+力力这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。

二、移动平均(M4)过程

在金融收益率序列的建模中有一类简单模型是移动平均模型(Moving

AverageModel,缩写为MA模型)。它可以看作是白噪声序列的简单推广。

(-)一阶移动平均过程M4(l)

如果｛〃/是白噪声过程，定义

y="+勺+43

其中〃和0为常数，这个序列称为一阶移动平均过程M4⑴o

期望为E(y,)=〃+E(〃J+6E(k)=〃

222

方差为E(y,=E(wz+6?wz.,)=(1+^)CT

一阶自协方差为cov(y,,}；-|)=以%+&_I)(q_1+纨2)=比2

高阶自协方差为cov(y,,y,_j)=£(wz+Out_{)(+Ou,^)=0(j>1)

上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管0为何，M4⑴过程都是平稳的。

而一阶自相关系数p.1比：广当

高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1阶处截尾。

(二).q阶移动平均过程加4(4：

q阶移动平均过程的表达式为：

y=〃+/+。必・1+.2+…+6Mr

其中｛〃,｝为白噪声过程，(氏为,…,q)为任何实数。其均值、方差、自协方差和

自相关函数分别为：

E⑸="

/o=V«r(y,)=E(w,+4明+O2ut-2+…+W)

=(i+e；+e；+...+e；”2

力=COV("T)

=E(〃,+〃%+...+即口/(/7+...+“t-j-q)

_(%+%©+%2。2+…+约%,)/j=12...,q

。j>q

夕阶移动平均过程的自相关函数为

4+4+1―+4+22+…+4忆,?

Pk=<1+标+出+…+夕：‘‘(1)

0k>q

(1)式告诉我们，当移动平均过程的阶为q时，间隔期大于q的自相关函数值为零。

这个性质称为M&q)的自相关函数的截尾性，意思是说，自相关函数的图形随着

自变量k到达①+1)时突然被截去。MA(q)的截尾性给我们一个重要启示：如果

某时间序列是来自一个移动平均过程，则当该时间序列的样本自相关函数，从某

个间隔期(4+1)开始，其值均为零时，我们就可以推测，原时间序列的阶数为“。

［例］MA⑵•过程上=%+4〃一+a%-

2

容易算得%二(1+6；+。；)/,%=(q+aa)/，r2=O2a,力=0,J>2;

_"+,-———7,0=0,y>2o

［例］一个一阶移动平均过程

y=1.6+%+0.5〃小

其中吃是。一=2高斯白噪声过程，表1是它容量为100的一个样本。

表1一阶自回归过程y,=1.6+%+0.54_］的一个实现

tY,iY,tY,t匕

10.8855262.23351-0.1954761.3707

24.2934271.2258520.2623773.2748

3-0.1071281.0914532.6973784.642

40.0796293.8662541.5055794.514

52.8523303.6584551.8346806.3372

62.480131-1.2055562.371813.0025

72.300332-0.5732571.4937321.9877

81.0175331.2197581.2863831.8743

93.2323341.4091592.0144842.1319

102.499935-0.844601.7401850.4165

112.300736-1.031661-0.299386-1.1645

123.1032371.1887621.3933871.3004

133.1367381.7468630.366881.0471

142.4248390.5279642.5341891.3628

152.5574400.1392653.2576900.7714

162.5946410.992661.0231913.2516

171.1813422.8198672.6489923.1616

180.230543-0.603682.1931.6074

192.311544-0.4252692.183942.5893

20-0.0818450.1535701.6981952.3218

21-3.168846-1.1038712.3432960.8638

220.5128471.0635723.7589972.582

232.4507482.0526733.9677982.4109

240.8341491.7068743.0588990.8723

251.259550-0.8452751.63041003.4713

(1)画出》的线图；(2)求y的自相关函数

在EViews中输入命令Ploty,可得该样本的线图如下

图3过程)，,=1.6+u,+0.5〃小的线图

根据公式(1)式，容易求得上的总体自相关函数为

a0.5

=0.4,k=\

Pk=<\+耳1+0.5?

