重庆市九龙坡区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

重庆市九龙坡区2023-2024学年九年级上学期期末数题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上．1．下列为一元二次方程的是（）A．x+1x=1 B．x(x+1)2．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．经过红绿灯路口，遇到黄灯B．射击运动员射击一次，命中靶心C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球4．抛物线y=(A．(2，5) B．(2，5．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，……，依此规律，第10个图案中的白色圆片个数为（）A．20个 B．22个 C．24个 D．26个6．已知A(−1，a)，B(1，A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b7．已知二次函数y=x2−5x−4，当y>2A．−1<x<6 B．−6<x<1C．x<−1或x>6 D．x<−6或x>18．如图，△ABC中，∠ACB=80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（）（用含α的代数式表示）A．80°+32α B．170°+32α9．今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深CD=2，锯道AB=12，则这根圆柱形木材的半径是（）A．20 B．12 C．10 D．810．已知点P(xn，yn)在二次函数y=x2−2x+1的图象上，其中x1=1，x2=2，⋯，xn=n，令A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．11．若点(1，2)与点(12．已知m是方程x2+3x−2=0的一个实数根，则2m13．一个不透明的盒子里装有3个红球和6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过第一象限点A，且平行四边形15．如图，正五边形ABCDE的边长为1，以点A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为．（结果保留π）．16．已知点A(a，m)、B(b，17．若关于x的一元二次方程(a+2)x2+4x+1=0有实数解，且关于y的分式方程ay−118．如果一个三位自然数m=abc的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+c=b，那么称这个三位数为“中庸数”．将“中庸数”m=abc的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数”m'=cba，记F(m)=m−m'99，T(m)=m+三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20-26题每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上．19．解一元二次方程：（1）x2+2x−6=0； （2）20．如图，已知AB，C是弦（1）用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线PD，分别交AB于点D，交AB于点P，连接PA，②以点P为圆心，PA长为半径作弧，交AB于点Q（Q，A两点不重合），连接PQ，PB，（2）求证：BC=BQ．证明：∵PD是AC的垂直平分线，∴▲，∴∠PAC=∠PCA，∵PA=PQ，∴PA=PQ，∴∠PBC=∠PBQ，（其依据是▲）∵四边形APQB是圆的内接四边形，∴∠PAC+∠PQB=180°，（其依据是▲）∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PQB=▲，∵PB=PB，∴△BPC≌△BPQ，∴BC=BQ．21．为全面增强中学生的体质健康，某学校开展“阳光体育活动”，开设了：A．跳绳；B．篮球；C．排球；D．足球，这4门选修课，要求每名学生只能选择其中的一项参加．全校共有100名男同学选择了A项目，为了解选择A项目男同学的情况，从这100名男同学中随机抽取了30人在操场进行测试，并将他们的成绩x（个/分钟）绘制成频数分布直方图．选A项目男生的测试情况

选择四个项目的男生在全校男生总人数所占的百分比（1）若抽取的同学的测试成绩落在160≤x<165这一组的数据为160，162，161，163，162，164，则该组数据的中位数是，众数是；（2）根据题中信息，估计选择B项目的男生共有人，扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为度；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图法或列表法计算出甲和乙同学同时被选中的概率．22．小明和小华利用周末一起去放风筝．如图，小明位于地面的A处，小华位于小明的正西方向，与小明相距8米的B处．小明的风筝位于小明的北偏东15°方向，与小明A相距62米的D处；小华的风筝位于小华的北偏东30°方向，与小华B相距8米的C（1）风筝C与小明A之间的距离AC的长；（2）两个风筝之间的距离CD的长．23．某商店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣降价1元，那么平均每天就可多售出2件．（1）若活动期间平均每天的销售量为38件，求每件保暖衣盈利是多少元？（2）要想平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽量减少库存，那么每件保暖衣应降价多少元？24．如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，当它运动到点C时停止运动，过点D作DQ⊥AP交AP于点Q．若AP=x(（1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y关于x的函数图象，并写出y的一条性质；（3）当点P在BC边上运动时，若△ABP与△DPC的面积之比是3225．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点26．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为平面内的一点．图1图2图3（1）如图1，当点D在边BC上时，BD=2，且∠BAD=30°，求AD的长；（2）如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC=45°+∠ADC，求证：BD=2（3）如图3，AB=6，当D、E分别为AB、AC的中点时，把△DAE绕点A顺时针旋转，设旋转角为α(0<α<180°)，直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出旋转中△PAB面积的最大值．四、选做题：本大题1个小题，共15分，不计入总分．解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．27．从1到100这100个数中最多选出多少个数，使得任意两个数的差既不是4也不是7？

