高考物理一轮教案第06章机械能

第六章：机械能

能的概念、功和能的关系以及各种不同形式的能的相互转化和守恒

的规律是自然界中最重要、最普遍、最基本的客观规律，它贯穿于整

个物理学中。本章的功和功率、动能和动能定理、重力的功和重力势

能、弹性势能、机械能守恒定律是历年高考的必考内容,考查的知识

点覆盖面全•频率高•题型全。动能定理、机械能守恒定律是力学中

的重点和难点，用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之一。

考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒定律、电磁学

等方面知识综合,物理过程复杂,综合分析的能力要求较高,这部分

知识能密切联系实际、生活实际、联系现代科学技术•因此，每年高

考的压轴题，高难度的综合题经常涉及本章知识。同学平时要加强综

合题的练习•学会将复杂的物理过程分解成若干个子过程，分析每一

个过程的始末运动状态量及物理过程中力、加速度、速度、能量和动

量的变化，对于生活、生产中的实际问题要建立相关物理模型，灵活

运用牛顿定律、动能定理、动量定理及能量转化的方法提高解决实际

问题的能力

单元切块：

按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动

能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能

量综合。其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练

运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。难点是动量能量

综合应用问题。

复习要点

1、理解功的概念、掌握功的计算公式。

2、掌握功率的概念、理解功率的含义。

3、掌握动能、重力势能、弹性势能等概念及其物理意义。

4、掌握动能定理，并能运用动能定理分析与解决相关的力学问题。

5、掌握机械能守恒定律、理解机械能守恒的条件，并能运用机械

能守恒定律分析与解决相关的力学问题。

第一模块：功和功率

『夯实基础知识』

（一）功：

1、概念：一个物体受到力•的作用，并且在这个力•的方向上发生了

一段位移，就说这个力*对物体做了功。

2、做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移

3、公式：W=FScosa（c（为F与s的夹角）•功是力的空间积累

效应。

4、单位：焦耳（J）

5、意义：功是能转化的量度•反映力对空间的枳累效果。

6、说明

（1）公式只适用于恒力做功位移是指力的作用点通过位移

（2）要分清〃谁做功•对谁做功〃。即：哪个力对哪个物体做功。

(3)力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移。如：位移：沿

力方向分解，与力垂直方向分解。

(4)功是标量，没有方向，但功有正、负值。其正负表示力在做功过

程中所起的作用。正功表示动力做功(此力对物体的运动有推动作用)•

负功表示阻力做功•

(5)功大小只与F、s、a这三个量有欠•与物体是否还受其他力、物

体运动的速度、加速度等其他因素无关

(二)功的四个基本问题。

涉及到功的概念的基本问题，往往会从如下四个方面提出。

1、做功与否的判断问题：物体受到力的作用，并在力的方向上通

过一段位移，我们就说这个力对物体做了功。由此看来，做功与否的

判断，关键看功的两个必要因素,第一是力；第二是力的方向上的位

移。而所谓的〃力的方向上的位移〃可作如下理解：当位移平行干力，

则位移就是力的方向上的位的位移；当位移垂直于力,则位移就不是

力的方向上的位移；当位移与力既不垂直又不平行于力,则可对位移

进行正交分解，其平行于力的方向上的分位移仍被称为力的方向上的

位移。

2、会判断正功、负功或不做功。判断方法有：

(1)用力和位移的夹角e判断；

当0£0＜色时尸做正功，

2

当6=］时尸不做功，

当口”万时尸做负功。

2

(2)用力和速度的夹角e判断定；

(3)用动能变化判断。

3、做功多少的L算问题：

(1)按照定义求功。即：W=Fscos0公式中F是做功的力；S

是F所作用的物体发生的位移；而e则是F与S间的夹角。这种方法

也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。

具体求功时可以有两种处理办法

①w等于力F乘以物体在力F方向上的分位移scosa，即将物体的

位移分解为沿F方向上和垂直F方向上的两个分位移

②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosa乘以物体的位移s，即

将力F分解为沿s方向和垂直s方向的两个分力

在高中阶段，这种月法只适用于恒力做功。至于变力做功的计算，

通常可以利用功能关系通过能量变化的计算来了解变力的功。

(2)W=Pt

(3)用动能定理W二AEk或功能父系求功。当尸为变力时，高中阶

段往往考虑用这种方法求功。

这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转

化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，则也就知道了该过

程中对应的功的数值

(4)能量的转化情况求，(功是能量转达化的量度)

