广东省广州市广大附中教育集团2022-2023学年九年级上学期自主招生数学试题（答案）

第第1页/共29页广东省广州市广大附中教育集团初三自主招生考试考试时间：120分钟 满分：100分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m、n1.已知m、nx22020x70的两个根，则(m2019mA.2021 B.2020 C.2012）D.2011【答案】C【解析】m22020m70n22020n70mn2020mn7，则m22020m7n22020m7，将其代入(m22019m6)(n22021n8)得mnmn1mn2020mn7代入即可得．m、nx22020x70的两个根，∴m22020m70，n22020n70，mn2020，mn7，∴m22020m7，n22020m7(m22019m6)(n22021n8)72019m6)(2020m72021n8)=(m1)(n1)=mn(mn)1∵mn7，mn2020，72020)12012，故选：C．【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）4h2

5h2

42h2

52h2【答案】B【解析】DEFl1交l1、l4E，FDFl4，然后证明ADE≌DCF，得到AEDF利用勾股定理解题即可．DEFl1交l1、l4E，F，ABCD是正方形，∴ADCD，ADC90，ADECDF90.∵l1∥l2∥l3∥l4，EFl1，∴DFl4，AEDCFD90，∴DCFCDF90.∴DCFADE.∴ADE≌DCF，∴AEDF.h，∵AED90，S D2E2E2222B．三角形是解题的关键．1x4y＞y

时，x的范围是( )1 2 3 3 1 2Ax1

B.1x2

C.x1或x2

D.x2【答案】C【解析】x≥0时，y1=xy2

1x4，∴两直线的交点为（2，2，3 3x＜0时，y1=-xy2

1x4，∴两直线的交点为（-1，1，3 3y1＞y2x的取值范围为：x＜-1x＞2，C.x22x22x2x2x24x13

的最小值为（ ）10A.5 B.10

C.3 D.655【答案】A55【解析】x24xx24x13x22x2x22032

A0B3，x202x24x13x22x2Cx202x24x13x22x2x24xx24x13

的值最小，值为

，计算x2x22x22232x2x24x13x22x2x2x229x2xx22032x202，第第4页/共29页A0B3C，x24x13x22x2∴ A0Bx24x13x22x2x24x13x24x13

的值最小，值为

5，x22x22x22232【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．2x15x31①不等式组 3 6 的解集是关于x的一元一次不等式ax1解集的一部分，则a的取52x15 ②值范围是（ ）A.0a1【答案】D【解析】

B.1a03

3

.1a1a0．3【分析】分别求出不等式组和不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的解集的一部分及，进行求解即可．

2x15x31①

x1【详解】解：由 3 6

2x3，∵ax1，

52x15② a0x1，a∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，∴11，a∴a1，∴0a1；xx1，第第5页/共29页a∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，∴13，a∴a1，331a1a0；3故选：D．【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数．熟练掌握解不等式的步骤，正确的求出不等式的解集，是解题的关键．146.1x11x2142 3

x3的最小值（ ）7A.12 B.6 C.2【答案】C

D.3【解析】x22x6时，③当6x12x12时，即可进行解答．x2时，原式11x21x31x613x，2 3 4 12x2，613x23；12 6②当2x6时，原式1x121x31x41x，2x6，

2 3 4 12741x23；2 12 6③当6x12时，原式1x11x231x

7x，6x12，

2 3 4 1277x7；2 12x12时，原式1x11x21x313x6，2 3 4 12x12，第第6页/共29页13x67．12x67．2故选：C．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．如图，长方体的长、宽、高分别是8cm，2cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则妈蚁爬行的最短路径长为（ ）29229