[0,k>\

在EViews中双击序列£,然后点击View\Correlograms,选择水平序列可

得AutocorrelationandPartialcorrelations函数图如下,

AutocorrelationPartialCorrelationACPAC

1—11ZZI10.4040.404

1011[I20.112-0.061

1□1=J30.2570.280

1n1i40.2370.038

111:150,072-0.040

1।50,011-0.049

19110170.1220.098

1IE1B-0.001-0.139

1।]13-0.0300.062

I]1100.0880.064

图4过程y=1.6+ii,+05%的自相关与偏相关图

从图4的样本自相关函数值可以看出：滞后2期的自相关函数值衣=0.112与

立=0.404相比，大幅度减少，2>2的样本自相关函数值也越来越小。

移动平均过程的另一个重要问题是可逆性：

MA（q）表达为：y,=,+q+即%+…+巧产一,=〃+

其中。"）=1+夕/+*[?+......称为特征多项式。

MA（q）可逆的充分必要条件是：特征方程0（£）=0的根都在单位圆外。

（三）.无限阶移动平二匀过程M4（8）

对于一个M4g）过程，如果让qf8,我们就得到如下的过程：

£

y=〃+Z0jt-j=〃+%+6必.|++…

j=0

我们称此过程为M43）过程，这里％=1。我们可以证明：如果MA3）过程

的系数是平方可加的，即£外<8，那么M48）是一个平稳的过程。

六0

一般地，我们用一个更强的绝对可加条件£向卜00来代替平方可加条

六0

件，绝对可加蕴涵平方可加。系数是绝对可加的MA（8）过程的均值和自协

方差分别为

七（。必一+。%/一）〃

£[»]=Tli—m>x»4+%+124-2+…+7=

/o=£(>;-//)2=lim£1(%+a4_i+-2+,,,+，/”)2

T-xc

=iim(i+e：+e；+-・+。；炉

T—>oo—

乙二E(y-〃)(“一〃)

=〃(4〃+4+&+4+2%+…)

(四)、移动平均过程的参数估计

移动平均过程的参数估计就是在已确定移动平均过程的阶以后，根据它的一

个现实样本(X，L，来估计移动平均过程的均值〃二凤匕)，及移动平均

系数(或称权数)。，以及被假定为白噪声过程的吃的方差。：。不失一般性，我们

假定MAS)的均值〃=E(匕)=0,以便于对其它参数的估计。

匕=%+4〃川+。2%.2+…+(2)

其中｛〃/是一日噪声过程。

估计(2)式中的参数的一个方法是将它化成4R(8)的形式(因为它是可逆的,

这种转换是可行的)：

(1+/L+rll七+〃3七'+,,,)-=〃/

即匕=一7匕.|-小匕一2-小Z-3---+%

求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸〃，即求各"，使

00

S(7，%，%，…)=Z("71+%*+/*+…)2

/=1

最小。

我们的估计问题首先就是要求各力使S(7，%,%,…，么)最小(%=1)。当我们估

计出〃以后，再根据〃与。的关系，求出各。的估计值。

上述过程所用的方法是最小二乘法，但是由于各〃与各。的关系较复杂，上

述估计属于非线性估计，往往要在一组初始值下进行迭代。有计量经济学软件

EViews中有相应的程序对AM⑷过程进行参数估计。

例如:如要估计MA(2)过程,则估计命令为

LsycMA(1)MA(2)

下图是某MA(2)序列的EViews估计的输出结果

F-------------------------------------------------------------------------------------------------------

EViews-[Equation:UWTITLEDTorkfile:gftIAl+2\Unti...目回卤

□FileEditOlj.ctViewProcQuickO£tionsWindsH«lp-SX

Vi8MpObject1外匕|Name〔Freeze|Estimate]Forec蚊|Stats|Resids|

TV

DependentVariableY

Method:LeastSquares

Date:06/21/10Time10:38

Sample:1100

Includedobservations100

Convergenceachijvedafter9iterations

Backcast-10

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb,

C1960306006341831.226330.0000

MA(1)0.2389060.0998792.3919650.0187

MA(2)0.18895801044031.8098840.0734

R-squared0.066722Meandependentvar1.982562

AdjustedR-squared0.047479S.D.dependentvar0.456385

S.E.ofregression0.445418Akaikeinfocriterion1.249936

Sumsquaredresii1924457Schwarzcriterion1.328091

Loglikelihood■5949679F-statistic3.467371

Durbin-Watsonstat2043234Prob(F-slati$tic)0.035118

InvertedMARoots-12-.42i-.12+.42i

V

」D«p«nd«ntVonabh:I

图5MA（2）过程的EVicws估计结果

若假设⑵式中｛〃』是一高斯白噪声过程（〃,〜N（0Q2））,也可用最大似然估

计来估计模型中的参数。（略）

三、自回归（AR）过程

另一类常用的模型是自I可归模型（AutoRegressiveModel,缩写为AR模型）。

（一）.一阶自回归过程AR⑴

表达式为方程：

y=c+肛T+/⑶

〃，为白噪声序列。

如果阚＞1,过程（3）中〃，对y的影响随着时间累增而不是消失，过程不是

有限方差的平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。当嗣＜1时，可直接利用

差分方程）：=c+”小+勺计算各阶矩。对（3）式两边取期望：

石（止。+网y.J

从而，

七⑸

对（3）式变形，得到:

y=〃［1一姆+。.%+《或（y-"）=。（坨-M+q

两边平方求期望：

二，E（y_i『+2。矶（加-〃）%］+七⑹

将（>；_1-//）=〃小+如_2+"/一3+•…代入，可得

yo=#，o+o'