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意得x(故答案为：B【分析】根据一元二次方程的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。2．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不符合题意；

B、不是中心对称图形，B不符合题意；

C、不是中心对称图形，C不符合题意；

D、是中心对称图形，D符合题意；故答案为：D【分析】根据中心对称图形的定义结合题意对选项逐一判定即可求解。3．【答案】D【解析】【解答】解：A.经过红绿灯路口，遇到黄灯是随机事件，A不符合题意；B.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，B不符合题意；C.班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，C不符合题意；D.从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，D符合题意；故答案为：D【分析】根据不可能事件的性质逐一对各个选项进行判断即可求解。4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得抛物线y=(x−2故答案为：A【分析】根据二次函数顶点式的解析式结合题意即可得到顶点坐标。5．【答案】B【解析】【解答】解：由题可知，第1个图案中白色圆片的个数为：4=2×2；第2个图案中白色圆片的个数为：6=2×3；第3个图案中白色圆片的个数为：8=2×4；…所以第n个图案中白色圆片的个数为：2(n+1)；当n=10时，2(n+1)=2×11=22（个），即第10个图案中白色圆片的个数为22个．故答案为：B．【分析】观察图形，依次计算出白色圆片的个数，归纳出规律即可求解。6．【答案】B【解析】【解答】解：∵反比例函数y=6x中，∴此函数图象在一、三象限，∵−1<0，∴点A(∴a<0，∵2>1>0，∴B(1,b)，C∴b>c>0．∴a<c<b．故答案为：B【分析】根据反比例函数比例系数k的性质判断图像所在象限，结合“A(−1,7．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可得：当y=2时，即x2解得：x1=−1∵y>2，又二次函数图象开口向上∴x<−1或x>6．故答案为：C【分析】先求出当y=2时x对应的值，再根据二次函数与不等式的关系求解x的解集即可求解。8．【答案】C【解析】【解答】解：由旋转得CB=CD，∠ABC=∠CDE，∠BAC=∠CED，∠ACE=∠BCD，∵∠BCD=α，∴∠ABC=∠BDC=180°−α2=90°−∵∠ACB=80°，∴∠BAC=180°−80°−∠ABC=10°+1∴∠CED=10°+1∴∠EFC=180°−∠ECF−∠CED=170°−3故答案为：C【分析】根据旋转的性质可得CB=CD，∠ABC=∠CDE，∠BAC=∠CED，结合“∠BCD=α”，进而可知∠ECF=α，∠ABC=∠BDC=90°−12α，再根据三角形内角和定理可得∠BAC9．【答案】C【解析】【解答】解：连接OA、OD，如图所示：由题意得：D为AB的中点，则O、D、C三点共线，OD⊥AB，∴DA=DB=1设圆的半径为x，则OD=(在Rt△OAD中，由勾股定理得：62解得：x=10．∴这根圆柱形木材的半径为10．故答案为：C【分析】如图，连接OA、OD，根据垂径定理可得DA=DB=12AB=6，设圆的半径为x10．【答案】A【解析】【解答】解：由题知，将x=1，2，3，…，分别代入二次函数解析式得，y=02，12，22，所以A1=1+1当n=6时，A6故①错误．An因为n为正整数，则当n=11或12时，An−24n的最小值为：故②错误．因为Bn为An的个位数字所以B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10B11B12…，所以Bn的个位数字（从B又因为(2023−1所以1+404×(即B1故③错误．故答案为：A【分析】根据二次函数图象上的点的坐标变化规律结合“其中x1=1,x2=2,⋯,xn=n，令A1=x1+y2,A2=x2+y3,⋅⋅⋅,11．【答案】-1【解析】【解答】解：∵点(1，2)与点(故答案为：-1【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征（横坐标和纵坐标均互为相反数）结合题意即可得到a。12．【答案】2024【解析】【解答】解：∵m是方程x2+3x−2=0的一个实数根，

