一元线性回归模型参数的最小二乘估计课件（1）高二下学期数学人教A版选择性

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计（1）复习引入在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计.由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.探究：利用散点图8.2-1找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近.探究：最小二乘法在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图(2)所示.采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一条直线，如图(1)所示.(1)方法一：(2)方法二：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示.(2)方法三：上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.先进一步明确我们面临的任务:从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”.通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,

y1),(x2,

y2),‧‧‧,(xn,

yn),由yi=bxi+a+ei(i=1,2,‧‧‧,n)，得显然|ei|越小，表示点(xi,

yi)与点(xi,

bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示.特别地，当ei=0时，表示点(xi,

yi)在这条直线上.因此，可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和来刻画“整体接近程度”.所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值.要使Q取到最小值，则∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为综上，当a,b的取值为时，Q达到最小.经验回归方程与最小二乘估计：我们将

称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.

这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用公式(2)求得的

叫做b,a的最小二乘估计.归纳总结易得:（1）经验回归直线必过点;（2）与相关系数r符号相同.这里的“二乘”是平方的意思.编号1234567891011121314父亲身高/cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182对于上表中的数据，利用公式(2)可以计算出

得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为

相应的经验回归直线如下图所示.课本113页对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为:“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可.”你觉得这个说法对吗?解：这个说法是对的.选择刻画散点趋势的直线可以有不同的标准，取决于“整体接近程度”的定义，定义不同，得到参数a和b的估计往往也不同.例如，我们可以用刻画“整体接近程度”得到参数a和b的最小二乘估计，也可以用

刻画“整体接近程度”得到参数a和b的估计，二者估计的结果一般不同.练习商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345例1：某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:(1)画出销售额和利润额的散点图；(2)计算利润额y对销售额x的经验回归直线方程.解：(1)散点图如下:例题∴所求经验回归方程为解法1：(2)商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345∴所求经验回归方程为商店名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345解法2：(2)求经验回归方程的步骤：反思归纳x1234y1345

1.已知变量x，y有如下对应数据:(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x,y的经验回归方程.解：(1)散点图如下:练习∴所求经验回归方程为解：(2)x1234y13452.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；解：散点图如图所示.样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系.(2)求经验回归方程.解：列出下表，并用科学计算器进行有关计算.1.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357∴经验回归直线必过点(1.5，4).故选D.随堂检测父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm1751751761771772.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对身高数据如下:则y对x的经验回归直线方程为()3.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方程可能是（

）解析：x的系数为负数，表示负相关，排除B，D；由实际意义可知x＞0，y＞0，显然C不满足，故选A.解析：经验回归直线的斜率的估计值为1.23，4.已知经验回归直线的斜率的估计值是1.23，且过定点(4,5)，则经验回归方程是______________.5.某班5名学生的数学和物理成绩如表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461求物理成绩y对数学成绩x的经验回归方程.1.经验回归方程：我们将

称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估计：经验回