《常微分方程》课件第2章

第2章初等积分法2.1变量分离的方程2.2恰当方程2.3一阶线性方程2.4初等变换法2.5积分因子法2.6应用举例

2.1变量分离的方程

1.变量（可）分离的方程

形如的方程称为变量（可）分离的方程.这种方程的特点是：右端是只含x的函数和只含y的函数的乘积.

假设：h(x)在区间a<x<b上连续，g(y)在区间c<y<d上连续，且g(y)≠0.

用dx乘而用g(y)除式(2.1)两端，得(2.2)这叫做分离变量.如果y作为x的函数是方程(2.1)的解，则式(2.2)两端是彼此恒等的.对上述微分方程的两端同时积分就得到y所满足的隐函数方程:(2.3)或(2.4)(2.5)其中,G-1表示G的反函数.

式(2.4)或式(2.5)便是方程(2.1)含任意常数C的解的表达式.设(x0,y0)是域内的任意一点.为了求方程(2.1)所满足的初值条件y(x0)=y0的解，可按以确定常数C，即代入式(2.5)便得(2.6)这就说明，对域R内任意点(x0,y0)，均能选取表达式(2.5)中的任意常数C，使得对应的解满足初值条件y(x0)=y0.可见表达式(2.5)是方程(2.1)的通解，从而表达式(2.4)或(2.3)是方程(2.1)的隐式通解.例2.1

一质量为m的质点，以初速v0垂直上抛，且空气的阻力与质点运动速度的平方成正比(比例系数为k>0)，求该质点从抛出至达到最高点的时间.

解设质点在t时刻的速度为v，v(0)=v0，且有解得因为v(0)=v0，所以解出c=arctanav0.质点达到最高点，即v=0，亦即解得

例2.2

解方程(2.7)解对式(2.7)分离变量，得对上式两端积分后便得隐式通解：为得出显式通解可从上式解出y

：(2.8)其中,常数C1=sinC.容易看出，y=±1也是方程(2.7)的解，但它们不包含在通解式(2.8)中.注意，这是由于y=±1时式(2.7)的分子等于零的缘故.

在前面说明的表达式(2.5)是方程(2.1)的通解的推理中，其实同时指出了在g(y)≠0(c<y<d)的条件下，方程(2.1)的初值问题的解恒存在而且唯一，即对于域R:a<x<b,c<y<d内任意点(x0,y0)，方程(2.1)恒有解满足初值条件y(x0)=y0，并且也只有一解满足该条件.

现在来分析方程(2.1)的积分曲线，即解在(x,y)平面上的图像的分布情况.如果g(y)≠0(c<y<d)，则由于初值问题的解存在而且唯一，经过域R内每一点都恰有方程(2.1)的一条积分曲线，积分曲线在R内彼此不相交.这时，积分曲线的分布情况很简单.但是，如果g(y)为c<y<d上的某些点，比如g(y)=g(y1)=0，在这种情况下，方程(2.1)经过直线y=y1上的点的积分曲线就很可能不止一条

作为例子，我们来考察h(x)≡1的方程(2.1)，即方程(2.9)为简单计，假设g(y)只在y=y1处等于零.

首先，经过域和域内任一点(x0,y0)恰有方程(2.9)的一条积分曲线，它由下式确定：(2.10)这些积分曲线彼此不相交.其次，域R1(R2)内的所有积分曲线都可由其中一条，比如经坐标变换η=y,ξ=x-C-C0，即沿着x轴的方向平移而得到.因此我们只需详细考察经过R1或R2内某点(x0,y0)的一条积分曲线，它由式(2.10)确定.

设(x0,y0)∈R1，即c<y0<y1.只有下列两种情形：图2.1图2.2图2.3

例2.3

解方程解该方程是变量(可)分离方程.当y≠0时，分离变量得两边积分，得隐式通解:其中,C1是任意实数.上式可以改写为其中,C2=±eC1.注意到y=0也是原方程的解，因此方程通解最终可表示为其中,C是可取正、负和零的任意实数.

2.可化为变量分离方程的某些方程

有些微分方程看上去并不是变量（可）分离的，但是通过一次或一次以上的变量变换就可化为变量分离的方程.下面将介绍一些典型的这类方程.读者应该从中学习利用变量变换解微分方程的技巧.