∴m2+3m=2，故答案为：2024【分析】根据一元二次方程的根结合题意即可得到m213．【答案】1【解析】【解答】解：由题意得摸到红球的概率为33+6故答案为：1【分析】根据简单事件的概率结合题意即可得到摸到红球的概率为红球红球14．【答案】8【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：∵平行四边形ABCD的面积为8，∴DC⋅EA=8，∵BA=DC，∴BA⋅EA=8，∴矩形OBAE的面积为8，∵点A在反比例函数的图象上，∴k=8.故答案为：8【分析】如图，过点A作AE⊥x轴，结合“平行四边形ABCD的面积为8”可得AB⋅AE=8，根据反比例函数比例系数k的几何意义进而可得到k=8。15．【答案】3π【解析】【解答】解：正五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，∴∠BAE=540°∴S故答案为：3π【分析】根据正多边形内角和公式计算出正五边形的内角和=(5−2)×180°=540°，进而可得∠BAE=108°，再根据扇形面积公式即可求解。16．【答案】3【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y=x∴该抛物线的对称轴是直线x=−1，又∵点A(a,m)∴a+b∴a+b=−2，把(−2,n故答案为：3【分析】根据二次函数对称轴公式可求得抛物线的对称轴是直线x=−1，结合“点A(a,m)、B(b,m17．【答案】-5【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(a+2∴Δ=b2−4ac=解得a≤2且a≠−2，方程ay−13−y+4=1∴a=−8，−2，0，1，2，3．∵有正整数解且y≠3，∴a≠0，∴a=−8，−2，1，2，3．∵a≤2且a≠−2，∴a=−8，1，2．∴符合条件的a的值的和是−8+1+2=−5．故答案为：−5【分析】根据一元二次方程的判别式并结合“关于x的一元二次方程(a+2)x2+4x+1=018．【答案】2；121或484或583【解析】【解答】解：由题意得：F(因为2F(m)∴2F(2T(即2(a−c)则(a−c)，因为0<a，c<9，所以(a−c)，可得当a−c=0时，a+c=2或a+c=8；当a−c=2时，a+c=8，所以a=c=1或a=c=4或a=5，c=3，可得m=121或484或583．故答案为：2；121或484或583【分析】先根据题意结合整式的混合运算得到2F(m)=2(a−c)，2T(m)=2(a+c19．【答案】（1）解：xxx(x+1)x+1=±∴x1=−1+7（2）解：2a=2，b=−4，c=−1，Δ=16+8=24>0x=∴x1=1+6【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可解方程；

（2）根据公式法结合题意即可求解。20．【答案】（1）解：①如下图，PD即为所求；②如图，PQ，PB，BQ即为所求；（2）证明：∵PD是AC的垂直平分线，

∴PA=PC，

∴∠PAC=∠PCA，

∵PA=PQ，

∴PA=PQ，

∴∠PBC=∠PBQ，（其依据是同弧或等弧所对的圆周角相等）

∵四边形APQB是圆的内接四边形，

∴∠PAC+∠PQB=180°，（其依据是圆内接四边形对角互补）

∵∠PCA+∠PCB=180°，

∴∠PQB=∠PCB，

∵PB=PB，

∴△BPC≌△BPQ(SAS)，

【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线结合作图-圆即可求解；

（2）根据垂直平分线的性质结合圆周角、圆内接四边形的性质即可求解。21．【答案】（1）162；162（2）175；108（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，∴甲和乙同学同时被选中的概率为212【解析】【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序排列，排在第3和第4的为162和162，∴该组数据的中位数是(162+162该组数据中出现次数最多的为162，∴该组数据的众数为162．故答案为：162；162．（2）全校的男生人数为100÷20%=500（人∴选择B项目的男生共有500×35%=175（人扇形统计图中D项目所占圆的圆心角为360°×(故答案为：175；108【分析】（1）根据中位数、众数的定义结合题意即可求解；

（2）根据题意扇形统计图和频数分布直方图的信息结合题意即可就出选择B项目的男生，进而根据圆心角的计算公式即可求解；

（3）先根据题意画出树状图，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。22．【答案】（1）解：如图，连接AC，∵小华的风筝位于小华的北偏东30°方向，∴∠CBA=90°−30°=60°，∵AB=BC=8米，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8米；（2）解：如图，过点C作CE⊥AD交AD于点E，∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB=60°，∴∠CAF=30°，∵小明的风筝位于小明的北偏东15°方向，∴∠CAD=30°+15°=45°，∵∠CEA=90°，∴∠ECA=45°，CE=AE，∴CE=AE=AC∵AD=62∴DE=62∵∠CED=90°，∴CD=C【解析】【分析】（1）连接AC，进而根据方位角结合题意即可得到∠CBA的度数，进而根据等边三角形的判定与性质即可求解；

（2）过点C作CE⊥AD交AD于点E，先根据等边三角形的性质得到∠CAB=60°，进而结合题意进行角的运算即可得到∠ECA=45°，CE=AE，再解直角三角形得到CE=AE=4223．【答案】（1）解：根据题意得：40−=40−18÷2=40−9=31（元)．答：每件保暖衣盈利31元；（2）解：设每件保暖衣应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出根据题意得：(40−x整理得：x2解得：x1=10，又∵要尽量减少库存，∴x=20．答：每件保暖衣应降价20元．【解析】【分析】（1）根据题意运用有理数的混合运算即可求解；

