高考物理-圆周运动-全总结

高考物理•圆周运动•必考点全总结

一、匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(I)

1.描述圆周运动的物理量

常用的有：线速度、角速度、周期、转速、向心加速度等.具体

比较见下表：

定义及意义公式及单位

(1)描述做圆周运动的物体运动抉，八Al2nr

线速慢的物理量(0)⑴。一加一T

度(2)是矢量，方向和半径垂直，为

⑵单位：m/s

圆周切线方向

定义及意义公式及单位

(1)描述物体绕圆心转动快慢的物理小A827r

角速度量®)T

(2)是矢量，但中学不研究其方向Q)单位：rad/s

⑴描述物体绕圆心转动快慢的物理量⑴7=四=空

周期和⑵周期是物体沿圆周运动一周的时间

转速⑺(2)〃的单位玲_或

(3)转速是物体单位时间转过的圈数(〃)r/min

(1)描述线速度方向变化快慢的物理V2

向心加2

量⑷

速度2

(2)方向指向圆心(2)单位：m/s

定义及意义公式及单位

(\}v=r(o=-r=2nrf

v2,47i2r2

(2)a——r(o—(t)v—y2—4^27r

相互关系r

(3)F=m~=niro)"==nuov

=^nifr

问题探究1从0=~看，好像〃与r成反比；从a看好像Q与r

成正比，那么。的大小与半径成正比还是反比？应如何回答？

I提示I两式都不是向心加速度的决定式，只是用来计算大小的

计算式，应描述在。一定时，〃与r成反比；在“一定时，〃与/•成正比.

问题探究2为什么说匀速圆周运动并不匀速？

［提示］匀速圆周运动只是速度大小不变，而速度方向时刻变化,

故为变速运动.

三、离心现象(I)

离心运动

1.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切

线方向飞出去的倾向.

2.受力特点(如右图所不)

(1)当/="足时，物体做匀速圆周运动；

(2)当尸=0时，物体沿切线方向飞出:

(3)当人迦应时，物体逐渐远离圆心，产为实际提供的向心力.

(4)当时，物体逐渐向圆心靠近.尸o

F<mra)'\

F

F=mr心

屈图的圈胴

(1)物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性

的表现.

(2)物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来

越大或沿切线方向飞出.

要点一向心力的来源及确定方法

L向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力、

磁场力或电场力等各种力，也可以是几个力的合力或某一个力的分力,

因此在受力分析中要避免再另外添加一个“向心力”.

2.向心力的确定

首先确定圆周运动的轨道所在的平面；其次找出轨道圆心的位置;

然后分析做圆周运动的物体所受的力，并作出受力图，最后找出这些力

指向圆心的合力就是向心力.

例如：沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周

运动，如右图所示.小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O,

点，不在球心。也不在弹力尸N所指的尸。线上.

氐图则唱图

圆周运动的向心力一定是沿半径指向圆心的合外力.若沿切线方

向合力等于零，则物体做匀速圆周运动，否则，物体做非匀速圆周运

动.

＞即学即用1

如右图所示，一小球用细绳悬挂于。点，将其拉离竖直位置一个

角度后释放，则小球以。点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心

力是（）

A.绳的拉力

B.重力和绳的拉力的合力

C.重力和绳的拉力的合力沿绳方向的分力

D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

I解析I分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作

出正确的受力分析图.如下图所示，对小球进行受力分析，它受到重力

和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力.因此，它可以是小

球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力.

mg

借案］CD

要点二在传动装置中各物理量之间的关系

在分析传动装置的各物埋量时，要抓住不等量和相等量的关系，

表现为：

1.同一转轴的各点角速度”相同，而线速度。与半径『成正

比，向心加速度大小。=，”2与半径成正比.

2.当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边沿上的各点

线速度大小相等，而角速度”=£与半径/•成反比，向心加速度大小。=

；与半径/•成反比.

0图画置图

采用齿轮传动时，两轮边沿的线速度大小相等，齿数与半径成正

比，角速度与齿数成反比.

