异面直线夹角与线面角的求法

异面直线夹角与线面角的求法【知识梳理】1、空间中的各种角包括(1)异面直线所成的角,范围0°,90°]、(2)直线与平面所成的角范围[0°,90°]2、步骤：(1)找出或作出有关角的图形；(2)证明它符合定义；(3)求角．【典型例题】例题一：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．例题二：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．例题三：正ABC的边长为，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．M例题四：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分MACBNA1C1B1别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN例题五：已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．例题六：如图，已知正三棱锥-底边长为，高为，过底面中心作于，求与侧面所成的角。【跟踪训练1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.例题七：如图，在三棱锥-中，已知，，，求与面的夹角。【跟踪训练2】如图，四边形与均为菱形，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【课堂巩固】一：选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A）不平行的直线（B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线（D）既不相交又不平行直线2．设a,b,c是空间的三条直线，下面给出三个命题：=1\*GB3①如果a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c是异面直线；=2\*GB3②如果a,b相交，b,c也相交，则a,c相交；=3\*GB3③如果a,b共面，b,c也共面，则a,c共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个3．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）（A）[30°，90°]（B）[60°，90°]（C）[30°，60°]（D）[60°，120°]4．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）ABCEFSABCDD1ABCEFSABCDD1C1B1A1MN5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1（A）（B）（C）（D）6．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④7、在三棱锥S—ABC中，，，，，求异面直线SC与AB所成角的余弦值。PPABCD8、如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD//BC，PD:DC:BC=1:1:，求直线PB与平面PDC所成角的大小。9.在矩形中，，是边的中点，如图（1），将沿直线翻折到的位置，使，如图（2）.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）已知，，分别是线段，，上的点，且，，平面，求直线与平面所成角的正弦值.10、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1（1）求异面直线B1C1与AC（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1—ABC的体积。11、如图，五面体中，四边形是菱形，是边长为2的正三角形，，．（1）证明：；（2）若点在平面内的射影，求与平面所成的角的正弦值．12、在单位正方体中，求直线与截面所成的角.【课后作业】1．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值.2、如图，共底的两个正四棱锥的高分别为2和1，底面边长AB=4.⑴求异面直线AN与BM的夹角的余弦值.⑵求BN与平面MAD所成角的正弦值3、如图，正三棱柱ABC-DEF的底面边长为2，AD=4,G是EF的中点.(1)、求AG与平面BCFE所成角的正弦值.（2）、求CF与平面AEG所成角的余弦值.4．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，求MN和BD所成角的正切值.5.如图，四