力学第4章 功和能课件

第四章功和能1力学第4章功和能▲功的计算是否依赖参考系？本章讨论力对空间的积累效应—功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。1.深入理解以上概念，辨析物理量是属于质点、还是属于系统？是否与参考系选择有关？2.明确规律的内容、来源、对象、适用条件、与参考系的关系等。▲势能是否与参考系选择有关？▲机械能守恒是否与惯性系选择有关？▲摩擦生热是否与参考系选择有关？2力学第4章功和能△§4.1功△§4.2动能定理§4.3一对相互作用力的功§4.4保守力△§4.5势能§4.6由势能求保守力§4.7功能原理和机械能守恒定律§4.8守恒定律的意义△§4.9碰撞§4.10质心系中的功能关系§4.11两体问题第四章功和能3力学第4章功和能△§4.1功功：力和力所作用质点（或质元）位移的标积▲功依赖于参考系；▲功是标量，有正、负之分。▲功是过程量，不是状态量；m

ABL××4力学第4章功和能△§4.2动能定理▲

对质点，由牛顿第二定律，有动能定理：—动能（惯性系成立）▲

对质点系，有动能定理：注意：内力虽成对出现，但内力功的和不一定为零，因为各质点位移不一定相同。5力学第4章功和能§4.3一对相互作用力的功一对相互作用力分别作用在两个物体上，大小相等、方向相反。合功与参考系无关。是m2相对m1的元位移。m1m2y×B2xB1A1z

A2O×××6力学第4章功和能A表示初位形，即m1在A1，m2在A2；B表示末位形，即m1在B1，m2在B2。1.W合与参考系选取无关。几点说明：2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）3.在无相对位移、或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。7力学第4章功和能例如：

M光滑m8力学第4章功和能§4.4保守力保守力：这一对力的功与相对移动的路径无关，只决定于物体的始末相对位置。—保守力定义式（L是任意闭合路径）L2L1L2L1BAL2L1m2m1××9力学第4章功和能一.常见的保守力1.万有引力

rBrAB××AmM10力学第4章功和能2.弹力（一维情况）x-x0—弹簧伸长量，k—

弹簧劲度系数3.重力二.非保守力▲爆炸力：作为内力，作功为正。作功与路径有关的力称为非保守力。▲摩擦力滑动摩擦力作为内力，功恒为负，耗散力；11力学第4章功和能△§4.5势能保守力做功与路径无关，可用引入标量函数

—势能替代保守力做功。一.势能Ep定义：系统由位形A变到位形B的过程中，

保守内力作功等于系统势能的减少，或势能增量的负值。势能零点：选择某位形O

且规定12力学第4章功和能说明：势能零点选择与参考系选择无关。二.几种势能1.万有引力势能令有1.势能属于相互作用的系统；2.势能不依赖于参考系的选择，取为势能零点,任意点处的势能为13力学第4章功和能2.重力势能令有3.弹性势能令有14力学第4章功和能§4.6由势能求保守力一.由势能函数求保守力在保守力场中的某点处，保守力沿空间某一指定方向的分量，等于势能函数

Ep

在该点处的方向导数的负值。（代表空间一指定方向）

m—Ep方向导数的负值由势能定义15力学第4章功和能直角坐标系下，EP=

EP(x,y,z)

，可证明：—EP的梯度的负值标量函数的梯度：大小等于方向导数最大值，方向指向标量函数增长最快的方向。16力学第4章功和能则引入算符—保守力指向势能下降最快的方向【例】弹性力弹性势能17力学第4章功和能对一维情形：保守力指向势能下降的方向，大小正比于势能曲线的斜率。二.势能曲线▲势能曲线上每一个局部的最低点都是稳定的平衡点：当质点偏离了稳定的平衡点时，会受到指向平衡点的力，即质点可以围绕这些平衡点作小振动。势能曲线形象地反映出系统的稳定性：18力学第4章功和能▲势能曲线上每个局部的最高点都是不稳定的平衡点：一旦质点偏离不稳定的平衡点，都会受到偏离平衡点的力，质点就会远离而去。【例】双原子分子势能曲线f>0，斥力作用r<r0：f<0，引力作用r>r0：f=0，平衡位置r=r0：rEpr0O19力学第4章功和能不稳平衡随遇平衡平衡种类稳定平衡势能曲线在A点，若Ek>