从而得到协方差平稳AH（l）过程的方差：

（3）两侧同时乘以（）力-〃），再求期望

足（,—〃乂）力一〃）］二"［（）小一〃乂）工厂〃）］+后［与（）"「〃）］

可得自协方差函数

九=忆.\

一=，—

则自相关函数为：

0=匕="（4）

/o

（二）.〃阶自回归过程AR（p）

表达式为：

£=C+网>r-|+02y.2+--+。/+〃,15）

其平稳性条件为特征方程1-4Z-4z2-…-0Z〃=O的根都在单位圆外。假设过程

平稳，对（5）两边求期望，得至士

〃=6++叁〃+…+力〃

从而可以得到均值：

"=c/（l-a-4_...一勿）

表达式（5）可以写成：

yd（y7-〃）+4（y”2—〃）+…•+0（其心一4）十%

表达式两侧同时乘以（九/-〃），再取期望可得自协方差:

。乙一|十。2力—2+3+。/力-〃，=1,2,…

y.=j->10)

)…+%Yp+b7=0

(6)两侧同时除以加，得到尤拉--沃克(Yule-Walker)方程：

Pi=域0T+。2。.2+…+耙P/_pj=12.…⑺

式(6)和(7)表明，〃阶自回归过程的自协方差函数和自相关函数具有相同形

式的p阶差分方程，其自相关函数的具有拖尾特征。也就是说随着L的增大，pk

的绝对值逐渐下降，但是不会到某一点以后被突然截断，而是一直拖下去，我们

称自回归模型的自相关函数的这种特性为自相关函数的拖尾性。

显然自相关函数的拖尾性是AR模型的特征而自相关函数的截尾性则是MA

模型的特征。但是用自相关函数的拖尾性并不足以说明时间序列是来自自回归过

程。下面引入偏自相关函数的概念。

在⑺式中令/=1,2,得到如卜的Yule-Walker方程组

P\=族+圾8+…

22=族。I+A夕0+…。小

pP=Mpf+app-2+,••+•

其中运用了夕0=1和04=Pko

当ZVA，…，夕〃为己知时，可从Yule-Walker方程组中解出诸但用方程(8)

求解诸友需要先知道自回归过程的阶数P，但是我们并不知道。因此，我们可以

分别p=l,2,…求解。

当〃时，求解方程组(8),并利用样本自相关函数，得必的估计值3二4。

如果必显著地不为零，则自回归过程的阶数至少为1。记J为0“。

当〃=2时，求解方程组(8),并利用样本自相关函数，得族和人的估计值，

设人的估计值为初。如果么显著地不为零，则自回归过程的阶数至少为2。汜&

为为。

对〃连续取值3,4,…，重复上述过程，如对〃=3,得到由的估计值&，

记为％，等等。我们称序歹U%,仍2，033,…，为偏相关函数。

性质结论：AR(p)模型的偏自相关函数p阶后截尾。(MA模型拖尾)

(三)、有限阶自回归过程的估计

可以利用最小二乘法来估计4R(p)过程中的未知参数。把观察值代入方程(5)

中可得

%+i=。+价)％+仍)，%］+•••+%,)，］+〃》］

先+2=。+例+%)'〃+…+%%+〃p+2

*

*

二c+(P\»7+(p2yT_2+…+UT

把它写成矩阵的形式为

y=X(p+u

其中>=(%+1，力+2,…，)'r)'，u=Qp+M+2,…，％)'，。=(。,必，…,。J

1”•*-M一

丫1加…乃

X=....

••••

♦•••

J>7-1…)7-p.

参数向量。的最小二乘估计量为

3=(xx『xy

如果〃，服从正态分布，那么最小二乘法估计量。是一致的和渐近正态的。

EViews软件中有相应的程序对AR(p)过程进行参数估计。

例如：如要估计AR(2)过程,则估计命令为LsycAR⑴AR(2)

四、自回归移动平均过程ARMA(p，4)

如果自回归移动平均过程中自回归部分的阶数为零，则它就成为一个纯移动

平均过程；如果自回归移动平均过程中移动平均部分的阶数为零，则它就成为一

个纯自回归过程。所以AR过程和MA过程均可看成是ARMA过程的特例。

(一)、4知以(〃国)过程的性质

ARMA(p,q)表达式为：

X=c+埼y,_,+我乂_2+…•++%+夕必”+…+自产519)