2

C.10 D.4 2375【答案】C375【解析】【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点AB点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．路线．AB2(82)242116cm；AB2(24)282100cm；（（3）AB2(48)222148．第第7页/共29页100以最短路径的长为AB 10(cm)．100故选：C．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．ABCABACBAC54，ÐBAC的AB的垂直平分线交于点O，将ÐC沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为( )A.126 B.120 C.110 D.108【答案】D【解析】【分析】连接OB、OCABABD，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OAOB，根据等边对等角可得ABOBAO，再求出OBC，然后判断出点O是ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OBOC，再根据等边对等角求出OCBOBC，根据翻折的性质可得OECE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接OB、OCABABDBAC54AO为BAC的平分线，BAO1BAC15427，2 2又ABAC，ABCABC1180BAC11805463，第第8页/共29页2 2DOAB的垂直平分线，OAOB，ABOBAO27，OBCABCABO632736，AO为BACABAC，OBOC，点OBC的垂直平分线上，又DOAB的垂直平分线，点O是ABC的外心，OCBOBC36，将CEF(EBCFAC上折叠，点C与点O恰好重合，OECE，COEOCB36，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性解题的关键．x2mx16xa)(xba、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（ ）个A.4 B.5 C.8 D.10【答案】B【解析】mabab16，再根据ab为整数”进行分析即可得．【详解】(xa)(xb)x2ab)xab，x2mx16x2(ab)xab，mab,ab16，aab10种情况：（1）a1b16m11615；第第9页/共29页（2）a2b8m286；（3）a4b4m440；（4）a8b2m826；（5）a16b1m16115；（6）a1b16m11615；（7）a2b8m286；（8）a4b4m440；m826；（10）a16b1m16115；m的值为15606,155个，故选：B．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．如图，在ABCACB90ACBC4DBCPACPDPDPDPDQ，连接CQ．则CQ的最小值是（）2A 3 B.1 C. D.322 2【答案】B【解析】【解析】CDEEQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得PCD=∠QED=90QQECQ的最小值CQ⊥QE时，最后问题可求解．第第10页/共29页CDCDEEQ，如图所示：∵PDQ是等边三角形，60,PDQD,CDED，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PC≌△D（SAS，90ACBC4DBC边的中点，CDDECE1BC2，2QQE所在直线上运动，CQ⊥QE时，CQ取的最小值，90CED30，∴CQ1CE1；2B．30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．二、不定项选择题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分；漏选得2分，错选或多选不得分）11.a，11.a，ba22a2b22b211的值是（）a b第第11页/共29页333A.1 B. 1 C. 1 D.333【答案】A【解析】a22a2b22b2a，bx22x2ab2ab2，根11ab，计算求解即可．a b aba22a2b22b2，a，bx22x2的两个解，∴ab2，ab2，∴11ab1，a b ab故选：A．知识的熟练掌握与灵活运用．112.ABC的内角ÐABC和外角ÐACDEBEACFE作1EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，以下几个结论：①BEC BAC；②2HEF≌CBF；③BGCHGH；④AEBACE90；其中正确的结论有（ ）A.① B.② C.③ D.④ACD【解析】E作ENBANELACLEMBDM，根据角平分线的性质定理，得出AE平分NAL，再利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，即可判断④结论．【详解】解：BE平分ÐABC【详解】解：BE平分ÐABCCE平分ÐACD，CBE1ABC，ECD1ACD，第第12页/共29页2 2ACDABCBAC，ECDCBEBEC，CBEBEC1ABCBAC1ABC1BACCBE1BAC，2 2 2 2BEC1BAC，即①结论正确；2EGBD可以得到HEF∽CBF，但是没有条件可以推出相等的边，不能证明HEF≌CBF结论错误；BE平分ÐABCCE平分ÐACD，CBEGBE，ECDECH，EG∥BD，CBEBEG，ECDCEG，GBEBEG，ECHCEG，BGEG，CHEH，EGEHGH，BGCHGH，即③结论正确；EENBANELACLEMBDM，BE平分ÐABCCE平分ÐACD，ENEM，ELEM，ABC2CBE2GBE，ACD2ECH2ECD，ENEL，\AE平分NAL，NAL2EAL2EAN，BAC180NAL1802EAN，ACB180ACD1802ACE，且ABCACBBAC180，2GBE1802ACE1802EAN180，ACEACEEANGBE90，EAN是ABEEANGBEAEB，第第13页/共29页ACEGBEAEBGBE90，AEBACE90，即④结论正确；正确的结论有①③④，故选：ACD．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．13.下列说法：①如果3.7852m，则378.52100m0.25；18③若|a|b|b|bab0；④若关于x的方程x1 x

ax2

无解，则a25或1．x2 x1 (x1)(x2) 2其中正确的命题是( )A.① B.② C.③ D.④【答案】BCD【解析】【分析】根据乘方、分式方程的解的定义、绝对值的性质逐项分析即可求解．【详解】解：①如果3.7852m，则378.52(3.785100)2100003.785210000m，故①错误，那么①不符合题意．②0.2518

