北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一三总分评分一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定2．如果2m=3n(n≠0)，那么下列比例式成立的是（）A．m2=n3 B．m3=3．将抛物线y=2xA．y=2(x+2)2+3C．y=2(x−2)2−34．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠BAC=40°，则∠D的度数是（）A．40° B．50° C．60° D．90°5．在平面直角坐标系xOy中，若点A(x1，1)和A．0<x2<x1 B．0<x6．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（）A．13cos40°海里 B．C．13sin50°海里 D．7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，cosA=3A．12 B．2 C．52 8．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD=CE，连接BD，AE相交于点F，则下列说法正确的是（）①△ABD≌△CAE；②∠BFE=60°；③△AFB∽△ADF；④若ADAC=A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．写出一个开口向下且过(0，1)的抛物线的表达式10．如图，M为反比例函数y=kx的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△MAO的面积为3，则k的值为11．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形ABCDEF）的外接圆，已知正六边形ABCDEF的边长是4，则BC长为．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE，AC交于点F，则△CEF和△ADF的面积比为．13．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，若OC=3，AB=42，则CD的长为14．小明同学测量一个圆形零件的半径时，他将直尺、三角板和这个零件如图放置于桌面上，零件与直尺，三角板均相切，测得点A与其中一个切点B的距离为3cm，则这个零件的半径是cm．15．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，OC=1且∠BOC=60°，点D是BC的中点，点P是直径AB上一动点，则CP+DP的最小值为．16．已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的对称轴是直线x=1，其部分图象如图，则以下四个结论中：①abc>0；②2a+b=0；③3a+c<0；④4a+三、解答题（本题共12道小题，第17题5分，第18题4分，第19题6分，第20-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17．计算：sin30°⋅18．如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E为△ABC外一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中：①∠E=∠A；②DEBA=DB19．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的yx…−3−113…y…−3010…（1）求这个二次函数表达式；（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；（3）当x的取值范围为时，y>−3．20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=3，BD=1，求sin∠BCD及21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求作：射线BP，使得∠ABP=1作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②延长BA交⊙A于点D，以点D为圆心，BC长为半径画弧，与⊙A交于点P（点C，P在线段BD的同侧）；③作射线BP．射线BP即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AP，DP．∵AB=AC，∴点C在⊙A上．∵DP=∴∠ABP=12∠DAP∵DP=BC，∴∠DAP=．∴∠ABP=122．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)在双曲线y1=k1x(k（1）求双曲线y1（2）若tan∠OAB=2，求23．某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度AB，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪CD测得塔顶A的仰角为37°，然后沿CB方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为45°．请根据他们的测量数据求塔高AB的长度大约是多少．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为AC的中点，过点D作⊙O的切线，交BC延长线于点P，连接OD交AC于点E．（1）求证：四边形DECP是矩形；（2）作射线AD交BC的延长线于点F，若tan∠CAB=34，BC=625．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m，若以点O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1：y=a(x−3)2+2的一部分，小静恰在点C(0，（1）抛物线C1的最高点坐标为（2）求a，c的值；（3）小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为．26．在平面直角坐标系xOy中，点(0，3)，(6，（1）当y1（2）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1，−1)，当自变量x的值满足−1≤x≤2时，y（3）当a>0时，点(m−4，y2)，(m，y227．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，连接AM，点D为线段CM上一动点，过点D作DE⊥BC，且DE=DM，（点E在BC的上方），连接AE，过点E作AE的垂线交BC边于点F．（1）如图1，当点D为CM的中点时，①依题意补全图形；②直接写出BF和DE的数量关系为▲；（2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段BF和DE之间的数量关系，并证明．28．对于在平面直角坐标系中⊙T和⊙T外的点P，给出如下定义：已知⊙T的半径为1，若⊙T上存在点Q，满足PQ≤2，则称点P为⊙T的关联点．（1）如图，若点T的坐标为(0，0)，①在点P1(3，0)，P2(3，−2)，P3②直线y=2x+b分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在⊙T的关联点，求b的取值范围；（2）已知点C(0，3)，D(1，0)，T(m，1)