（2）设每件保暖衣应降价x元，则每件盈利(40−x)元，平均每天可售出24．【答案】（1）解：y关于x的函数关系式为y=4(0<x≤3)（2）解：列表：x01132537495y4444444243812描点并连线：由图象可得，当3<x≤5，y随x的增大而减小；（3）解：当点P在BC边上运动时，S△ABPS△CDP∵S△ABP∴32∴BP=12∴在Rt△ABP中，AP=A即x=3∴y=12【解析】【解答】解：（1）①当点P在线段AB上，即0<x≤3时，∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，又DQ⊥AP，∴点Q与点A重合，DQ=AD，∵在矩形ABCD中，AD=BC=4，∴DQ=4，即y=4．②连接AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC=A当点P在BC上运动，即3<x≤5时，∵S△APD=1∴12即12∴y=12综上所述，y关于x的函数关系式为y=4(0<x≤3)【分析】（1）根据题意分类讨论：①当点P在线段AB上，即0<x≤3时，当点P在BC上运动，即3<x≤5时，进而运用矩形的性质结合勾股定理和三角形的面积即可求解反比例函数关系式；

（2）根据题意描点画图即可求解；

（3）先根据三角形的面积求出BP，进而根据勾股定理结合反比例函数图象上的点的特征即可求解。25．【答案】（1）解：将点A(−1，0)，点B(3，0=a⋅(−1)2+b⋅(−1)+3故抛物线的解析式为：y=−x（2）解：由y=−x2+2x+3，当x=0∴点C坐标为：(0，设直线BC的解析式为y=kx+n把B，C两点代入得：n=33k+n=0，解得∴直线BC解析式为：y=−x+3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∵PE∥OC，PF∥OB，∴∠FEP=∠EFP=45°，PF⊥PE，PF=PE，∴S设点P坐标为：(p，−p2+2p+3)PE=−p当p=32时，PE取最大值94，此时点P∴S故△PEF面积的最大值是8132及此时点P的坐标为：(（3）解：存在，点Q的坐标是(2，3)或【解析】【解答】解：（3）当点Q在BC上方时，作点A(−1，0)关于y轴的对称点A'(1，0)，过点∵A'与A关于∴∠ACO=∠A又∵BT∥A∴∠QBC=∠BCA∵∠A∴∠ACO+∠QBC=45°，∵点C(0，3)，点同理可求直线CA'解析式为：设直线BT解析式为：y=−3x+t，将B(3，0)代入，解得：∴直线BT解析式为：y=−3x+9，联立抛物线与直线BT解析式：y=−x2+2x+3y=−3x+9解得：∴Q(2，当点Q在BC下方时，作点D(0，1)，直线BD与抛物线交于点∵点D(0，1)，点∴直线BD解析式为：y=−1∵AO=OD=1，∠COA=∠BOD，OC=OB=3，∴△COA≌△BOD(SAS)，∴∠ACO=∠DBO，∴∠CBQ联立抛物线与直线BD解析式：y=−x2+2x+3y=−1∴故答案为：点Q的坐标是(2，3)或【分析】（1）运用待定系数法代入点A和点B即可求解；

（2）先根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意即可得到点C的坐标，进而运用待定系数法求出直线BC，从而根据平行线的性质结合题意得到∠FEP=∠EFP=45°，PF⊥PE，PF=PE，再根据三角形的面积结合题意设点P坐标为：(p，−p2+2p+3)，则点E坐标为：(p，−p+3)，进而即可求解；

（3）根据题意分类讨论：当点Q在BC上方时，作点A(−1，0)关于y轴的对称点A'(1，0)，过点B作BT∥26．【答案】（1）解：如图，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠C=∠ABC=45°，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，∴△ABD≌△ABE∴∠ABE=∠ABD=45°，BE=BD，AE=AD，∠BAD=∠BAE=30°∴∠EBD=90°，∠DAE=60°∴△ADE为等边三角形，△BDE为等腰直角三角形∴AD=DE，2B∴AD=DE=2（2）证明：如图，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连接DE，∵AE⊥AD∴∠DAE=∠BAC=90°∴∠BAE=∠DAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△BAE≌△CAD(SAS)∴∠ACD=∠ABE∵∠ACD+∠DCB+∠ABC=90°∴∠DCB+∠ABC+∠ABE=90°∴∠BOC=90°又∵AE=AD，AE⊥AD∴∠A