故②正确；③若|a|b|b|b，b0b0ab0ab0，故③正确；④解x1 x

ax2,x2

x1 (x1)(x2)3a2∵原方程无解，则a2，或

3

1或2，aa5或12a25或1．第第14页/共29页2故④正确，BCD．质是解决本题的关键．如图：AOB30．按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F．连结CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连结FG、CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A.AOG60 B.OF垂直平分CGC.OGCG【答案】D【解析】

D.OC2FGOC=OF=OG，FG=FCOFCG，则B选项进行判断;CGOF对称得到∠FOG=∠FOC=30A选项进行判断;OCGC选项进行判断;30度的直角三角形三边的关系得到OC=CF>CM，FC=FGD选项进行判断.OC=OF=OG，FG=FCOFCG，B选项的结论正确；GOF对称∴∠FOG=∠FOC=30°，∴∠AOG=60°，A选项的结论正确;∴△OCG为等边三角形，OG=CG，所以C所以C选项的结论正确;中，∵∠COM=30°第第15页/共29页∴OC=2CM，∵CF>CM，FC=FG，≠2FG，故选：D.三角形，熟练应用所学知识点判断是关键，利用尺规作图步骤分析是重点ABCDAB4BC8E，FAD，BCABCDEFCADHDG处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；EC平分DCH；BF的取值范围为3BF4；HAEF25．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】CFHFHFECFEABCDAD∥BC，则HEFCFEHEFHFEHEHFHECF，可证四边形CFHE是菱形，进而可判断①的正误；由四边形CFHE是菱形，可得BCHECH，当DCEECHBCH30EC平分DCHH与ABFx，则FCF8xF2F2B2，即8x2x242x3，当点G与DCFCD4BFBCCF4，则3BF4FFMADMABFMMF4AMBF3AECF5，第第16页/共29页MF2ME22MF2ME2

2 ，进而可判断④的正误．5CFHFHFECFE，5ABCD，∴AD∥BC，CFE，∴HEFHFE，HEHF，∴HECF，∴四边形CFHE是平行四边形，HEHF，∴四边形CFHE是菱形，∴①正确，故满足要求；∵四边形CFHE是菱形，∴BCHECH，当DCEECHBCH30EC平分DCH，∴②错误，故不满足要求；H与ABFxAFCF8x，F2F2B2，即8x2x242x3，当点GDCFCD4BFBCCF4，∴3BF4，∴③正确，故符合要求；FFMADMABFM是矩形，∴MF4，AMBF3，AECF5，5AM2，5MF2ME2EFMF2ME2

2 ，∴④正确，故满足要求；∴④正确，故满足要求；第第17页/共29页故选：C．的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．142314233a，bab3

6

，则ab ．【答案】4【解析】114233ab3

6 ，3132∴a313213113123 623121263333233 ．3故答案为：4．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决本题的关键．关于x的一元二次方程(12k)x22

k1x10

有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 ．1k2且k12【解析】△=b2-4ac＞0k的取值范围．【详解】由题意得：1−2【详解】由题意得：1−2k≠0k1，第第18页/共29页△=b2−4ac=(−2∴k<2，

2k1)2−4×(1−2k)×(−1)=8−4k>0，k11k2且k1．2【点睛】此题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握判别式．ABCDE，FBCCDAEBFGAC交BF于点H．若CEDF，BGGH，AB2，则△CFH的面积为 ．2【答案】3 42【解析】HHMCDMABBCCD2AB∥CD，2ABCBCD90，ACD45，根据勾股定理得AC2 ，根据CEDF得BECF，利2SAS证明△ABE△BCF，则12，根据ABC90得Ð1+Ð3=90，则AGB90，2BGGHAGBHABAH23AHBCH22AB∥CD得3CFH，根据AHBCHF得CHFCFH，则CHCF2

2，根据22，在2RtHMCHMC90ACD45sinMCHHC

，进行计算得HM2 ，即可2得．2HHMCDM，∵四边形∵四边形ABCD是正方形，第第19页/共29页2∴ABBCCD2，AB∥CD，ABCBCD90，ACD45，2AB2BC222AB2BC22222∵CEDF，

2 ，∴BCCECDDF，∴BECF，在ABE和△BCF中， ABBCABEBCF， BECF∴ABE≌BCFSAS，，2390，∴AGB180(13)90，∵BGGH，AGBH的垂直平分线，AH2，AHB，2CHACAH22∵AB∥CD，，∵AHBCHF，∴CHFCFH，