(5)F-s图象，图象与位移轴所围均”面积〃为功的数值•

(6)多个力的总功求解

①用平行四边形定则求出合外力•再根据w=Fscosa计算功•注

意a应是合外力与位移s间的夹角•

②分别求各个外力的功:Wi=Fiscosai*W2=F2scosa2……再求

各个外力功的代数和•

4、做功意义的理解问题：做功意味着能量的转移与转化，做多少

功,相应就有多少能量发生转移或转化。

(三)了解常见力做功的特点：

(1)一类是与势能相关的力，如重力、弹簧的弹力、电场力等，

它们的功与路程无关系，只与位移有关。

重力做功和路径无关，只与物体始末位置的高度差h有哭:

“二mgh，当末位置低于初位置时，W>0，即重力做正功；反之则重

力做负功。

(2)摩擦力做切

静摩擦力做功的特点

①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

②在静摩擦力做功的过程中,只有机械能的相互转移(静摩擦力起

着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能•

滑动摩擦力做功的特点

①滑动摩擦力可以对物体做正功•也可以对物体做负功，当然也可

以不做功。

②做功与物体的运动路径有关。滑动摩瘵力做功要看物体运动的路

程•这是摩擦力做功的特点，必须牢记。

③一对滑动摩擦力做功的过程中，如图所示，上面不光滑的长木板，

放在光滑的水平地面上，一小木块以速度V。从木板的左端滑上木板,

当木块和木板相对静止时,木板相对地面滑动了S，小木块相对木板滑

动了d，则由动能定理知：

滑动摩擦力对木头所做功为：

滑动摩擦力对木板所做功为：

将：AE&木板+AE冰块=.d

式表明木块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力

与木块相对木板的位移的乘积。这部分减少的能量转化为内能。

(3)—对作用力和反作用力做功的特点：

①作用力与反作用力同时存在，作用力做功时,反作用力可能做功，

也可能不做功•可能做正功，也可能做负功，不要以为作用力与反作

用力大小相等、方向相反­就一定有作用力、反作用力的功数值相等。

②一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零(静摩擦力)、

可能为负(滑动摩擦力)，但不可能为正

(3)斜面上支持力做功问题：

①斜面固定不动，物体沿斜面下滑时斜面对物体的支持力不做功

②斜面置于光滑的水平面上，一个物体沿斜面下滑，物体受到的支

持力对物体做负功•如图所示•物体下滑到斜面底端•斜面由于不受

地面摩擦，后退一段距离，需要注意的是位移S是物体相对于地面的

位移，不要认为是斜面，否则会得出物体受到的支持力做功为0的错

误结论。

1、功率的定义：功跟完成这些功所用时间的比值叫做功率，它表

示物体做功的快慢•

2、功率的定义式：吟艺•所求出的功率是时间广内的平均功率。

t

3、功率的计算式：p=Fnose，其中e是力与速度间的夹角。该公

式有两种用法：

①求某一时刻的瞬时功率。这时F是该时刻的作用力大小，卜取瞬

时值，对应的P为F在该时刻的瞬时功率；

②当v为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时

间）内F必须为恒力，对应的P为F在该段时间内的平均功率。

③重力的功率可表示为即重力的瞬时功率等于重力和

PG=mgVy•

物体在该时刻的竖直分速度之积

4、单位：瓦（w），千瓦（kw）;

