上海市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含解析）

2024－2025学年上海市高二年级上学期12月月考数学试卷2024.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为_______．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₂=1，a₁₁=73．事件A、B互斥，它们都不发生的概率为25，且P（A）=3P（B），则P（B）=_______4．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为65π，则该圆锥的体积为_______5．某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．6．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则．x²＋y²的值为7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm，最小值为154cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组的下限为153．5，则组数为_______．8．某圆柱形容器里有一个球，该球与圆柱形容器的底面和侧面都相切，若球的体积为86π，9．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，记平面AD₁E与平面ABCD的交线l₁，平面AD₁E与平面ABB₁A₁的交线l₂，若直线AB与l₁所成角为α，直线AB与l₂所成角为β，则sin（2α－β）的值是_______．10．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式在_______种．11．一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a₁，a₂，a₃，则事件a₁，a₂，12．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以Pn表示没有出现连续2次正面的概率，则P₁₂二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，……，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（）．A．09 B．05 C．65 D．7114．设无穷等比数列{an}的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sn，则“a1＋q=1”是A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件15．在数列{an}中，如果存在正整数T，使得am＋T=am，对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xₙ}满足．xₙ₊₂=|xₙ₊₁-xₙ|，如果x₁=1A．674 B．1348 C．1350 D．202416．如图，在三棱锥A－A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠A₁B₁C₁=90°．A₁B₁=2A₁A=2B₁C₁=2，P：为线段AB₁的中点，M，N分别为线段AC₁和线段B₁C₁上任意一点，则5PMA．352 c．5 D．2三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比数列（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bₙ=aₙ＋3a，求数列{bₙ18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，F，G分别为AA₁，AC，A₁C₁，BB₁的中点，AB=BC=2（1）求证：AC⊥GF；（2）求异面直线FG与BD所成角的余弦值．19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）某类型题目需要从A，B，C，D四个选项中选出正确答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对则得6分，部分选对则得部分分数（两个答案的每个答案3分，三个答案的每个答案2分），有选错的得0分．（1）有一道考试甲不会做，假设他随机选择两个或三个选项，且写下每种答案的可能性相等，若该题的正确的答案为ABD，求考生甲本题得4分的概率；（2）现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生乙得6分的概率为14，得3分的概率为12；考生丙得6分的概率为16，得3分的概率为1320．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）如图1，四面体ABCD中，△ABC为等边三角形，且AB=2，△ADC为等腰直角三角形，且∠ADC=90°．（1）当BD=7时，求二面角D－－AC－B（2）当BD=7时，当P为线段BD中点时，求直线AD与平面APC（3）当BD=2时，若DP=λDB（0<λ<1），且PH⊥平面ABC，H为垂足，CD中点为M，AB中点为N；直线MN与平面APC的交点为G，当三棱锥21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制：满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式其中an，an-1，⋯a例如十进制数25=2×3²＋2×3＋1，所以25在三进制下可写为（1）设正整数m在三进制下的各位数字之和为S（m）：①将满足S（m）=3的数从小到大排成一列，直接写出该列数的前四个数；②在十进制1至2025中任选一个正整数m，求S（m）为3的倍数的概率．（2）已知正整数a≤31，设正项数列{an}的前n项和为Sn，a1=a2，且SₙSₙ₋₁＋