2，2∴CHCF2 2，2RtHMCHMC90ACD45CHHCsinMCH，HMHCsin45，

2，sinMCHHM，2HC222，HM(222)第第20页/共29页22HM2 ，2∴CFH的面积为：22=1(222

2)(2 2)2=3 4，2232

4．掌握这些知识点，构造辅助线．4x4x轴、yA、B，My轴上一点，若将△ABMAMB3恰好落在x轴上，则点M的坐标为 ．3（0，2【解析】

）或（0，-6）.AM将△ABM折叠,BxC点,根据翻折的性质求解即可．【详解】解：如图所示,AM将△ABM折叠,BxC点,y4x4x轴、yA、B，3∴A(3,0),B(0,4)，∴AB=5，C的坐标为：(−2,0).再设M点坐标为再设M点坐标为(0,b)，∵CM²=CO²+OM²，∴4b222b2，第第21页/共29页3∴b= ，23∴M(0, )，2AM为∠BAO的外角平分线时,M点(0,−6)3

)或(0,−6)．2解题的关键．已知ABC的高AD，BE所在的直线交于点F，若BFAC，则ÐABC的度数为 ．【答案】45或135【解析】【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：[作图区]当ÐABC为锐角时，如图①．当ÐABC为钝角时，如图②．[解答区]①若ABC为锐角三角形时，ÐABC为锐角，如图①，∵ADBC，BEAC，BEC90，CAD，∴∴VBDF≌VADCAAS，∴BDAD，即ÐABC=45；第第22页/共29页②若ABC为钝角三角形时，ÐABC为钝角，如图②，同理可证VBDF≌VADCAAS，∴BDAD，∴ABD45，135，综上所述，ÐABC的度数为45或135．45或135．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

xa x21.a是一个正实数，记f(x)= ，其中[x]是不超过实数x的最大整数，如[2.1]=2，[﹣2.1]=﹣3， 2 f（5）=5a的取值范围是．【答案】25≤a＜35【解析】

5a 5 a【分析】解：由题意可知5 6，通过计算转化为5 7，然后解不等式即可． 2 5 【详解】解：∵f（5）=5，5a 5∴5 6 2 ∴5a7∴∴5a7第第23页/共29页5解得：25≤a＜35故答案为：25≤a＜35．【点睛】本题考查理解新定义内容，结合题意的特点，将所求转化为不等式的解即可．四、解答题（本大题共3小题，满分26）x的方程(4k)(8k)x28012k)x320k的值．【答案】468，12【解析】【分析】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确．k4时，原方程为32x320x1，符合题意；k8时，原方程为16x320x2，符合题意；当k4且k8时，原方程化为4kx88kx40，解得x 8 ，x 4 ． 4k1248k352604，12或8k124k796，10，12．k的值为468，12时，原方程的根都为整数．

1 4k

2 8k【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元一次方程，整除，掌握一元二次方程的整数根与有理根的相关知识是解答本题的关键．如图，在平面直角坐标系中，OABCBC在x轴上，A、B、C三点的坐标分别为A(0mB(120)C(n0)，且(n10)2|3m15|0PB2个单位长BOPt秒．A、C两点的坐标；P恰好在BAOt的值；PBOyQ，使△POQ与AOCt的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由．（4的值并求出此时点Q的坐标：若不存在，请说明理由．（4）PA，若PABP1,0)（2）t13（3）t1Q的坐标是(,)或(；或t7(0,5)，C（1）A第第24页/共29页3 2Q的坐标是(,10)或(,10)（4）P的坐标为(119,0)、10)、,0)．24【解析】（1）n1003m50，求出即可；根据角平分线性质和三角形面积求出BP的长，从而求得P点运动时间t．根据对应边相等关系分为情况：求出点的坐标即可．x252设点P坐标为（x，0，由A 、Bx12、AB=13根据PA=P、PA=A、x252种情况分别求解即可，（1）∵(n10)2|m150，n100，3m150，∴n10，m5，A的坐标是(05C的坐标是(100)；PPH⊥AB，P恰好在BAOPOA90，∴PH=OP，S 1 1 1又∵ABP=2ABPH2BPAOSAOP=2AOPO，∴ABBP，AO PO又BO12AO5AB

BO2AO2BO2AO