5、标量

6、功率的物理意义：功率是描述做功快慢的物理量。

7、通常讲的汽车的功率是指汽车的牵引力的功率*七V

二、汽车的两种起动问题

汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有

两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是和F-f=ma

①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定,随

着v的增大,F必将减小•a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加

速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值y=2=空。可见恒定功

wFf

率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt

计算.不能用w二Fs计算（因为F为变力）。

②恒定牵引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，

所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，

直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，

其最大速度为M=丝＜区.，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功

ml/•“I

率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种

加速过程发动机做的功只能用W二Fs计算不能用W=Pt计算（因

为P为变功率）。

要注意两种加速运动过程的最大速度的区别。

『题型解析』

类型题：判断力对物体是否做功

［例题】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（）

A•卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功

B•平抛运动中，重力对物体做的功

C•举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s•运动员对杠铃

做的功

D•木块在粗糙水平面上滑动,支持力对木块做的功

★解析：引力作为卫星做圆周运动的向心力,向心力与卫星运动速

度方向垂直，所以，这个力不做功。杠铃在此时间内位移为零。支持

力与位移方向垂直，所以•支持力不做功c故A、C、D是正确的。

【例题】如图所示，质量为m的物体A静止于倾角为0的斜面体

B上，斜面体B的质量为M，现对该斜面体施加一个水平向左的推力

F，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动的位移为s，则在此

运动过程中斜面体B对物体A所做的功为：（C）

A•B-•MqgscotO

D•-mgssin20

【例题】如图所示•线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆

的半径是1m♦球的质量是0.1kg•线速度i^lm/s，小球由A点运动

到8点恰好是半个圆周。则在这段运动中线的拉力做的功是（）

A-0B-0.1JC-0.314JD•无法确定

★解析：小球做匀速圆周运动•线的拉力为小球做圆周运动的向心

力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。故A是正确

的。

【例题】小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，

从地面上看・在小物块沿斜面下滑的过程中­斜面对小物块的作用力。

(A)垂直于接触面，做功为零；

(B)垂直于接触面，做功不为零；

(C)不垂直于接触面，做功不为零；

(D)不垂于接触面，做功不为零。

★解析：错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物

体的位移垂直，故做功为零。即A选项正确。

分析纠错：小物块A在下滑过程中和斜面之间有一对相互作用力F

和F1•如图所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物体A的位移方

向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A不做功。但此题告诉的条件是

斜劈放在光滑的水平面上•可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于

斜面，但是物块A的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27

所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A

做负功，即B选项正确。

类型题：判断力对物体做正功还是负功

【例题】质量为m的物体，受水平力F的作用•在粗糙的水平面

上运动•下列说法中正确的是（）

A•如果物体做加速直线运动•F一定做正功

B•如果物体做减速直线运动-F一定做负功

C•如果物体做减速直线运动,F可能做正功

D•如果物体做匀速直线运动，F一定做正功

★解析：物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力,其方

向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时•其力F

方向必与物体运动方向夹锐角（含方向相同），这样才能使加速度方向

与物体运动的方向相同。此时,力F与物体位移的方向夹锐角，所以，

力F对物体做正功，A对。

当物体做减速运动时•力F的方向可以与物体的运动方向夹锐角也

可以夹钝角（含方向相反）•只要物体所受合力与物体运动方向相反即

可，可见，物体做减速运动时，力F可能对物体做正功，也可能对物

体做负功，B错，C对。

当物体做匀速运动时•力F的方向必与滑动摩擦力的方向相反，即

与物体位移方向相同，所以，力F做正功，D对。

故A、C、D是正确的。

类型题：弄清求恒力做功的方法

【例题】如图所示，均匀长直木板长Z=40cm，放在水平桌面上，

它的右端与桌边相齐，木板质量）=2kg与桌面间的摩擦因数〃=0.2，

今用水平推力F将其推下桌子，则水平推力至少做功为（）（g取

10/s2）

A•0.8JB-1.6JC-8JD-4J

★解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘•水平推力

做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，

W==2g■|=O.2x2O与=O.8J。故A是正确的。

【例题】在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一

物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当

恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处*此时

物体的动能为32J则在整个过程中，恒力甲做的功等于J-

恒力乙做的功等于J。

★解析一：本题的条件是恒力甲与恒力乙的作用时间相同，而且物

休恰好回到原处。解题时要抓住这基木特征，运用牛顿运动定律和运

动学公式,只要得出恒力甲与恒力乙大小之间的关系就可求得它们做

功之间的关系。

解析：在恒力甲作用下，有与产

2m

在恒力乙作用下，有_$=（&»一2_里〃

m2tn

可解得二F?二3F\