＞即学即用2

（2011・贵州崇文中学10月月考）如下图是一种“滚轮——平盘无极

变速器”示意图，它由固定于主动轴上的平盘却可随从动轴移动的圆柱

形滚轮组成,由于摩擦作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果

认为滚轮不会打滑，那么，主动轴转速修、从动轴转速〃2、滚轮半径，

以及滚轮距离主动轴中心的距离x之间的关系是（）

I解析］由于平盘和滚轮接触处的线速度大小相等，所以2kM=

2nn2r9即〃2=吟所以选项A正确.

［答案IA

要点三生活中的圆周运动

1.火车转弯问题

在平直轨道上匀速行驶的火车，所受合力为零，在火车转弯时，

什么力提供向心力呢？在火车转弯处，让外轨高于内轨，如右图所示，

转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供.若轨道水平，转弯时所需

向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏.车速

大时，容易出事故.设车轨间距为3两轨高度差为小车转弯半径为几

质量为M的火车运行时应当有多大的速度？

根据三角形边角关系知sinO=%

对火车的受力情况分析如图所示，

得匕血=卷・

因为〃角很小，所以sinO^tanO,故石=福，所以向心力/

又因为尸=等，所以车速彩=\产符.

KL

由于铁轨建成后/，、L./?各量都是确定的，故火车转弯时的车速

应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：

情况跺

合力尸与鼻:的关系万〈尸向Q尸向

不利影响火车挤压外轨火车挤压内轨

外轨对车轮的弹内轨对车轮的弹力抵消部分合

结果

力补充"向心力力

2.静摩擦力作用下的圆周运动

静摩擦力的特点是根据物体运动改变大小，变换方向.有人把静

摩擦力的这一特点称为“适应性”.由于静摩擦力这一特点的存在导致

在许多问题中出现了临界问题.

处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从而结合其他力

分析出向心力的变化，以确定圆周运动的其他物理量的变化.

＞即学即用3

在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h.汽

车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面间的最大静摩擦力为车重的0.

6倍.取g=10m/§2,试问：汽车在这种高速公路的水平弯道上安全拐弯时,

其弯道的最小半径是多少？

［解析］汽车在水平弯道上拐弯时，向心力由静摩擦力来提供，但

不能超过最大静摩擦力；

汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，恰好不滑

一

动时有：将。=30m/§代入，得最小弯道半径/*=150m.

I答案I150nl

题型一圆周运动的动力学问题

S圄则园口

圆周运动的动力学问题，本质仍是研究力和运动的关系，是牛顿

定律在曲线运动中的应用，圆周运动的动力学问题，关键是分析向心力

的来源，即由什么力来充当向心力这个角色，在不同问题中不同，需要

具体分析，但要注意无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心

力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律，即

2

Fn=man=ttt(or=r=nr~^~

解决圆周运动问题的主要步骤

(1)审清题意，确定研究对象；

(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道

平面、圆心、半径等；

(3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；

(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；当采用正交分解法时,

常常以做圆周运动的物体为坐标原点，一个坐标轴沿半径指向圆心.

(5)求解、讨论.

例1如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴00,转动，

筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为K和〃，筒内壁力点的高度为筒高的

一半.内壁上有一质量为胆的小物块.求

(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁片点受到的摩擦力和支持力的

大小；

(2)当物块在力点随筒匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转

动的角速度.

［思路诱导I对物块进行受力分析，分别根据共点力平衡和圆周

运动所需向心力利用正交分解列方程求解.

［尝试解答I(1)物块静止时，对物块进行受力分析如右图所示，

设筒壁与水平面的夹角为〃.

由平衡条件有

Ff=mgsinff=〃唁co§〃

由图中几何关系有

AR・AH

2诉W2诵调

出七口ntgH_jn火R

故有广\尸+“2，、-\我+“2

(2份析此时物块受力如右图所示,

〃igtan〃=mrw1

八HR

其中tanO=R,r=j,

可得

，叫R

借案］(1)⑵噌

\H2+R2\IH2+R2

解答有关圆周运动问题时，首先必须做好关键的几步：（1）对研究

对象受力分析，确定好向心力的来源.（2）确定圆周运动的轨迹和半

径.（3）应用相关的力学规律列方程求解.