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由题意可得：

这个圆与这条直线的位置关系是相交

故答案为：C

【分析】根据圆与直线的位置关系即可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

如果2m=3n(n≠0)，则m3=n23．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：

将抛物线y=2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的表达式为y=2(x+2)24．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得：

∠C=90°-∠BAC=50°

∴∠D=∠C=50°

故答案为：B

【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠C=50°，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得：

1=4x1,4=4x2

解得：x1=4，6．【答案】A【解析】【解答】由题意可得：

∠A=40°

在Rt△OAB中

cos∠A=ABOA，即AB=13cos7．【答案】D【解析】【解答】解：∵BD⊥AC于点D，cosA=35

∴AD=35AB

∴BD=AB2-35AB2=45AB

∵AB=BC

∴CD=AB-AD=8．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∵AD=CE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，故①正确；∴∠CAE=∠ABD，AE=BD，∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAD=60°，故②正确；∵∠AFB>∠ADB，∴△AFB∽△ADF不成立，故③错误；过点E作EH∥BD，交AC于点H，∴△CEH∽△CBD，∵ADAC∴ADDC∴CHCD∴CD=3CH，∴AD=3∴ADDH∴AFAE∵EH∥BD，∴△ADF∽△AHE，∴FDEH=AF∴BF=BD−DF=6∴AFBF=3综上所述：说法正确的有①②④；故选：B．【分析】根据等边三角形性质，全等三角形判定定理可得①正确；再根据全等三角形性质可得∠CAE=∠ABD，AE=BD，再进行角之间的转换可得②正确；再根据相似三角形判定定理可得③错误；过点E作EH∥BD，交AC于点H，再根据相似三角形判定定理可得△CEH∽△CBD，再根据其性质可得AFAE=37=AFBD9．【答案】y=−2x【解析】【解答】解：由题意可得：

开口向下且过(0，1)的抛物线的表达式为：y=−2x2+1（答案不唯一）

10．【答案】6【解析】【解答】解：∵M为反比例函数y=kx的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为A，△MAO的面积为3

∴12|k|=3

解得：k=±6

∵k>0

∴k=611．【答案】4【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长是4

∴∠BOC=360°6=60°，OB=OC

∴△OBC是等边三角形

∴OB=BC=4

∴lBC⌢=12．【答案】1【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC，AD∥BC

∴△CEF∽△ADF

∵E是BC的中点

∴CE=12BC=12AD

∴CEAD=12

∴13．【答案】2【解析】【解答】解：连接OA

∵在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，AB=42

∴AD=BD=12AB=22

∵OC=3

∴OA=OC=3

在Rt△AOD中，OD=32-2214．【答案】3【解析】【解答】解：设圆形零件的圆心为O，连接OA，OB

∵圆O与直尺，三角板均相切，切点分别是B和C

∴OB⊥AB，OA平分∠BAC

∴∠OAB=12∠BAC

∵∠BAC=180°-60°=120°

∴∠OAB=60°

∵tan∠OAB=tan60°=OBAB

∴OB=3tan60°=315．【答案】2【解析】【解答】解：作点D关于AB的对称点D'，连接OD，OD'，CD'，PD'，DD'

可知CP+DP=CP+D'P，根据“两点之间线段最短”可得当C，P，D'三点共线时，CP+D'P最小，即为CD'

∵点C在⊙O上，∠BOC=60°，点D是BC的中点

∴∠DOB=12∠BOC=30°

∵点D关于AB的对称点D'