1)齐次方程

方程(2.11)称为齐次方程，如果右端函数f(x,y)是x,y的零次齐次函数，即(2.12)在恒等式(2.12)中令，则得(2.13)为了解方程(2.13)，自然想到作变换 ，即y=ux.于是，将其代入方程(2.13)便得到u所适合的方程：亦即这就是一个变量分离的方程.若g(u)-u≠0,即，则用分离变量法可求出它的（隐式）通解：或(2.15)例2.4

解方程(2.16)解令y=ux，代入方程(2.16)得分离变量，得对应于u=0(x≠0)得到的函数y=0(x≠0)也是方程(2.16)的解.例2.5

解方程解该方程可以改写为(2.17)分离变量，得两边积分，得即(2.18)其中,C1和C2都是任意常数，C2≠0.注意到(2.19)将式(2.18)和式(2.19)相加除以2，并记C=C2，得

2)可化为齐次方程的方程

如下形式的方程可化为齐次方程：(2.20)

第一种情形:行列式引进新的变量ξ,η：其中，α、β是待定常数，代入方程(2.20)，得(2.21)为使方程(2.21)是齐次的，自然应选α、β使因为Δ≠0，所以这样的α、β可以找到.于是方程(2.21)变成这便是一个齐次方程.

第二种情况:Δ=0,亦即这时方程(2.20)的形式变为(2.22)作未知函数的变换则由方程(2.22)得这显然是变量分离的方程.例2.6

解方程(2.23)解令x=ξ+α,y=η+β,得由得出α=-3,β=-1.即方程(2.23)可化成这是齐次方程，解之得化回原来的变量x、y，便得到方程(2.23)的（隐式）通解:例2.7

人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比.

(1)如果过4小时细菌数即为原来的2倍，那么经过12小时应有多少？

(2)如果在3小时的时候有细菌104个，在5小时的时候有细菌4×104个，那么在开始时细菌有多少个？

解设时刻t单位体积的细菌数为x(t)，增长速度为，则由题意得x(t)满足的方程为(k为一正的常数)所以x(t)的方程为(C为常数)再设初始时刻即t=0时，细菌数为x0，则

(1)由题意知：所以e4k=2，经过12小时后，x=x0e12k=8x0，即经过12小时，细菌数为原来的8倍.(2)由题意知:解得x0=1.25×103(个/单位体积).(3)当时，求.时，求.f(x).

解(1)由题意知：两边微分，得(2)z的微分方程为(3)解关于的微分方程得：即得由初值条件得

下面举几个通过建立数学模型来解决实际问题的例子.

随着科学技术的发展，越来越多的人认识到了“高新技术离不开数学学科的支持”这一精辟的观点。近半个世纪以来，数学与电子计算机技术相结合，在解决自然科学、工程技术乃至社会科学等各个领域的实际问题中大显身手，取得了令人瞩目的成绩.

要用数学技术去解决实际问题，首先必须将所考虑的现实问题通过“去芜存菁，去伪存真”的深入分析和研究，用数学工具将它归结为一个相应的数学问题，这个过程称为数学建模，所得到的数学问题称为数学模型.

数学建模可以使用多种数学方法，甚至对同一现实问题可以建立不同形式的数学模型，而其中最重要、最常用的数学工具是微分.作为数学建模过程的示例，这里我们利用已学过的微分知识，来导出一些简单的微分方程数学模型，为读者今后系统地学习数学模型奠定基础.例2.9(Malthus人口模型）最简单的人口增长模型是：记今年人口为x0,k年后人口为xk，年增长率为r，则(2.24)显然，这个公式的基本条件是年增长率r保持不变.

200多年前英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766-1834)调查了英国100多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型.

记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个地区的人口时，x(t)是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数.记初始时刻(t=0)的人口为x0.假设人口增长率为常数r，即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t).考虑t到t+Δt时间内人口的增量，显然有令Δt→0，得到x(t)满足微分方程:(2.25)由这个方程很容易解出(2.26)当r>0时,式(2.26)表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.我们常用的预报公式(2.24)就是指数增长模型式(2.26)的离散近似形式.

但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述，也不能预测较长时期的人口演变过程，人口增长到一定数量后增长率会下降.人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大.所谓阻滞增长模型,就是考虑到这个因素后对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的.

阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降.若将r表示为x的函数，则它应是减函数.于是方程(2.25)可写作(2.27)对r(x)的一个最简单的假设是，设r(x)为x的线性函数，即(2.28)(2.29)式(2.29)的另一种解释是，增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm-x)/xm成正比，比例系数为固有增长率r.