＞变式训练1

（2011•湖南南县一中第二次月考）如右图所示，轻线一端系一质量

为股的小球，另一端穿过光滑小孔套在正下方的图钉力上，此时小球在

光滑的水平平台上做半径为〃、角速度为0的匀速圆周运动.现拔掉图钉

力让小球飞出，此后细绳又被/正上方距力高为〃的图钉6套住，达稳定

后，小球又在平台上做匀速圆周运动,求：

（1）图钉力拔掉前，轻线对小球的拉力大小？

（2）从拔掉图钉力到被图钉8套住前小球做什么运动？所用的时间为

（3）小球最后做圆周运动的角速度.

A

|解析|⑴图钉力拔掉前，轻线的拉力大小为r=〃7疗〃.

(2)小球沿切线方向飞出做匀速直线运动，直到线环被图钉8套

住，小球速度为匀速运动的位移S=y(a+〃)2—/=\易而方

2

(如.图)，则r—时间，=言5=\七2a言h-\一-h•

(3)。可分解为切向速度小和法向速度巧，绳被拉紧后。2=0,小球

以速度小做匀速圆周运动，半径r="+瓦由。工侬，得

V\a2(t)

=：=(〃+%)2

［答案］(\)T=m(o2a(2)做匀速直线运动(3)(；Q

题型二竖直平面内圆周运动的临界问题

竖直平面内的变速圆周运动，经常出现临界状态，变速圆周运动

的临界问题仍是研究动力学问题.物体是做圆周运动，还是做近心运动,

还是离心运动，取决于物体所受的外力尸（我们可以称其为所提供的向心

力/供），与物体做圆周运动的质量与向心加速度的积〃（我们可称其为

所需的向心力产需）的关系如何：如果产供〉产需（供大于求）则物体做近心运

动，如果/供=产需（供求相当）则物体恰能做圆周运动，尸供V曝（供不应求）

则物体做离心运动，此类问题多以讨论最高点时的情况，下面具体分析

几种情况：

轻绳模型轻杆模型

EC®©

常见

类型

均是没有支撑物的小球均是有支撑物的小球

高

过

最

点

临

的

却由〃陪=说;得时=\好。临=。

条

件

一

轻绳模型轻杆模型

(1)当u=0时，F、=mg，FN为支持力,沿

(1)过最高点时，u2Vgr,半径背离圆心

v2、1—v2

讨F+mg=m下,绳、轨道对(2)当Ov0v7gr时，一仆+m~,F、

论

球产生弹力产背离圆心并随&的增大而减小

分

(2)v<\'gr不能过最高点，(3)当•=砺时乐=0

析

在到达最高点前小球已经

(4)当琰>\好时，&+"=〃?；，尸、指向

脱离了圆轨道

圆心并随。的增大而增大

⑴绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑

说力,而杆可有支撑力.

明(2)对于杆模型，在最高点时，如果不知是支撑力还是拉力，此时可假

设，然后根据其方向再确定.

例2如右图所示，质量为/〃的小球置于方形的光滑盒子中，盒子

的边长略大于小球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内以O点为圆

心做半径为K的匀速圆周运动，已知重力加速度为g,空气阻力不

计.求：

（1）若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力，则该同

学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？

（2）若该同学拿着盒子以第⑴问中周期的!做匀速圆周运动，则当

盒子运动到如图所示（球心与。点位于同一水平面上）时，小球对盒子的

哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？不、

om

R

［思路诱导ImR（年产一周期To-T'

盒子对小球

F'向=〃求（下一）2小球对盒子的作用力

的作用力

［尝试解答I⑴设盒子的运动周期为，0.因为在最高点时盒子与小

球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力提供向心力，

根据牛顿第二定律得〃琢=〃求亭）2

解之得，0=2小

(2)设此时盒子的运动周期为r,则小球的向心加速度为。。=骨

由第⑴问知，0=27\/5且r=?

由上述三式知。0=依

设小球受盒子右侧面的作用力为死受上侧面的作用力为小，根据

牛顿运动定律知

在水平方向上尸=〃"。即/=4〃喑

在竖直方向上尸、+，，鸳=0即尸N=一"售

因为例正值、尺为负值，由牛顿第三定律知小球对盒子的右侧面

和下侧面有作用力，大小分别为4/叫和［叫.

借案］⑴酎(2)小球对盒子的右侧面和下侧面有作用

力，大小分另I」为4〃唱和〃好

氐园局应国

在判断盒子对小球的作用力的大小和方向时，可以首先做出假设,

然后应用牛顿第二定律列式求解，最后根据结果的符号判断力的真实方

向.