2024－2025学年上海市高二年级上学期12月月考数学试卷2024.12一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分．1．【答案】【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），基本事件总数，观察两枚骰子出现“两个点数相等”包含的基本事件有：，（6，6），共6个，观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为．2．【答案】48【解析】．3．【答案】【解析】根据题意，设，则，事件、互斥，它们都不发生的概率为，则，则有，解可得，即．4．【答案】【解析】设圆锥底面的半径为，根据题意得，解得，所以圆锥的高，所以圆锥的体积．5．【答案】7【解析】，则是数据从小到大排列后的第四位数是87，则．6．【答案】65【解析】因为．它的平均数为8，所以，解得，由，得，则，即．7．【答案】7【解析】，则组数为7．8．【答案】【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为，利用球的体积公式可得：，解得：，再由圆柱的表面积公式得：．9．【答案】【解析】延长与直线相交于，连接，则平面与平面的交线为，即为直线，故即为，又，是棱的中点，且，，又为锐角，且，则，又平面平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，故直线与所成角为，又，故，所以．10．【答案】50【解析】由题意可分为两类（1）若乙只完成工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式；（2）若乙不止完成工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有种安排方式．综上共有种安排方式．11．【答案】【解析】所有投掷结果共有种，由事件“”，可得，，设，则，还有一个数为，由题意得．当时，三个数为对应，有种方法，当时，三个数为对应有种方法，当时，三个数为对应有种方法，当时，三个数为对应有种方法，一共有种，事件“”发生的概率为．12．【答案】【解析】由题意知，设首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，则首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为正面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，首次为反面向上时，第次抛硬币正面向上的结果数为，反面向上的结果数为，所以，设，则有，解得，即设，解得，所以有，即数列是以为公比的等比数列，依次代入，即可得．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】A【解析】依次读取的数据依次是37，14，05，11，09，则得到的第5个样本编号是09，故选A．14．【答案】B【解析】当时，，则，故“”是“”不充分条件，若“”，则，即“”，故“”是“”必要条件，综上可得：“”是“”成立必要非充分条件，故选：B．15．【答案】C【解析】因为，所以，因为数列是周期数列，而，当时，可得，则，即，不满足题意，当时，则，即，解得或（舍去），则，不满足题意，当时，则，即，则或，当时，，即，解得（舍去），当时，，此时，即，又，即，则或，当时，，此时，即，当时，，即，解得（舍去），所以且，故，此时，，，满足题意，所以数列的周期最小值为3，此时；；…，故此时数列的前2024项和是．故选：C．16．【答案】C【解析】平面，，又，平面，，在中，．过点分别作，垂足分别，，，，，故选：C．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等差数列的公差为．由，且成等比数列，得，解得：，数列的通项公式为．（2）由（1）知，得，．18．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，D，E，F，G分别为，的中点，．在直三棱柱中，平面，四边形为矩形，又，分别为，的中点，，且，，，，，平面，平面，平面．（2）由（1）知，平面，平面，平面，，，，，．以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意得，，，，，，，异面直线所成角的范围为，异面直线与所成角的余弦值为．19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）【答案】（1）；（2）【解析】（1）甲同学所有可能的选择答案有10种：，，，，，，，，，，设事件表示“猜对本题得4分”，则，有3个样本点，所以．（3）由题意得乙得0分的概率为，丙得0分的概率为，乙、丙总分刚好得18分的情况包含：事件：乙得12分有一种情况，丙得6分有三种情况，则，事件：乙得9分有两种情况，丙得9分有两种情况，则，事件：乙得6分有三种情况，丙得12分有一种情况，则，所以乙、丙总分刚好得18分的概率．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1）取的中点，连接，，因为为等腰直角三角形，且，所以，则，所以，又因为，所以，则，又因为，所以为二面角的平面角，，所以，所以二面角的正弦值为．（2）过点作轴垂直平面，又因为，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，设平画的法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，，直线与平面所成角正弦值为．（3）取的中点，连接，，因为为等腰直角三角形，且，所以，则，所以，又因为，所以，则，又因为，所以，又因为平面，所以平面，因为，，两两相互．垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，设，因为，所以由，可得：，所以，由（1）知，平面，又平面，所以在上，因为，所以，，所以，即，所以，所以，三棱锥体积为：，因为，当时，三棱锥体积最大为，此时，分别为，的中点，所以，，，，，，设，设因为，所以，所以，因为在平面上，所以设，所以，所以解得，所以，所以．21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）【答案】（1）5，7，