E1则质点可越过势垒进入B

区。在B点，若Ek>

E2则质点可越过势垒进入A

区。亚稳平衡

E1

E2AB势垒

势阱

总能量E

决定了质点在势场中的运动范围。20力学第4章功和能§4.7功能原理和机械能守恒定律

一.功能原理对质点系：引入系统的机械能功能原理（积分形式）（微分形式）21力学第4章功和能二.机械能守恒定律只有保守内力作功时，系统机械能不变。—机械能守恒定律孤立的、保守的系统机械能守恒。即W保内

<0EpEkW保内>022力学第4章功和能三.普遍的能量守恒定律机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现。系统势能与动能的相互转化通过保守内力作功来实现和度量。考虑各种物理现象，计及各种能量：—普遍的能量守恒定律一个孤立系统不管经历何种变化，系统所有能量的总和保持不变。23力学第4章功和能四.守恒定律联合应用举例【例1】已知m，M和

v，求：hmax=?

解：系统m+M

+地球W外=0，W非保内=0当h=hmax时，M与m有相同水平速度。取地面Ep=0，有：故机械能守恒。mvM光滑光滑hmax(1)24力学第4章功和能分析结果的合理性：

量纲对；该过程中地面所受压力如何变化？

趋势正确由(1)(2)得：m+M：水平方向F外=0，水平方向动量守恒：(2)【思考】

25力学第4章功和能【例2】分析荡秋千原理：m表示人的质心1

2：人迅速蹲下，使有效摆长由l

变为l；2

3：对（人+地球）系统，(1)角动量守恒：(2)只重力作功，机械能守恒：3

4：人对O，4

5：对（人+地球）系统，机械能守恒：

ll

m

Ol

152v34v

26力学第4章功和能(1)(2)(3)解得：人越摆越高，能量从哪儿来？即人越摆越高。【思考】

(3)lvl

m

Ol

15423v

27力学第4章功和能【例3】一质量为2m的环套在光滑的、水平固定的lm2m细杆上，用长l的轻绳与质量为m的小球相连。将轻绳沿水平拉直，使小球从与环等高处静止释放。求：当轻绳与水平杆夹角为

时，其中的张力T。28力学第4章功和能解：环沿x方向运动，设速度为ux，设球速度为v。

xyN环＋球系统：杆力N沿–y方向，x方向不受力，分动量守恒：只重力作功，机械能守恒：(1)(2)小球相对环作圆周摆动，设相对速度为v

。v29力学第4章功和能xy(1)－(5)可解出所有速度分量球相对环的速度的分量满足：(5)(3)(4)在圆环这个平动非惯性系中求绳中张力T

：(6)(7)30力学第4章功和能圆周运动法向方程：(8)(1)－(8)解出绳中张力T：总结：此题涉及动量守恒，机械能守恒，

相对运动，平动非惯性系。31力学第4章功和能【例4】在匀速转动参考系中，惯性离心力和科里奥利力作功有何特点？对匀速转动参考系的机械能守恒怎样理解？答：在匀速转动参考系中，科里奥利力与速度保持垂直，不作功。惯性离心力是有心力，可引入惯性离心势能描述其作功。以r=0处势能为零点，则距离r

处势能为：对匀速转动参考系的机械能守恒应理解为：动能和势能包括离心势能之间的转化。32力学第4章功和能五.

质点在有心力场中的运动简介1.

有心力场有心力是指方向始终指向（背向）固定中心的力，如万有引力，可表达为：

是以固定中心为原点的矢径的单位矢量。有心力场是保守力场，其势能为：33力学第4章功和能2.