>变式训练2

如右图所示，长度L=0.50m的轻质杆。，，力端固定一个质量为股

=3.0kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动.通过最高

点时小球的速率是2.0g取10m/C,则此时轻杆。1()

A.受到6.0N的拉力

B.受到6.0N的压力

C.受到24N的拉力

D.受到54N的压力

I解析］设杆转到最高点球恰好对杆的作用力为零时，球的速度为

%则有何『吟，其中K=0.50m,则。=\.=\行m/s,因为、石

V2

m/s>2m/s,所以杆受到压力作用.对小球有"长一尸、=〃仄，所以尸N=

&2202

=3.0X10N-3.0XTTYN=6N.故选项B正确.

KU・>

［答案IB

题型三水平面上圆周运动的临界问题

建议在有临界问题存在的或不知是否出现临界问题时，先假定物

体以较小的转速运动，分析各力的变化，或在已知速度如何变化（确定

需要的向心力如何变化）的同时，分析外界实际提供的向心力如何变化.

通过分析即可确定临界条件.

总之，在分析圆周运动问题时，一边考虑提供的向心力如何变，

一边考虑需要的向心力如何变化.把思维的关注点放在“变化”二字上.

再复杂的圆周运动问题都可迎刃而解.

例3（18分）（2011•豫南九校联考）如图甲所示，用一根长为/=1m

的细线，一端系一质量为帆=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在

一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角〃=37。，当小球在水平面内

绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为“时，细线和张力为。（取g=10

m/s2＞结果可用根式表示）求：

（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度为至少为多大？

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°,则小球的角速度”为多大？

（3）细线的张力呜小球匀速转动的角速度”有关，请在如图乙所示

的坐标纸上画出当”的取值范围在0到”之间时的丁一〃图像（要求标明

关键点的坐标值）.

［思路诱导］由题意知，小球的角速度的变化是引起细线张力变

化的罪魁祸首，因此要对小球的运动进行分段讨论，而分段讨论时找到

各个分段的临界值是解题的关键.

［解题样板I⑴若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线

拉力.小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在

水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式：Q分）

解得：布=意^,即3='位rad/§.（l分）

（2）同理，当细线与竖直方向成60。角时，由牛顿第二定律及向心力

公式：（2分）

解得“'/Ct即/=\扁=①「辿§.（1分）

（3）当"=0时，r=/Hgco§〃=8N（1分）

标出第一个特殊点坐标（1分）

当0<ro<\12.5rad/§时

水平方向由牛顿第二定律及向心力公式：

八in。一NcosO=〃〃J/sin0（l分）

竖直方向由平衡条件知：（1分）

9

解得：T=,〃/cosO+tnl（o2sin23=8+涯”2（］分）

故当回=yilMrad/s时，T=12.5N

标出第二个特殊点坐标（1分）

当\125rad/s《coW\20瓶（1/§时，小球离开锥面，设细线与竖直方

向夹角为“

Tsin"=〃〃J/sin就1分）

解得：r=分）

当/=«/=\/20rad/s时，f=20N

标出第三个特殊点坐标_______（1分）

画出丁一苏图象如图所示,（3分）.

7

7——

12.5二二三二二二工二二二二二二二二

O*2.520a?/(rad/s)2

［答案］(\)rn^nO=mcoo/sin^(2)ni^na=nut)'2/since(3)(0,8)

Tcos〃+NsinO=〃唁(12.5,12.5)(20,20)

＞变式训练3

如右图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心00,转动，筒内

壁粗糙，筒口半径和筒高分别为A和〃，筒内壁/点的高度为筒高的一

半.内壁上有一质量为〃，的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说

法正确的是（）

A.小物块所受合外力指向。点VivI

B.当转动角速度"‘号”时，小物块不受摩擦力作用y□

C.当转动角速度呼”时，小物块受摩擦力沿力。方向

D.当转动角速度/V学时，小物块受摩擦力沿力。方向

I解析I匀速圆周运动物体所受合外力提供向心力，指向物体圆周

运动轨迹的圆心，A项错；当小物块在力点随圆锥筒做匀速转动，且其

所受到的摩擦力为零时，小物块在筒壁＜点时受到重力和支持力的作

用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为“，有：，〃贝an〃=

娉,由几何关系得：tanO=1,联立以上各式解得“=那"，B项

LKK

正确；当角速度变大时，小物块所需向心力增大，故摩擦力沿力。方

向，其水平方向分力提供部分向心力，C项正确；当角速度变小时，小

物块所需向心力减小，故摩擦力沿。力方向，抵消部分支持力的水平分

力，D项错.