所以，%=3%

把32J的动能分为4份•恒力甲做的功等于32J/4=8J,恒力乙做

的功等于24J。

★解析二：因位移大小相等•时间间隔又相等，所以两阶段运动的

平均速度大小必相等,

工=匕+（一匕）彳导

22

所以

即得昂=?=孝J=8J

由动能定理得，两力做功分别为%=A4=8J

小结此题的结论是普遍适用的，恒力甲与恒力乙之比为1：3，做

功之比也为1:3，以后在电场的题中也会用到这个模型。

类型题：弄清求变力做功的几种方法

功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的

计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则

没有一个固定公式可用.下面对变力做功问题进行归纳总结如下：

1、等值法（转化为恒力做功）

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该

恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用候空COS3计算，

从而使问题变得简单。

【例题】如图，定滑轮至滑块的高度为h,已知细绳的拉力为F（恒

定），滑块沿水平面由A点前进S至B点，滑块在初、末位置时细绳

与水平方向夹角分别为c（和0。求滑块由A点运动到B点过程中,绳

的拉力对滑块所做的功。

★解析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。丁在

对物体做功的过程中大小虽然不变,但其方向时刻在改变,因此该问

题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计

的情况下•人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的

大小和方向都不变•所以F做的功可以用公式“=氏0sd直接计算。

由图1可知,在绳与水平面的夹角由a变到0的过程中，拉力F的作

用点的位移大小为：

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切

线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将

曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个

小元段做功的代数和。

【例题】如图所示，某力F=10N作用于半径R=lm的转盘的边缘

上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，

则转动一周这个力F做的总功应为：

A、0J

C、10JD、20J

★解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在司一

直线上，故AW=FAS•则转一周中各个小元段做功的代数和为

W=Fx2TrR=10x2nJ=20nJ，故B正确。

3、平均力法

如果力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时，可用力

的算术平均值(恒力)代替变力，利用功的定义式求功。

【例题】一辆汽车质量为105kg•从静止开始运动>其阻力为车重

3

的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=10x+f0*

力是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引力做的功是多少？

3

★解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=10x+f0，是线性关系，

故前进100m过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力尸所做的功。

由题意可知%=0.05*105乂1(^=5、104(\1，所以前进100m过程中的

平均牵引力：

.-.W=Fs=lx105xl00J=lx107J。

【例题】边长为a的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面。

现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平。

求在这一过程中压力做的功，水的密度为p。

★解析：力的最小值为0«而上表面与z（面平齐时•压力为仅g所以

平均力为驾力做的功为

2

卬=詈最而冲=外：所以

【例题】用铁锤将一铁钉击入木块•设木块对铁钉的阻力与铁钉进

入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块为1

cm。问击第二次时,能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）

★解析：考查对功概念的理解能力及理论联系实际抽象建立模型的

能力。B级要求。

错解分析:（1）不能据阻力与深度成正土这一特点，将变力求功转

化为求平均阻力的切,进行等效替代。（2）不能类比迁移­采用类似

据匀变速直线速度-时间图象

求位移的方式，根据F-x图象求功。

解题方法与技巧：解法一:（平均力法）

铁锤每次做功都用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，

其大小与深度成正比，比例系数为K。

第一次击入深度为Ai-平均阻力I二g班，做功为

“二［用二;妫2o

第二次击入深度为M到质平均阻力月=；《出+的）位移为热-内，

22

做功为1/1/2=瓦（X2-Xi）=；攵（A2-Ai）。

两次做功相等：明二%。

解后有：狂收的=1.41cm，

△y=A2-Ai=0.41cm。

解法二：（图象法）

因为阻力F二爪，以尸为纵坐标，尸方向上的位移x为横坐标，作出

6x图象（图4-4）。曲线上面积的值等于尸对铁钉做的功。

由于两次做功相等，故有：

£二S（面积＞即：

；面/=；攵（及+的）（至）,

所以△X=B-西=0.41cm

【例题】要把长为/的铁钉钉入木板中•每打击一次给予的能量为

E。，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比•比

例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

★解析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服

阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均

值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：

钉子克服阻力做的功为

设全过程共打击n次,则给予钉子的总能量：

所以〃=旦_

2E。

4、用动能定理求变力做功

动能定理表达式为必卜=此」其中均是所有外力做功的代数和，叱卜

是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的

功均能求出,则用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

【例题】如图所示•质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在

竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力尸将小球拉到细线与

竖直方向成8角的位置。在此过程中，拉力尸做的功各是多少？

(1)用尸缓慢地拉；(2)尸为恒力；⑶若尸为恒力，而且拉到该位置时

小球的速度刚好为零。可供选择的答案有