将式(2.29)代入方程(2.27)得(2.30) 2.2恰当方程

考虑对称形式的一阶微分方程：如果存在一个可微函数Φ(x,y)，使得它的全微分为亦即它的偏导数为(2.31)(2.32)则称方程(2.31)为恰当方程或全微分方程.因此，当方程(2.31)为恰当方程时，可将它改写为全微分的形式:从而(2.33)就是方程(2.31)的一个通积分.

事实上，将任意常数C取定后，利用逆推法容易验证：由式(2.33)所确定的隐函数y=u(x)（或x=v(y)）就是方程(2.31)的一个解.反之，若y=u(x)（或x=v(y)）是微分方程(2.31)的一个解，则有例2.10

求解微分方程

观察这个微分方程，我们看到它的左端恰好是函数Φ=x2y3的全微分dΦ因此，上述方程可以写成d(x2y3)=0,从而它的通积分为

上面利用观察法求解微分方程只是一个简单的特例.在一般情况下，我们需要解决的问题是：

(1)如何判断一个给定的微分方程是或不是恰当方程？

(2)当它是恰当方程时，如何求出相应全微分的原函数？

(3)当它不是恰当方程时，能否将它的求解问题转化为一个与之相关的恰当方程的求解问题？

定理2.1

设函数P(x,y)和Q（x,y)在区域上连续，且有连续的一阶偏导数 与，则微分方程(2.31)是恰当方程的充要条件为恒等式(2.34)在R内成立.而且当式(2.34)成立时，方程(2.31)的通积分为(2.35)或者(2.36)其中,(x0,y0)是R中任意取定的一点.

证明先证必要性.设方程(2.31)是恰当的，则存在函数Φ(x,y)，满足(2.37)然后，我们在上面的第一式和第二式中，分别对y和x求偏导数，就可得到(2.38)(2.39)其中函数ψ(y)待定，以使函数Φ(x,y)适合式(2.37)中的第二式.因此，由式(2.39)得到再利用条件式(2.34)得到由此可见，为了使式(2.37)中的第二式成立，只要令ψ′(y)=Q(x0,y),亦即只要取即可.这样，就找到了满足式(2.37)的一个函数：(2.40)

如果在构造时，先考虑使(2.37)的第二式成立，则可用同样的方法，得到满足(2.37)的另一函数(2.41)例2.11

求解微分方程(2.42)解因为所以方程(2.42)是恰当方程.因此，可以利用公式(2.35)或(2.36)直接求得通积分.但是为了进行基本训练，我们仍采用定理在充分性证明中的方法计算通积分.令函数Φ(x,y)满足则对x积分第一式，得到再将它代入上面第二式，即得(2.43)为方程(2.42)的通积分，其中C为任意常数.注2.1

对于某些恰当方程，可以采用更简便的分组凑全微分的方法求解.例如，对于方程(2.42)的左端，可用如下分组求积分的方法：由此可直接得到通积分式(2.43).注2.2

求解恰当方程的关键是构造相应全微分的原函数Φ(x,y).这实际上就是场论中的位势问题.在单连通区域R上，条件式(2.34)保证了曲线积分(2.44)与积分的路径无关.因此，式(2.44)确定了一个单值函数Φ(x,y).注意，公式(2.40)与公式(2.41)所取的积分路径仅仅是便于计算的两种特殊的路径.如果区域不是单连通的，那么一般而言Φ(x,y)也许是多值的.例如，对于方程容易验证条件(2.34)在非单连通的环域R0:0<x2+y2<1上成立.根据我们得到例2.12

流言蜚语(或小道消息)传播问题.假设某地区的人口总数为N，在短期内不变，x(t)表示知道某消息的人数所占的百分比，初始时刻的百分比为x0<1，传播率为h，则可以建立数学模型为求解得于是有此式表明随着时间的增长，消息慢慢地会淡化，逐步被人遗忘，这是符合实际情况的。 2.3一阶线性方程

本节讨论一阶线性方程:(2.45)其中函数p(x)和q(x)在区间I=(a,b)上连续.当q(x)≡0时，方程(2.45)成为(2.46)当q(x)不恒等于零时，称方程(2.45)为非齐次线性方程,而称方程(2.46)为（相应的）齐次线性方程.

我们首先讨论齐次线性方程(2.46)的解法.为此，将方程(2.46)改写为对称形式：这是一个变量分离的方程.当y≠0时，将方程两侧同除以y，得到由此积分后，我们得到方程(2.46)的解:(2.47)因为在上面的解法中假定了y≠0，所以这里的任意常数C≠0.然而，当C=0时，式(2.47)对应于方程(2.46)的特解y=0.因此，当C是任意常数（包括C=0）时，式(2.47)表示齐次线性方程(2.46)的通解.