借案］BC

易错点1：不能建立匀速圆周运动的模型

典例1

质量为遍飞机以恒定速率。在空中水平盘旋(如图所示)，其做匀

速圆周运动的半径为名重力加速度为0则此时空气对飞机的作用力大

小为()

V

|易错分析］本题错误的原因：一是不能正确建立飞机运动的模型

（实质上是圆锥摆模型），错误地认为飞机沿倾斜圆轨道做匀速圆周运

--Zdh

动，受力情况示意图如图所示，得出尸=7（〃辔）2一邦=利n2,值

选D,二是对飞机受力情况分析错误，错误地认为空气对飞机的作用力

就是向心力而错选A.：\

...•…

O:<

［正确解答I飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，

受到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力先=，〃1.

飞机受力情况示意如图所示，根据勾股定理得：尸=5）2+忠=

•答案为C.

mg'

氐回同向国

圆周运动的分析是牛顿第二定律运用的进一步延伸，在分析时要

从两方面展开：①分析受力情况，选择指向圆心方向为正方向，在指向

圆心方向上求合外力；②分析运动情况，看物体做哪种性质的圆周运动

（匀速圆周运动还是变速圆周运动），确定圆心和半径，然后将牛顿第二

定律和向心力公式相结合列方程求解.此外要注意建立和整合模型，如

本题与火车转弯、高速路上的汽车转弯、在漏斗形容器内物体的运动等

都属于圆锥摆模型，同属于水平面内的匀速圆周运动.

＞纠错补练1

为确保行车安全，在高速公路的不同路段都会竖有限速指示

牌.若有一段直行连接弯道的路段，其弯道半径K为60m,弯道路面的

倾斜角度〃为5。，最大静摩擦力为压力的〃=0・37倍,假定直行路段的

限速为120km/h,限速指示牌的可见视野为100m,驾驶员的操作反应

时间为2s,为保持平衡减速，限定最大减速加速度为2.5m/s2.已知tan5

°=0.087,g=10m/s2,试计算：

(1)指示牌应标注的限速.

(2)至少应该在弯道前多少距离处设置限速指示牌.

［解析］(1)弯道最高车速时受力如图所示，则

/叫+fiinO=F\cos。

v2

F.v§in〃+fcosO=nr^

联立解得：16.8m/s=60.48km/h

即指示牌应标注的限速为60km/h.

(2)直行路段的限速也=120km/h=33.3m/s

Vi=60km/h=16.7m/s

减速距离由诏一环=2as求得：$=166m

人反应时间内车通过的距离：/=力，=66.601

设置限速牌的距离：s+/—100m=132.6m

至少应该在弯道前133m的距离处设置限速指示牌.

［答案］⑴60km/h(2)133m

易错点2：忽视临界条件或对向心力来源分析不充分

典例2

如图所示，小球被长为£的细绳静止地悬挂着，给小球多大的水平

初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？

—0

［易错分析］错解1只考虑小球运动至最高点绳不松弛得出

VoN\扇L；或者只考虑运动高度不超过悬点得出。源的结论.

错解2错误地认为小球做圆周运动通过最高点的速度是0而得出

错误结论，得出列27项.

错解3做题不细致，把速度范围写成、此为绳

松弛的条件.

［正确解答I在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况：

(1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动.此时小球在最高点有

最小速度0=\记，设最低点的速度为白，则曰机械能守恒定律有1*

+2mgL

满足此条件的水平速度为。()25=圾1.

(2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完整的圆周运

动.此时小球在最高点运动的速度为零，这意味着小球的初速度存在

某个最大值也，则%

满足此条件的速度为如《为=延1

故水平初速度5的范围为：如或仍WqL

＞纠错补练2

如右图所示，在倾角为a=30"的光滑斜面上，有一根长为£=0・8

m的细绳，一端固定在。点，另一端系一质量为〃?=0.2kg的小球，沿斜

面做圆周运动，盘取10m/s?)试计算：

(1)小球通过最高点4