2024-2025学年河南省南阳市高二上学期第二次月考考数学质量检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省南阳市高二上学期第二次月考考数学质量检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知数列是等差数列，其中，则（

）A．4050 B．4048 C．2025 D．20242．已知直线，直线，若，则与的距离为（）A． B． C． D．3．若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．4．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且满足、、成等比数列，则（

）A． B． C． D．5．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．6．已知数列是首项大于的等比数列，记的公比为，前项和为.设命题甲：；命题乙：对任意的，恒成立，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，设为的中点，为坐标原点.若，则（

）A． B． C． D．8．已知数列,均为正项等比数列，,分别为数列,的前项积，且，则的值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是右支上的一点，为坐标原点，则（

）A．到的距离为 B．的渐近线方程为C．的离心率为 D．10．若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C．中的最大项为 D．中的不同数值有个11．在平面几何中，有这样一个著名的命题：“如图所示，设是圆中弦的中点，过点做两条弦，连结交于两点，则是线段的中点.”由于题目的的图形像一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”.这一命题最早出现在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，这是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一.而且后人在对此定理的研究中发现，将“蝴蝶定理”中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，这个命题的结论仍然成立.请在椭圆中直接运用蝴蝶定理解决如下问题：如图，已知椭圆的右焦点为，左右顶点为.过做直线与交于，连接，过直线轴与交于，交直线于，交直线于，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线、交于点，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．在定直线上三、填空题（本大题共3小题）12．已知数列满足：，，则．13．已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是.14．设为双曲线：在第一象限上的一动点，，.过做的平行线交于点，过做的平行线交于点，若直线的斜率，则双曲线的离心率取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知三点，记的外接圆为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点，求的面积.16．如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17．已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；18．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程.(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.19．已知椭圆：过，，，中的三点，是坐标原点.(1)求椭圆方程的标准方程.(2)设是椭圆上的两个动点，若，求的取值范围.(3)设点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，写出定圆的方程，若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】因为数列是等差数列，且，所以.故选：C.2．【正确答案】C【详解】由，所以，则，所以可得，根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为.故选：C.3．【正确答案】A【详解】因为离心率，所以，即，所以，所以双曲线为等轴双曲线，所以设双曲线方程为，因为双曲线经过点，所以，得，所以双曲线方程为，故选：A.4．【正确答案】D【详解】由题意可得：，，，故选：D5．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A6．【正确答案】A【详解】．当时，，可知．所以“”是“对任意的，”的充分条件．又当时，．若n为偶数，则；若n为奇数，则．所以，当时，对任意的，恒成立．综上，“”是“对任意的，恒成立”的充分不必要条件，故选：A．7．【正确答案】B【详解】易知抛物线的焦点F1,0，由题意可知直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，Ax1,y联立，整理可得，所以显然成立，又为的中点，可得，即;所以，整理可得，解得或（舍）；因此.故选：B8．【正确答案】A【详解】数列均为正项等比数列，设公比分别为；,分别为数列,的前项积，，,则.故选：A9．【正确答案】ACD【详解】因为双曲线的渐近线为，又是的一条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.对于A，由双曲线知右焦点，，所以到的距离为，故A正确；对于B，的渐近线方程为，即，故B错误；对于C，的离心率为，故C正确；对于D，当点是双曲线的右支与轴的交点时，即时，，故D正确.故选：ACD.10．【正确答案】ACD【详解】对于选项A：因为，可知.则，可得，即，故A正确；对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列，且，所以，故B错误；对于选项C：可知，根据的符号可知：，当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数；当时，；综上所述：中的最大项为，故C正确；对于选项D：因为，同理可得：，可知当时，中的不同数值有10个；当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个；综上所述：中的不同数值有个，故D正确；故选：ACD.11．【正确答案】BD【详解】对于A，，，联立，所以，所以，故A错误；对于B，为中点，，根据蝴蝶定理可知，为中点，所以，又因为，所以，故B正确；对于C，由题知，，设所在直线为，联立，得，设，则，，所以，因为，所以不为定值，，故C错误；对于D，设，则，联立直线、方程，则，所以，所以在定直线上，故D正确，故选：BD.12．【正确答案】【详解】由题意得：，，，，所以数列是周期为4的周期数列，所以.故2.13．【正确答案】6【详解】抛物线准线方程为,过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时，最小，且.故6.14．【正确答案】【详解】设，，过做的平行线方程为，则，解得，则，同理，因为，所以，即，所以，即，所以，即，又因为，所以，所以双曲线的离心率取值范围为，故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设的一般方程为，由题意可知，解得，所以，故的标准方程为.（2）由（1）可知，，半径.则圆心到直线的距离为，所以，故的面积为..16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取的中点，连接，因为，，所以，又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，则，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；

（2）取的中点，连接，则，即，如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），时，有，时有，，，又，也符合上式，故数列是首项为1，公比为2的等比数列，.（2），时，，时有，，又，也符合上式，所以，当时，当时，当时，，当时，.故.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设Px0,y0，，是，，又，代入得．故点的轨迹方程是．（2）由题意点坐标适合，即点A在C上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，联立，消去并整理得，需满足，即，设，，则，，因为，，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.19．【正确答案】(1)(2)(3)，半径为【详解】（1）由椭圆的对称性知，，必在椭圆上，又因为椭圆焦点在轴上，则不在椭圆上，有在椭圆上，因此，解得，所以椭圆C的方程为.（2）由可知不妨设，，，即，所以，易知，解得；所以由对勾函数性质得，当=1时最小，，当