A-FLcosOB-FLsin6>

C-FL（1-cos^）D•〃?gL（l-cos。）

★解析：⑴若用尸缓慢地拉，则显然尸为变力，只能用动能定理求

解。尸做的功等于该过程克服重力做的功。选D

⑵若尸为恒力，则可以直接按定义求功。选B

⑶若尸为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，则按定义

直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、D

在第二种情况下，由FLsin。=〃-cos，）可以得到=上垩£=田a,

，ngsin02

可见在摆角为，时小球的速度最大。实际上，因为F与7770的合力也是

2

恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以

把这样的装置叫做〃歪摆〃。

【例题】如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m*BC是水

平轨道，长L=3m•BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=lkg的物

体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受

的阻力对物体做的功。

★解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC

段的摩擦力共三个力做功，重力做功•水平面上摩擦力做功•由于物

体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：

W外二0，

所以m&R一即&L-WAD=0=6J

【例题】如图所示，质量m=1依的物体从轨道上的A点由静止下滑，

轨道AB是弯曲的，且A点高出B点〃=。物体到达B点时的速度

为2〃?/s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。

★解析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、

支持力弓和摩擦力，/。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。

但支持力时刻垂直于速度方向•故支持力不做功,因而该过程中只有

重力和摩擦力做功。

由动能定理叫其中

所以〃+

代入数据解得叼=-5.84J

【例题】如图所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量

为m的重物，开始时人在滑轮的正下方«绳下端A点离滑轮的距离为

H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端至UB点位置时,人的速度为v，

绳与水平面夹角为0。问在这个过程中，人对重物做了多少功？

★解析：人移动时对绳的拉力不是恒力­重物不是做匀速运动也不

是做匀变速运动，故无法用W=Acos。求对重物做的功，需从动能定理

的角度来分析求解。

当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：

重力做功的数值为：卬〃7加（1F用

Gsin6?

当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速

度V.和绕定滑轮逆时针转动的分速度％，其中沿绳斜向下的分速度V.和

重物上升速度的大小是一致的•从图中可看出：匕=UCOS，

以重物为研究对象•根据动能定理得：

【例题】如图所示•在水平放置的光滑板中心开一个小孔0,穿过

一细绳«绳的一端系住一个小球，另一端用力F拉着使小球在平板上

做半径为r的匀速圆周运动，在运动过程，逐渐增大拉力，当拉力增

大为8F时，球的运动半径减为r/2•求在此过程中拉力所做的功

★解析：对于变力做功问题，如果能知道运动过程中初末状态的动

能，都可利用动能定理求解。动能定理是一个适用面很广的定理，凡

是涉及力对物体做功过程中动能的变化问题几乎都能使用•不仅隹够

解决恒力做功问题也适用于变力做功问题•这也正是动能定理广泛应

用于解决力学问题的优点。答案:3Fr/2。

［例题】如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量

均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴0转动，使杆从水平位置无初速释

放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功

y--o——o

QAB

■

★解析：错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆

对A、B两球均不做功。

分析纠错：设当杆转到竖直位置时•A球和B球的速度分别为VA

和VB。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象，则由

于杆和小球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B

的最低点为零重力势能参考平面，可得：

又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同•故%=2以

由以上二式得：%=嚼此=符•

根据动能定理，可解出杆对A、B做的功。对干A有

所以必=-0.2〃7gL

对于B有应，所以

【例题】如图4所示,质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A

点以V°=5m/s的初速度滑下，在D点与强簧接触并将弹簧压缩到B

点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5m«求弹簧的弹力对

物体所做的功。

J

n

★解析：％=-125J

5、用W=Pt

利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。

【例题】质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的

公路上由静止开始行驶，在10s内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这

段时间内所做的功。

★解析：汽车的功率不变，根据/〉=所知，随着速度v的增大，牵

引力将变小，不能用求功，但已知汽车的功率恒定,所以牵引力

在这段时间内所做的功

再由动能定理得：

25

所以叼=lwv-IV,.=-5X10J

6、用功能原理求变力做功

除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数和等于系

统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒（即

为机械能守恒定律）。

【例题】两个底面积都是S的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，

水面高度分别为％而h2•如图所示•已知水的密度为p。现把连接两

桶的阀门打开•最后两桶水面高度相等•则这过程中重力所做的功等

于

★解析：由于水是不可压缩的，把连接两桶的砌门打开到两桶水面

高度相等的过程中,利用等效法把左管高手以上部分的水等效地移

至右管，如图中的斜线所示。

T

1

最后用功能关系•重力所做的功等于重力势能的减少量•所以重

力做的功

【例题】如图所示，将一个质量为m，长为a,宽为b的矩形物体

竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？

\\

\\\、.