∴BD⌢=BD'⌢

∴∠BOD'=∠BOD=30°

∴∠COD'=90°

∵OC=OD'=1

∴16．【答案】②③④【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：a<0，∵对称轴在y轴右侧，即：−b∴b>0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c>0，∴abc<0，∴①错误；②∵抛物线对称轴是直线x=1，即−b∴b=−2a∴b+2a=0，故②正确；③由图象知，(3，y)与当x=−1时，y<0，即a−b+c<0，∵b=−2a，∴3a+c<0，故③正确；④∵b=−2a，∴b2如果4a+b那么4a+4a∵a<0，∴c>1+a，根据抛物线与y轴的交点，可知c>1，∴结论④正确．故答案为：②③④．【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.17．【答案】解：sin===1．【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合实数的混合运算即可求出答案.18．【答案】证明：选择①∵DE∥BC，∴∠EDB=∠ABC，∵∠E=∠A，∴△EDB∽△ABC．或选择②∵DE∥BC，∴∠EDB=∠ABC，∵DEBA∴△EDB∽△ABC．【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠EDB=∠ABC，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.19．【答案】（1）解：把点(−1，0)、得：a+b+c=1a−b+c=0解得：a=−1∴这个二次函数的解析式是y=−1（2）解：二次函数的图象如图所示：；（3）−3<x<5．【解析】【解答】（3）根据图象可得：

当y=-3时，有：x1=-3，x2=5

当y=-3时，则函数图象在直线y=-3上方

则−3<x<5

故答案为：−3<x<5

【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入二次函数解析式即可求出答案；

（2）根据题意画出图象即可；

20．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°．在Rt△CDB中，BD=1，CD=3∴CB=C∴sin∠BCD=在Rt△CDB中，BC=2，tanB=在Rt△ABC中，tanB=∴AC=23【解析】【分析】在Rt△CDB中，根据勾股定理可求出CB=2，再根据锐角三角函数定义可得sin∠BCD=BDBC=121．【答案】（1）解：画图．（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；∠BAC【解析】【解答】（2）

【分析】（1）根据题意画出图形即可求出答案；

（2）连接AP，DP，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，再根据等边对等角即可求出答案.22．【答案】（1）解：∵点A(1，2)在双曲线∴k1∴y1（2）解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，如图所示：则∠ACO=∠BDO=∠AOB=90°，∴∠AOC+∠OAC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OAC，∴△BOD∽△OAC，∴BDOC∵A的坐标为(1，∴OC=1，AC=2．∵Rt△AOB中，tan∠OAB=∴BD1∴BD=2，OD=2∴B的坐标为(−22∴将B(−22，2)代入【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入双曲线解析式即可求出答案.

（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，则∠ACO=∠BDO=∠AOB=90°，进行角之间的转换可得∠BOD=∠OAC，则△BOD∽△OAC，再根据相似三角形相似比性质可得OC=1，AC=2，Rt△AOB中，再根据锐角三角函数定义即可求出B的坐标为(−22，2)，将B(−2223．【答案】解：根据题意，得AB⊥BC，EF⊥BC，DC⊥BC，DG⊥AB．∴BG=CD=1.5m，DE=CF=7m，∠AEG=45°，∵在Rt△AGE中，∠AEG=45°，∴∠GAE=45°，∴AG=GE．设AG为x m，则GE=x，GD=x+7，在Rt△AGD中，tan∠ADG=∴4AG≈3GD，则4x≈3(x+7)，解得x≈21，∴AB=AG+GB≈21+1.答：塔高AB的长约为22.5m．【解析】【分析】由题意可得BG=CD=1.5m，DE=CF=7m，∠AEG=45°，∠ADG=37°，设AG为x m，则GE=x，GD=x+7，在Rt△AGD中，根据锐角三角函数定义可得4x≈3(x+7)，则24．【答案】（1）证明：连接OC∵AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=90°，∵点D为AC的中点，∴AD=∴∠AOD=∠COD，∵OA=OC，∴OD⊥AC，∵DP是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DP，∴四边形DECP是矩形．（2）解：如图补全图形，在Rt△ABC中，BC=6，tan∠CAB=∴AC=8，AB=10，∵OD⊥AC，∴AE=EC=4，在Rt△AEO中，OA=5，AE=4，∴OE=3，∴DE=2，在Rt△AEO中，DE=2，AE=4，∴AD=25∵矩形DECP对边平行，∴OD∥BF，∴AOOB∴FD=25【解析】【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACP=90°，由点D为AC的中点，可得AD=DC，则∠AOD=∠COD，再根据切线性质，矩形判定定理即可求出答案；

