2023-2024学年广东省深圳市南山区南头中学高二上学期期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2023-2024学年广东省深圳市南山区南头中学高二（上）期中数学试卷一、单选题1.直线的斜率为（

）A. B. C. D.2.已知，若，则（）A.4 B.6 C.5 D.33.圆的圆心坐标和半径分别是（）A.(-1，0)，3 B.(1，0)，3C. D.4.如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（）A. B.C. D.5.如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.6.长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B.C. D.8.已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（）A.–3或3 B.57 C.–3或57 D.3或57二、多选题9.已知向量，，则下列结论中正确是（）A. B. C. D.10.已知直线l：与n：，下列选项正确的是（）A.若，则或B.若，则C.直线l恒过点D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为11.（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一个法向量是12.已知圆：与直线：若直线和圆交于两点，设的面积为，则（）A.直线必过定点B.弦长最短为C直线与圆可能没有交点D.最大值为16三、填空题13.已知，，若，则______．14.已知两条直线，则间的距离____________．15.已知点、，在直线上，则的最小值等于________.16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.四、解答题17.若，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值．18.已知三个顶点是，，．（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A到BC边所在直线的距离．19.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC中点．（1）设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；（2）若底面，且，求点到平面ABE的距离．20已知圆C：，直线l恒过点（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.21.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点.（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存在说明理由.2023-2024学年广东省深圳市南山区南头中学高二（上）期中数学试卷一、单选题1.直线的斜率为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将直线方程化成斜截式即可得直线的斜率.【详解】解：因为直线方程为，化为斜截式为：，所以直线的斜率为：.故选：D.2.已知，若，则（）A.4 B.6 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】等价转化为,利用空间向量坐标运算得到关于的方程，解之即可.【详解】由得，又∵，，,解得,故选：A.3.圆的圆心坐标和半径分别是（）A.(-1，0)，3 B.(1，0)，3C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.4.如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，，，.故选：B5.如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；所以.故选：B.6.长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.，.,异面直线与所成角的余弦值为.故选：C7.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.【详解】当时，方程为，倾斜角为当时，直线的斜率，因为，则，所以；综上所述：线的倾斜角的范围是.故选：C．8.已知点A（1，0），B（1，6），圆，若在圆C上存在唯一的点P使，则（）A.–3或3 B.57 C.–3或57 D.3或57【答案】C【解析】【分析】由以AB为直径的圆与圆C两圆相切求解.【详解】由题意，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为，，所以以AB为直径的圆M的方程为，圆.因为两圆相切，所以，即，解得或.故选：C二、多选题9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量运算求解.【详解】向量，，所以，故A正确；因为，所以，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD10.已知直线l：与n：，下列选项正确的是（）A.若，则或B.若，则C.直线l恒过点D.若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为【答案】AC【解析】【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项.【详解】对于A项，若，则，解得或，经检验，均符合，故A项正确；对于B项，若，则，解得或，故B项不成立；对于C项，因为，则由得，所以l恒过点，故C项正确；对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点，则，得，所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立．故选：AC.11.（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量B.与同向单位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一个法向量是【答案】BCD【解析】【分析】A：由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在λ使；B：与同向的单位向量是即可判断；C：由投影向量的定义可解；D：应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断．【详解】由题意得，，A：若与共线，设，则，方程无解，故不共线，A错误；B：与同向的单位向量是，B正确；C：在方向上的投影向量是，C正确；D：设平面ABC的一个法向量是，则，令，则，D正确．故选：BCD．12.已知圆：与直线：若直线和圆交于两点，设的面积为，则（）A.直线必过定点B.弦长最短为C.直线与圆可能没有交点D.的最大值为16【答案】AB【解析】【分析】根据直线方程可得直线恒过定点，可判断A，由点与圆的位置关系可知定点在圆内部，从而判断C，求圆心C到直线的最大距离，即可求得最短弦长，结合圆心C到直线的最大距离可知圆心C到直线的距离的范围，面积公式结合不等式即可求出面积的最大值．【详解】圆的方程为，∵直线：．令，解得，∴不论取何值，直线必过定点，故A正确；且，则点在圆内，∴直线与圆一定相交，故C错误；圆心，当的连线垂直于直线时，，，∴当最大时，弦长最短，故B正确；＝＝，∵，∴时，面积的最大值为8，故D错误；故选：AB．三、填空题13.已知，，若，则______．【答案】28【解析】【分析】由可建立关系求出，再根据坐标即可求出.【详解】解：由题知，∴，，则．故答案为：28.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查坐标法求数量积，属于基础题.14.已知两条直线，则间的距离____________．【答案】##【解析】【分析】先将两直线方程的系数化为一致，再利用两平行线的距离公式求解即可．【详解】两条直线，其中即，故间的距离．故答案为：．15.已知点、，在直线上，则的最小值等于________.【答案】12【解析】【分析】求出关于对称点的坐标，则即为的最小值.【详解】设关于的对称点为则，解得，，，则，所以的最小值是12.故答案为：.16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.故答案为：.四、解答题17.若，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用向量坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值；（2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值．【小问1详解】由于，所以，因为，所以，解得【小问2详解】由于，所以因为，故，解得．18.已知三个顶点是，，．（1）求BC边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A到BC边所在直线的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，即可求出所求直线的斜率，再求出的中点的坐标，从而可求的直线方程；（2）求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式即可得解.【小问1详解】解：∵，，∴，则所求直线的斜率为：，又的中点的坐标为，所以边上的中垂线所在的直线方程为：；【小问2详解】解：直线的方程为：，即，则点到直线的距离为：.19.如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，E为侧棱PC的中点．（1）设经过A、B、E三点的平面交PD于F，证明：F为PD的中点；（2）若底面，且，求点到平面ABE的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理证明，（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，【小问1详解】因为底面为矩形，所以.又平面，且平面，所以平面.又平面ABE，且平面平面，所以.又因为，所以因为E为PC的中点，所以F为PD的中点.【小问2详解】如图所示，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，设是平面的法向量，则，即令，则平面的一个法向量为又因为，所以点到平面的距离为，即点到平面的距离为．20.已知圆C：，直线l恒过点（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.【小问1详解】由题意可知，圆C的圆心为，半径，

①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；

②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，

化为一般式：，若直线l与圆相切，

则，即，解得，

：，即l：，

综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；【小问2详解】由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，

直线l的方程为，即，

设圆心到直线l的距离为d，则，

由垂径定理可得，，即，

整理得，，解得或，

则直线l的方程为或21.如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【小问1详解】如图，连接，在中，由，可得，，，，，，，，则，故，，，，平面，平面；【小问2详解】由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，则，又，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设平面的法向量为，，，则，令，则，，故，，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：，过点且斜率为k的直线l与圆O交于不同的两点A，B，点.（1）若直线l的斜率，求线段AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值；（3）设线段AB的中点为M，是否存在直线l使，若存在，求出直线l的方程，若不存