•、X

、\

\\

\\

分析：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和

方向均未知，无法应用W=&cosa求解。

该过程中，物体要经历图4所示的状态，当矩形对角线竖直时,物

体重心高度最大，重心变化为：

由功能原理可知%=AE〃+NEk

当A%=oB寸，w外最小，为：

7、用图象法

在E-x图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。

【例题】放在地面上的木块与一劲度系数Z=200N/机的轻弹簧相

连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动玉=0.2,〃时，木块开始运动，

继续拉弹簧,木块缓慢移动了々=04〃的位移,求上述过程中拉力所做

的功。

★解析：由题意作出尸-大图象如图3所示，在木块运动之前,弹簧

弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，

图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即

类型题：弄清滑轮系统拉力做功的计算方法

当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是恒力,此时若将此二

力合成为一个恒力再计算这个恒力的功,则计算过程较复杂。但若

等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。

【例题】如图所示，恒定的拉力大小F=8N，方向与水平线夹0=60。

角，拉着绳头使物体沿水平面移动d=2m的过程中，拉力做了多少功？

〃万7〃〃/〃〃〃〃///〃〃〃，、

★解析：如图所示，随着物体沿水平面前进d=2m，绳头从A点被

拉到B点，由此可见：拉F所作用的物体（绳头）的位移S可由几何

父系求得为

而力F与位移S间的夹角为。=30°

所以，这过程中拉F作用于绳头所做的功为

解法二如图6-5绳子张力大小为尸，但张力对物体做功包括沿F

方向的张力所做的功必和水平向右的张力所做的功W4•即

解法三如图6-6，绳子对物体拉力的合力大小为2Fcos—，此合力做

2

的功为

【例题】如图所示•在倾角为30。的斜面上，一条轻绳的一端固定

在斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮•绳子另一端受到一个方向

总是竖直向上，大小恒为F=100N的拉力，使物块沿斜面向上滑行

1m（滑轮右边的绳子始终与斜面平行）的过程中，拉力F做的功是

（）

A-100JB•150J

C•200JD•条件不足，无法确定

★解析：拉力F做的功等效为图8中Fi、F2两个恒力所做功的代数

和。即W=FrS+F2Scos60°•而FI=F2=F=100N,所以

u

W=F-S(l+cos60°)=150JO即B选项正确

类型题：|求某力的平均功率和瞬时功率

【例题】质量为m=0.5kg的物体从高处以水平的初速度V0=5m/s

抛出，在运动t=2s内重力对物体做的功是多少？这2s内重力对物体

做功的平均功率是多少？2s末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？

(g取io”//)

★解析：t=2s内，物体在竖直方向下落的高度

h=-gt2=-xl()x22=2()m•

22

所以有"%=mgh=0.5x10x20=100J,

平均功率尸=：=50W。

在t=2s末速度物体在竖直方向的分速度%=p=20而s，所以t=2s

末瞬时功率

P==100We

【例题】跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一

分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中•脚与地面的接触时间占跳跃一

次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是

W(g取10m/s2)。

★解析:跳一次的时间是t0=60/180s=l/3s

人跳离地面作竖直上抛，到最高点时间为

112

t二—X—X(]——)5=0.15

235

此过程克服重力做功14/=〃?g(Lg/)=25W

跳绳时克服重力做功的平均功率

1W=75W

3

【例题】起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度•其速度图

象如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是图中的哪一

个？

★解析：在0~b时间内，重物加速上升，谡加速度为则据牛

顿第二定律可得钢索的拉力Fi=mg+ma「速度Vt=ait•所以拉力的

功率为：

Pi=m(ai+g)ait;

在匕〜t2时间内，重物匀速上升，拉力F2=mg，速度为Vi=at-

所以拉力的功率为：P2=mgaiti。

在t2~t3时间内•重物减速上升，设加速度大小为a2，则据牛顿第

二定律可得钢索的拉力F2=mg-ma2，速度V2=a】ti，所以拉力的功率

0

为：Pi=m(g-a2)aiti

综上所述，只有B选项正确

类型题：

【例题】汽车以恒定功率"由静止出发•沿平直路面行驶，最大速

度为I/，则下列判断正确的是(C)

A•汽车先做匀加速运动，最后做匀速运动

B•汽车先做加速度越来越大的加速运动，最后做匀速运动

C•汽车先做加速度越来越小的加速运动，最后做匀速运动

D•汽车先做加速运动，再做减速运动，最后做匀速运动

【例题】汽车发动机额定功率为60kW，汽车质量为5.0xl()3kg.