（2）在Rt△ABC中，根据锐角三角函数定义可得AC=8，AB=10，则AE=EC=4，在Rt△AEO中，再根据勾股定理可得OE=3，25．【答案】（1）(3（2）解：由题可得点B(6，1)，将B(6，1)代入抛物线得a=−1∴抛物线C1：y=−∴当x=0时，y=c=1；（3）4或5【解析】【解答】解：（1）∵抛物线C1：y=a(x−3)2+2

∴最高点坐标为（3，2）

故答案为：（3，2）

（3）∵小林在x轴上方1m的高度上，且到点∴此时，点B的坐标范围是(5，当经过(5，1)时，解得：n=17当经过(7，1)时，解得：n=41∴17∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5．故答案为：4或5．【分析】（1）根据抛物线的顶点式方程性质即可求出答案；

（2）根据待定系数法将点B坐标代入抛物线方程可求出抛物线C1：y=−19(x−3)2+2，令x=0时，代入C2解析式可求出c值，即可求出答案；

（3）由题意可得点B的坐标范围是(526．【答案】（1）解：∵(0，3)，∴x=x∴抛物线的对称轴x=3；（2）解：∵y=ax2+bx+c(a≠0)过(0∴c=3，a−b+3=−1，b=a+4，∴对称轴x=−b①当a>0时，∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴−a+42a≤−1∴0<a≤4．②当a<0时，∵−1≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴−a+42a≥2∴−4综上：a的取值范围是−45≤a<0（3）解：m的取值范围为5<m<6或m>10．【解析】【解答】解：（3）解：∵点(0，3)在抛物线∴c=3，∵点(m−4，y2)，∴对称轴为直线x=m−4+m①如图所示：∵y∴m<6且m−2>0+6∴5<m<6；②如图所示：∵y∴m−4>6，∴m>10，综上所述，m的取值范围为5<m<6或m>10．

【分析】（1）根据抛物线的对称性可得x=x1+x22=0+62=3，即可求出答案；

（2）将(0，3)，(−1，−1)代入抛物线解析式可得27．【答案】（1）解：①补图．②BF=2DE；（2）解：当点D在图2位置时，仍满足BF=2DE，证明：如图，设AM与EF交于点N，连接EM，∵AB=AC，∠BAC=90°，M为BC中点，∴AM=BM=CM=12BC∵DE=DM，DE⊥BC，∴∠EMC=∠AME=45°，在△AME与△CME中，EM=EM∠EMC=∠AME=45°∴△AME≌△CME(SAS)，∴∠EAM=∠ECM，∵在△ANE和△FNM中，EF⊥AE，∠AMB=90°，∠ANE=∠FNM，∴∠NAE=∠NFM（即∠EFC），∴∠EFC=∠ECM，∴EF=EC，∵ED⊥FC，∴CF=2DC，∵BC=2CM，∴BF=BC−CF=2(CM−DC)=2DM=2DE．【解析】【解得】解：（1）②如图1，过点E作AE的垂线交BC边于点F．∵AB=AC，∠BAC=90°，点M为BC的中点，∴BM=CM，AM⊥BC，∴AM=CM=BM，∴△ACM是等腰直角三角形，∴点M，F重合，∵ME⊥AC，∴∠C=∠EMC=45°，∴△EMC是等腰直角三角形，∵DE⊥B