有心力场中质点运动方程质点在有心力场中运动的2个重要特征：▲角动量守恒，运动必在一个平面上：▲质点的机械能守恒：力心采用极坐标系：速度：位矢：34力学第4章功和能由机械能守恒得：(1)由角动量守恒得：代入(1)得关于r的方程：(2)35力学第4章功和能方程(1)(2)就是研究质点在有心力场中运动的

2个基本方程，可取代牛顿方程。相比牛顿方程，方程(1)(2)降为1阶微分方程，这是利用守恒量的优点。

具体地要由初始条件决定：初始条件和势函数的具体形式决定轨道特征：封闭性、形状、大小和取向。36力学第4章功和能3.有效势和轨道特征径向动能：有效势能：离心势能：等效于斥力势能在径向（r方向），质点相当于在一个保守势场中运动，径向动能和有效势能相互转化。37力学第4章功和能近、远地点对应

，此时径向动能为零，有效势能等于总机械能，可得：对万有引力场有：E<0

时2根，对应椭圆轨道

—束缚态。E=0

时1根，对应抛物轨道，质点刚好逃逸，动能全部转化为势能。E>0

时1根，对应双曲轨道，不受约束。38力学第4章功和能

E=E1>0时，双曲轨道E=E2

=0时，抛物轨道E=E3<0时，椭圆轨道E=E0=

时，圆轨道近地点、远地点39力学第4章功和能4.变轨问题势函数确定后，初始条件决定轨道特征（形状、大小和取向）。改变初始条件即可改变轨道特征。例如，宇宙飞船绕地球作匀速圆周运动，速度。让飞船在极短时间内向外侧或内侧点火喷气，使其获得一附加的指向地心的很小的速度，飞船即可变轨。40力学第4章功和能红色轨道对应外侧点火，蓝色轨道对应内侧点火。41力学第4章功和能1978年发射的空间飞船ISEE3，4年后经37次点火和5次飞近太阳而进入了一个复杂的轨道。1985年拦截了一个彗星，1986年与哈雷慧星相遇，2012年将返回地球。42力学第4章功和能§4.8守恒定律的意义（自学）△§4.9碰撞（自学）▲强调运动状态变化，忽略过程细节▲强调内力、忽略外力（看情况）动量守恒角动量守恒动能不变（弹性碰撞）43力学第4章功和能特例1：完全非弹性碰撞特例2：完全弹性对心碰撞(v1,v2,v10,v20:确定正方向后的投影分量)m1=m2：v2＝v10,v1=v20m1>>m2,v10=0:v2

-v20,v1

0碰前碰后自学教材例4.16对心碰撞44力学第4章功和能§4.10质心系中的功能关系一.柯尼希定理S（惯性系）：S

（质心系）：45力学第4章功和能质心系中功能原理仍然成立，与质心系是否是惯性系无关。二.质心系中的功能原理（积分形式）（微分形式）—柯尼希定理所以046力学第4章功和能【证明1】(1)内力成对出现：(2)科尼希定理：势能与参考系无关：(3)(4)S

O

OSmi×C47力学第4章功和能(1)+(2)得：(3)+(4)得：(5)(6)S系中功能原理：(7)由(5)(6)(7)得：(7)所以质心系中功能原理仍然成立。48力学第4章功和能若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。若质心系是非惯性系，则需考虑惯性力的功：设质心加速度为，则：【证明2】49力学第4章功和能质心系中机械能守恒定律：三.质心系中两质点系统的动能惯性系S：不管质心系是否为惯性系，功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同。设m1

速度为，m2

速度为50力学第4章功和能质心系S

：令—相对速度—约化质量则—质心系中两质点系的动能51力学第4章功和能若则【例】对物体m—地球Me系统：Me

>>m，物体—地球质心系中，物体和地球总动能：

m，这就是讨论物体—地球系统的能量问题时，不考虑地球动能的原因。地心系中物体动能52力学第4章功和能两质子达到最近距离时，动能全部转化为静电势能：【例】质子间相互作用电势能，

k为常量。两质子从相距很远处分别以速率v0和2v0

相向运动。解：（地面系如何？）两质子间只有保守内力作用，动能和静电势能之和守恒（忽略万有引力）。质心系：求：二者能达到的最近距离rmin。ermpmpe53力学第4章功和能§4.11两体问题两物体在相互作用下的运动问题称两体问题，这类问题可简化为单体问题处理。如

粒子被原子核散射，设质点间的作用力为有心力，(1)(2)行星绕太阳运动等。m2m1O惯性系中固定点54力