汽车在水平路面行驶时.受到的阻力大小是车重的0.1倍・试求：汽

车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？

★解析：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力尸将随速度1/的变化

而变化•其加速度d也随之变化•

由此可得汽车速度达到最大时，a=0，

F=f=king

>n匕”=12m/s

P=FY”.kmg

小结：机车的速度达到最大时.一定是机车的加速度为零。弄清了

这一点•利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。

【例题】质量为2t的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车

在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h。若汽车以额定功率

从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h时的瞬时加速度是多大?

★解析：汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，

即Pm=fvm•而速度为v时的牵引力F=Pm/v•再利用F-f=ma＞可

以求得这时的a=0.50m/s2

【例题】汽车发动机额定功率为60kW•汽车质量为5.0x103kg,

汽车在水平路面行驶时，受到的阻力大小是车重的0.1倍，试求：若

汽车从静止开始•以0.5m/s2的加速度匀加速运动,则这一加速度能

维持多长时间？

★解析：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功

率将随/增大而增大•当户达到额定功率户额后，不能再增加，即汽

车就不可能再保持匀加速运动了。

所以,汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速•

匀加速过程能维持到汽车功率增加到户额的时刻，设匀加速能达到最大

速度为笆•则此时

小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额

定功率的时间。弄清了这一点•利用牛顿第二定律和运动学公式就很

容易求出机车匀加速度运动能维持的时间C

【例题】质量4t的机车，发动机的最大输出功率为lOOkW，运动

阻力恒为2x/0，N，试求；

(1)当机车由静止开始以0.5m/s2的加速度沿水平轨道做匀加速

直线运动的过程中，能达到的最大速度和达到该最大速度所需的时间。

(2)若机车保持额定功率不变行驶,能达到的最大速度以及速度

为10m/s时机车的加速度。

★解析：(1)Vm=25m/st=50s

2

(2)um=50/71/sa'=2rn/s

［例题】额定功率为80kW的汽车,在平直的公路上行驶的最大速

度是20m/s，汽车的质量是2t，如果汽车从静止开始做匀加速直线运

动，加速度的大小是2m/s2•运动过程中阻力不变。求：

(1)汽车受到的阻力多大？

(2)3s末汽车的瞬时功率多大？

(3)汽车维持与加速运动的时间是多少?

★解析：(1)当汽车达最大速度时，加速度为零•牵引力的大小等

于阻力的大小，即

^=80X10^N=4X103N

匕〃20

(2)设汽车做匀加速运动时•需要的受引力为F\，有

F、-f=ma

所以Fi=f+ma=(4xio3+2xio3x2)N=8xio3N

3s末汽车的瞬时速度为均=6m/s

所以汽车在3s末的瞬时功率为乌二月6二8X103X6W二

48kW

(3)汽车做匀加速运动时•牵引力恒定，随着车速的增大，汽车

的输出功率增大.当输出功率等于额定功率时的速度是汽车做匀加速

运动的最大速度•设为彳­有

工迎黑m/s=10m/s

1F、8x10'

根据运动学公式•汽车维持匀加速运动的时间为

,=/=%=5s

a2

【例题】电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不

能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起

用最快的方式吊高90m(已知此物体在被吊高接近90m时，已开始

以最大速度匀速上升)所需时间为多少？

★解析：此题可以用机车起动类问题的思路,即将物体吊高分为两

个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以

最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率。

第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力

等于重力时，物体开始匀速上升。

在匀加速运动过程中加速度为

120-8x10m/s2=5m/s2

m8

末速度%=匕L=%l=10m/s

%120

上升的时间&=上="s=2s・

a5

上升高度为h=^=^-=10m

la2x5

在功率恒定的过程中•最后匀速运动的速率为

l4=^L=A2222_i5m/s

Fmg=8x10=

外力对物体做的总功

w=匕八一"次〃2W=Pmt?-mgh?,

动能变化量为^EK=-mul--muf

由动能定理得

代入数据后解得「2=5.75s，所以

t=t]+%=7.75s所需时间至少为7.75S。

小结：机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力决定的•而最

大牵引力是由牵引物的强度决定的。弄清了这一点，利用牛顿第二定

律就很容易求出机车运动的最大匀加速度

类型题：用图象法巧解机车功率问题

【例题】火车在何定功率下由静止出发­沿水平轨道行驶，5min

后速度达到最大20m/s，若火车在运动过程中所受阻力大小恒定。则

该火车在这段时间内行驶的距离:()