写成滞后算子的形式为：

0—0Z-02尸一….一内尸）y=C+（1+，J+…+a户（10）

可以发现，4加4（PM）过程的平稳性完全取决于回归参数（落如…场,）而与移动

平均参数无关。即例（PM）过程的平稳性条件为特征方程：

l-^z-^z2-....-^,zp=O（11）

的根在单位圆外。

ARM4（p，4）过程的自相关函数都具有拖尾特征。

（二）、例（〃M）过程的识别与估计

ARMA（p⑺过程既有自回归的某些性质又有移动平均的某些性质，从其自相

关函数来看，它与自回归过程一样是拖尾的；从其偏自相关函数来看，它和移动

平均过程一样也是拖尾的。所以，如果其自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的,

则我们就可以判定这个线性时间序列是一个ARMA过程。

［例］ARMA模型的识别。

根据某样本容量100的数据表（略）拟合一个ARMA模型。

用EViews可得样本自相关函数和偏自相关函数

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-Stat

1]1110.675087578858

1匚120694-030312904

1]1n30596032716642

1口140.515-0.21219463

1]1150,416003621324

1=□匚160.301-0.19022308

113•70.2100.115227.93

11180.165-0.01023096

11190.1360.045233.04

11।c1100079-0.162233,75

11•C111-0010-0.094233.76

'[1112-0.105-0.167235.04

C11113-0.1780.00323876

匚1•C114-0.236-0.103245.39

■1IC115-0.315-0.113257.27

111D16-0357018727274

U11i17-0.337-0.02528674

U1•1i18-0.322-0.05529964

1=11i19-0.320-0.01231256

匚11i20-0.3070.00632460

匚11i21-0.279-0.00133465

1•1i22-0.255-0.053343.16

11■23-0.2080.25234888

|[11124-0.140-0.031351.50

1[11125-0.095-000735273

1[1c126-0.081-0.188353.63

'[11127-0.074-0.018354.40

1111128-0.042001735464

111129-0.006-0.00135465

111c130-0.001-0.074354.65

111131-0.009001135466

111132-0.003002635466

111330.0480151355.01

1•I1340.116-0.06235709

11[1350.131-0.087359.79

1pi111360,108005036166

图6时间序列X的样本自相关函数AC与偏自相关函数PAC

从图6可看出自样本自相关图（表中的第一栏）具有拖尾特征，而偏自相关图（表中

的第二栏）也具有拖尾特征，所以该时间序列是一个混合自回归移动平均过程。

下面我们用计量经济学软件EViews分别进行不同阶的拟合：

根据ARM41J）拟合的结果如下表所示

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.645710.70590627.830480.0000

AR(1)0.7273110.0733539.9151740.0000

MA(1)0.7489210.07086C10.569040.0000

R-squared0.822026Meandependentvar19.67056

AdjustedR-squared0.818318S.D.dependentvar2.572546

S.E.ofregression1.096525Akaikeinfocriterion3.052004

Sumsquaredresid115.4273Schwarzcriterion3.130644

Loglikelihood-148.0742F-statistic221.7024

Durbin-Watsonstat2.160162Prob(F-stalistic)0.000000

根据ARM42J）拟合的结果则为:

VariableCoefficientStd.Errcrt-StatisticProb.

C19.711410.83044723.735910.0000

AR⑴0.5347560.1291764.1397500.0001

AR⑵0.2194580.1277951.7172680.0892

MA(1)0.8575970.07050712.163360.0000

R-squared0.827770Meandepsndentvar19.68422

AdjustedR-squared0.822274S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.088577Akaikeinfocriterion3.047580

Sumsquaredresid111.3901Schwarzcriterion3.153089

Loglikelihood-145.3314F-statistic150.5943

Durbin-Watsonstat2.017941Prob(F-statistic)0.000000

根据ARM42,2）拟合的结果为:

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C19.725240.81644924.159780.0000

AR(1)0.4421830.3349201.3202660.1900

AR⑵0.2818680.2527201.1153360.2676

MA(1)0.9568900.3274212.9225040.0044

MA(2)0.0805570.2536260.3176210.7515

R-squared0.827780Meandependentvar19.68422

AdjustedR-squared0.820372S.D.dependentvar2.582161

S.E.ofregression1.094384Akaikeinfocriterion3.067934

Sumsquaredresid111.3840Schwarzcriterion3.199820

Loglikelihood-145.3288F-statistic111.7516

Durbin-Watsonstat2.020893Prob(F-statistic)0.000000

上述三个结果中，以4用"42,1）拟合的调