专题27 垂美四边形（解析版）

专题27垂美四边形

一、填空题

1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD

交于点O．若AD2，BC4，则AB2CD2．

【答案】20

【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，

∵AD=2，BC=4，

2222

∴AB2CD2AD+BC=2+4=20，

故答案为：20.

二、解答题

2．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形

（1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：．

（2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质）

2222

【答案】（1）AD+BC＝AB+CD；（2）GE＝73．

【详解】(1)结论：AD2+BC2=AB2+CD2，

如图1中，设BD交AC于E．

第1页共33页.

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．

(2)连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=42，BE=52，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=73．

3．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，

第2页共33页.

并说明理由；

（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长．

2222

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）AB+CD=AD+BC，证明见解析；（3）EG=21．

【详解】解：（1）如图，四边形ABCD是垂美四边形；

理由如下：

连接AC、BD交于点E，

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：AB2+CD2=AD2+BC2，

第3页共33页.

证明：在四边形ABCD中，

∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2，

∴AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）如图3，连接CG，BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB≌△CAE（SAS），

ABAE

∴∠ABG=∠AEC，

∵∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNC=90°，即BG⊥CE，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2，

∵AC=2，AB=3，

∴BC=AB2AC25，CG=22，BE=32，

∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21，

∴EG=21．

4．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

第4页共33页.

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

【答案】（1）垂美四边形，证明见解析；（2）AD2BC2AB2CD2；（3）GE73

【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．

证明：∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：AD2+BC2=AB2+CD2．

证明：∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．

（3）连接CG、BE，

第5页共33页.

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB≌△CAE，

ABAE

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，∴BC=AB2AC2=3，CG=42，BE=52，

2222

∴GE=CG+BE-CB=73，∴GE=73．

5．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，

并说明理由；

（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之间的数量关系；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，

连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝3，求线段DE的长．

【答案】（1）是，见解析；（2）AB2CD2BC2AD2；（3）DE13

【详解】解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形．

理由如下：

第6页共33页.

证法一：

∵ABAD，CBCD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC．

∴∠BAC＝∠DAC．

∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线．

∴ACBD．

∴四边形ABCD是垂美四边形．

证法二：

连结AC、BD交于点E．

∵ABAD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∵CBCD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上．

∴直线AC是线段BD的垂直平分线．

∴ACBD．

∴四边形ABCD是垂美四边形．

（2）如图2，在垂美四边形ABCD中，

∵ACBD于点O，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．

∴AB2AO2BO2．

BC2BO2CO2．

CD2CO2DO2．

AD2AO2DO2．

∴AB2CD2AO2BO2CO2DO2．

BC2AD2BO2CO2AO2DO2．

∴AB2CD2BC2AD2．

（3）分别连结CD、BE，

如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，

第7页共33页.

∴CADBACBAEBAC．

即DABCAE．

在DAB和CAE中，

ADAC

DABCAE，∴DABCAE．

ABAE

∴ABDAEC．

∵∠BAE＝90°，

∴AECAME90．

∴ABDBMN90．

∴BNM90，即BDCE．

∴四边形CDEB是垂美四边形．

由（2）得：DE2BC2CD2BE2．

∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝3，

∴CD2AC2AD2(3)2(3)26．

BE2AB2AE222228．

BC2AB2AC222(3)21．

∴DE2CD2BE2BC268113．

∴DE13．

6．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：（填

写序号）；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之

间的数量关系，并说明理由；

（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长．

第8页共33页.

2222

【答案】（1）①③；（2）结论：AD+BC=AB+CD．证明见解析；（3）273

【详解】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直，

∴正方形，菱形是垂美四边形，

故答案为：①③．

（2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2．

理由：∵四边形ABCD是垂美四边形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

（3）连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

第9页共33页.

∴CG2+BE2=CB2+GE2，

∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，

∴AC=AB2BC2=8，

∴CG=82，BE=102，

∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，

∴GE=273．

7．（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边

形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）

（2）【概念理解】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由．

（3）【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD的两对角线交于点O，试探究AB，CD，BC，AD之间有怎样的数

量关系？写出你的猜想__________________；

（4）【性质应用】如图3，分别以RtABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE长．

2222

【答案】（1）③④；（2）是，理由见解析；（3）AD+BC＝AB+CD，理由见解析；（4）273

【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③

菱形，④正方形，

∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形，

故答案为：③④；

（2）四边形ABCD是垂美四边形，

理由如下：如图2，∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，

证明如下：如图①，∵AC⊥BD，

第10页共33页.

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（4）如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

∴CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200，

∴GE2＝128+200﹣36＝292，

则GE＝273．

8．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由；

（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝3，AB＝2，求GE的长．

第11页共33页.