A•可能等于3kmB•一定大于3km

C•一定小于3kmD•无法确定

★解析：

火车由静止出发保持功率不变，必定是一个加速度不断减小的加速

运动，则图象各点的斜率(即瞬时加速度)随时间逐渐减小，其l，T图

线为下图曲线部分•且曲线为向上凸；而在对应时间内的匀加速运动

为斜直线，这段时间的位移$=必等〃z=30()()〃=3如?(画阻影线面积)

一定要小于向上凸的曲线与时间轴围成的面积。其图线很直观地表现

出它们的大小关系。所以选B。

【例题】完全相同的两辆汽车，以相同速度在平直的公路上并排匀

速行驶，当它们从车上轻推下质量相同的物体后，甲车保持原来的牵

引力继续前进，乙车保持原来的功率继续前进，一段时间后：()

A•甲车超前B•乙车超前

C•仍齐头并进

D•先是甲车超前•后乙车超前

★解析：

如果考虑列式分析,恐难以解决的。则我们利用所熟悉的匀加速运

动和功率不变条件下的速度—时间图象解决此题就十分方便了。两辆

车以相同的速度并排行驶时，当同时从两辆车上轻推下质量相同的物

体•它们所受阻力必定有所减小•使牵引力大于阻力，速度增大。不

过此后,甲车保持原来的牵引力则做匀加速运动；乙车保持功率不变

（P=Fv-速度增大，则牵引力减小）做加速度越来越小的加速运动。

容易看出，它们的初速度一致，匀加速运动的图线一定是功率不变的

加速运动图线在零时刻的切线，很明显乙曲线与时间轴围成的面积小

于甲图线与时间轴围成的面积，即相同时间内乙的位移小于甲的位移。

故甲车一定超前乙车，所以本题应选A

第二模块：动能和动能定理

『夯实基础知识』

—、动能

1、概念：动能概念的理解：物体由于运动而具有的能叫动能，

2'达式为：E=—mv2

k2

3、状态量：和动量一样，动能也是用以描述机械运动的状态的状

态量。只是动量是从机械运动出发量化机械运动的状态,动量确定的

物体决定着它克服一定的阻力还能运动多久；动能则是从机械运动与

其它运动的关系出发量化机械运动的状态，动能确定的物体决定着它

克服一定的阻力还能运动多远。

4、标量

5、单位：焦耳（J）

二、动能定理：

1、推导：动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积

而得：在牛顿第二定律F=〃以两端同乘以合外力方向上的位移s­即可

得

2、表述：外力所做的总功等物体动能的变化量W=AEK（这里的合

外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）

、动能定理表达式：

3w,r=EK2-EK}=\EK

式中明是指合外力对物体所做的功的代数和，它可以是合外力做

的功，也可以是各外力做的总功；既可以是几个外力同时做的功的代

数和，也可以是各外力在不同时间内做功的累积；即可以是恒力做功，

也可以是变力做功。式中△”是物体动能增量。

动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变

化。实际应用时，后一种表述比较好操作。不必求合力，特别是在全

过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做

的功都按照代数和加起来•就可以得到总功

和动量定理相似•动能定理也建立起过程量（功）与状态量（动能）

变化间的关系，利用这一关系•也可以通过比较状态达到了解过程之

目的。

功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个

方向上应用动能定理

4、理解动能定理的另一种形式，〃生热议程〃也叫系统动能定理

（1）内容：摩擦力在物体间相对滑动时所做的功，即摩擦力与相

对位移之积等于系统动能的变化

（2）表达式：尸As=昂-Ek2

5、运用动能定理解题的关键：分析受力（周围物体施予研究对象

的所有的力）及各力做功的情况•受哪些力？每个力是否做功？在哪

段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？

6、技巧：应用动能定理解多过程问题时可把多过程看成整体列方

程•更简便。对于多过程、多阶段问题•常常可以用多种做法：

①分阶段列方程；

②对整个过程列方程（