2222

【答案】（1）四边形ABCD是垂直四边形，理由见解析；（2）AB+CD＝AD+BC，见解析；（3）13

【详解】解：（1）如图2，四边形ABCD是垂直四边形；

理由如下：

连接AC、BD交于点E，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，

证明：如图1，在四边形ABCD中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

（3）如图3，连接CG，BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

第12页共33页.

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SSS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，

∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2

∵AC3，AB＝2，

∴BC＝1，CG6，BE22，

∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，

∴EG13．

三、证明题

9．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说

明理由．

（2）性质探究：试探究垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，写出证明过程

（先画出图形）

（3）问题解决：如图，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE已知AC4，AB5，求GE的长．

第13页共33页.

【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析；（3）GE73

【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．

证明：连接AC、BD交于点E，

∵ABAD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CBCD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．

如图2，已知四边形ABCD中，ACBD，垂足为E，

求证：AD2BC2AB2CD2

证明：∵ACBD，

∴AEDAEBBECCED90，

由勾股定理得，AD2BC2AE2DE2BE2CE2，

AB2CD2AE2BE2CE2DE2，

∴AD2BC2AB2CD2；

（3）连接CG、BE，

第14页共33页.

∵CAGBAE90，

∴CAGBACBAEBAC，即GABCAE，

∵AGAC，ABAE

∴△GAB△CAE，

∴ABGAEC，又AECAME90，

∴ABGAME90，即CEBG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2BE2CB2GE2，

∵AC4，AB5，

∴BC3，CG42，BE52

∴GE2CG2BE2CB273，

∴GE73

10．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就

是四边形ABCD的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等；（3）73

【详解】（1）四边形ABCD是垂美四边形.

理由：如图，连接AC，BD，

∵AB=AD，

第15页共33页.

∴点A在线段BD的垂直平分线上,

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等，

如图，

已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：∵AC⊥BD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90º，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）如图，连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90º，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90º，

∴∠ABG+∠AME=90º，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

第16页共33页.

∴BC=3,CG=42,BE=52，

∴GE2=CG2+BE2–CB2=73，

∴GE=73.

11．小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边

形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．

(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：______．

(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC8，AB10．

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②直接写出四边形BCGE的面积．

1

【答案】(1)菱形、正方形；(2)SACBD；(3)①见解析；②130

2

【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，

∴菱形和正方形一定是垂美四边形；

故答案为：菱形、正方形；

（2）如图1所示：

∵四边形ABCD的面积=ABC的面积+△ADC的面积

111

ACBOACDOACBODO

222

1

=ACBD；

2

1

故答案为：ACBD；

2

（3）①证明：连接CG、BE，BG交CE于N，BA交CE于M，如图2所示：

第17页共33页.

∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

∴FCAGBAE90，FGAGACCF，ABAE，

∴CAGBACBAEBAC，

即GABCAE，

在△GAB和VCAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB△CAE，

ABAE

∴BGCE，ABGAEC，

又∵AECAME90，AMEBMN，

∴ABGBMN90，

∴BNM90，

∴四边形BCGE为垂美四边形；

②∵FGCFAC8，ACB90，AB10，

∴BCAB2AC26,

∴BFBCCF14，

在Rt△BFG中，BGBF2FG214282265,

∴CEBG265，

1

∵四边形BCGE为垂美四边形，∴四边形BCGE的面积BG•CE130

2

12．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平

行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”．

概念理解：

第18页共33页.

（1）如图2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四边形”，AB6，CD8，求AD的长．

性质探究：

（2）如图3，已知四边形ABCD是“垂美四边形”，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量

关系，并写出证明过程．

问题解决：

（3）如图4，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG与正方形ABDE，连接CE，

BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC3，AB5，求OGE的中线OH的长．

【答案】（1）AD52；（2）AB2CD2BC2AD2，理由见解析；（3）13．

【详解】解：（1）由题意知，ACBD，

∴AOB和△COD都是等腰直角三角形，

22

∴OAAB32，ODCD42．

22

22

∴AD=(32)+(42)=52．

（2）由题意可知，AB2OB2OA2，CD2OC2OD2，

∴AB2CD2OA2OB2OC2OD2，①

AD2OA2OD2，BC2OB2OC2，

∴AD2BC2OA2OB2OC2OD2，②

∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是AB2CD2BC2AD2

（3）连接BE，CG．

∵CAECABBAEBACCAGGAB，

ACAG，ABAE，

∴△ABG≌△AEC．

∴ABG可视为△AEC绕点A逆时针旋转90后得到的．

由旋转的性质知，BGCE．

∴四边形BCGE为“垂美四边形”．

∴由（2）知，CG2BE2BC2EG2．

又AC3，AB5，

第19页共33页.

∴BC4，CG32，BE52．

22

∴(32)+(52)=42+GE2，

∴GE252，

∴GE213

又OGE为直角三角形，OH为其斜边上的中线，

1

∴OHGE13

2

13．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）

（1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是；

（2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关

系_________________________；

（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．

2222

【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD+BC＝AB+CD；（3）73

【详解】解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方

形，

∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形；

（2）如图1，∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2，

第20页共33页.

（3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAESAS，

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝42，BE＝52，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，

∴GE＝73．

14．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是.

(2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC，AD之间的数量关系，写出证明

过程．

(3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连接CE,BG,GE,已知AC=3,BC=1求GE的长.

【答案】菱形、正方形

第21页共33页.

【详解】（1）菱形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义，

正方形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义，

而平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，不符合垂美四边形的定义，

故答案为菱形、正方形；

（2）猜想结论：AD2+BC2=AB2+CD2，证明如下：

如图2，连接AC、BD，交点为E，则有AC⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）连接CG、BE，设AB与CE的交点为M

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

又∵AG=AC,AB=AE，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，

∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=3,BC=1∴AB=2,

∴BE28,CG26,

∴681GE2,∴GE13,GE的长是13.

第22页共33页.

15．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：

垂美四边形的两组对边的平方和相等．

已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E．

求证：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：∵四边形ABCD是垂美四边形

∴AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

拓展探究：

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角

形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理

由；

问题解决：

如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，

已知AC=4，AB=5．求GE长．

【答案】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FMAN是矩形，理由详见

解析；问题解决：73.

【详解】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，

理由如下：

第23页共33页.

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．

（2）四边形FMAN是矩形，

理由：如图3，连接AF，

∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，

∴AD=DB、AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四边形AMFN是矩形；

问题解决：

连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

∴CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=42，BE=52，

第24页共33页.

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=73.

16．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理

由．

性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，

并给出证明．

问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结

CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；

②GE=．

2222

【答案】（1）是；（2）AB+CD=BC+AD；（3）①证明见解析；②37．

【详解】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：

∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD

是垂美四边形；

性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：

如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E．

∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；

问题解决：①连接CG、BE，如图3所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．

在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；

②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．

又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：

CG2+BE2=CB2+GE2．

2222

∵AC=2，AB=5，∴BC=21，CG=22，BE=52，∴GE=CG+BE﹣CB=37，∴GE=37．

故答案为37．

第25页共33页.

17．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，

GE．

①求证：四边形BCGE是垂美四边形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②GE＝73

【详解】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

AGAC

在△GAB和△CAE中，GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

第26页共33页.

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，

∴四边形BCGE是垂美四边形；

②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，

∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝AB2AC2＝5242＝3，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴CG＝2AC＝42，BE＝2AB＝52，

2222222

∴GE＝CG+BE﹣CB＝（42）+（52）﹣3＝73，

∴GE＝73．

18．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形ABCD中对角线ACBD于点O．所

以四边形ABCD是垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，若ABAD，CBCD，试判断四边形ABCD是垂美四边形

吗？请说明理由；

（2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形ABCD的两组对边满足：AB2CD2AD2BC2；请你证

明这个结论．

（3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以RtACB的直角边AC和

斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC4，AB5，求GE的长．

【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，见解析；（2）见解析；（3）73

第27页共33页.

【详解】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形.

理由如下：

∵ABAD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CBCD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线上，

∴ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形

（2）如图1，∵ACBD，∴AODAOBBOCCOD90，

由勾股定理得，在RtAOB中AOB90，AB2AO2BO2

在RtDOC中DOC90，CD2DO2CO2

∴AB2CD2AO2BO2DO2CO2AD2BC2

∴AD2BC2AB2CD2

（3）连接CG、BE

∵CAGBAE90，∴CAGBACBAEBAC，

即GABCAE，

AGAC

在GAB和CAE中，GABCAE，

ABAE

∴GAB≌CAESAS，

∴ABGAEC，

又AECAME90，

∴ABGAME90，

即CEBG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得，CG2BE2CB2GE2，

∵AC4，AB5，∴BC3，CG42，BE52，

∴GE2CG2BE2CB273，

∴GE73.

四、作图题

19．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．

第28页共33页.

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是．

（2）如图1，在3×3方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使AC，

BD是对角线，点D在格点上．

（3）如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求证：

四边形DEFG是垂等四边形．

（4）如图3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC为边在AC的右上方作等腰三角形，使

四边形ABCD是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积．

【答案】（1）正方形，矩形；（2）见解析；（3）见解析；（4）215．

【详解】解：（1）正方形，矩形是垂等四边形．

故答案为正方形，矩形．

（2）如图1中，四边形ABCD即为所求．

（3）在正方形ABCD中，

∵AF＝CG，AB＝BC，

∴FB＝BG，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，

∴∠EFG＝90°，

∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，

∴△ADF≌△CDG（SAS），

∴DF＝DG，

∵AD∥CB，

∴∠EDG＝∠DGC，

∵∠DGC＝∠DEG，

∴∠GDE＝∠GED，

∴DG＝EG，

第