现在要求解非齐次线性方程(2.45).我们可把它改写为如下的对称形式：(2.48)它是全微分的形式:由此可直接积分，得到通积分:这样，就求出了方程(2.48)的通解:(2.49)其中，C是一个任意常数.上述方法叫做积分因子法.这是因为我们用因子μ(x)乘微分方程(2.48)的两侧后，它就转化为一个全微分方程，从而获得它的积分.

例2.13

一容器内盛盐水100L，含盐50g.现以浓度为c1=2g/L的盐水注入容器内，其流量为Φ1=3L/min.设注入的盐水与原有盐水被搅拌而迅速成为均匀的混合液，同时，此混合液又以流量为Φ2=2L/min流出.试求容器内的含盐量与时间t的函数关系.

解设在时刻t时容器内含盐量为x克.在时刻t，容器内盐水体积为

100+(3-2)t=100+t

(L)

故流出的混合液在时刻t的浓度为

下面我们用定积分中的元素法来建立微分方程.在t到t+dt这段时间内，或将 代入上式，即得或(2.50)初始条件为(2.51)

方程(2.50)是一阶非齐次线性微分方程.在该方程中，故所以有以条件式(2.51)代入，得C=-1.5×106，于是所求函数关系为例2.14

求解微分方程解我们可以直接用公式(2.49)求得通解.但应用积分因子法比记忆一个公式更具有灵活性，在这里积分因子是然后用它乘方程两侧，推出:再由积分可得通解:其中，C为任意常数.

为确定起见，通常把通解式(2.49)中的不定积分写成变上限的定积分，即或(2.52)利用这种形式，容易得到初值问题(2.53)的解为(2.54)其中,p(x)和q(x)在区间I上连续.

性质1

齐次线性方程(2.46)的解或者恒等于零，或者恒不等于零.

易知y=φ(x)≡0为齐次方程(2.46)的一个解；再利用习题2.3中第5题的结果可知，任何其他的解与y=φ(x)没有公共点.故性质1成立.

性质2

线性方程的解是整体存在的，即方程(2.45)或(2.46)的任一解都在p(x)和q(x)有定义且在连续的整个区间I上存在.

性质3齐次线性方程(2.46)的任何解的线性组合仍是它的解，齐次线性方程(2.46)的任一解与非齐次线性方程(2.45)的任一解之和是非齐次线性方程(2.45)的解；非齐次线性方程(2.45)的任意两解之差必是相应齐次线性方程(2.46)的解.

性质4

非齐次线性方程(2.45)的任一解与相应齐次线性方程(2.46)的通解之和构成非齐次线性方程(2.45)的通解.

性质5线性方程的初值问题(2.53)的解存在且唯一.

性质5的存在性部分是显然的，因为公式(2.54)就提供了一个解.现在来证明解的唯一性.假设初值问题式(2.53)有两个解y=φ1(x)和y=φ2(x)，则由性质3知是相应齐次线性方程(2.46)的一个解；另一方面，φ1(x)和φ2(x)满足同一个初值条件，即有ψ(x0)=φ1(x0)-φ2(x0)=0.再由性质1可知ψ(x)≡0，即当x∈I时，φ1(x)≡φ2(x).例2.15

设微分方程(2.55)其中a>0为常数，而f(x)是以2π为周期的连续函数.试求方程(2.55)的2π周期解.

解利用式(2.54)，容易写出方程(2.55)的通解为(2.56)现在选择常数C，使y(x)成为2π周期函数，即(2.57)成立.我们先来证明，要使式(2.57)对所有x成立，其实只需对某一特定的x（例如x=0）成立，即只要求(2.58)事实上，因为y(x)是方程(2.55)的解，而且f(x+2π)≡f(x)，所以y(x+2π)也是方程(2.55)的解.令 ，则y=u(x)是相应齐次方程的解.如果式(2.58)成立，则u(x)满足初值条件u(0)=0.因此，由性质1可知u(x)≡0,从而式(2.57)成立.现将公式(2.56)代入(2.58)，得到把它代回式(2.56)，就得到所求的2π周期解y=y(x)；再利用f(x)的2π周期性，就可以把它简化为(2.59)例2.16

RL串联电路如图2.4所示，电感L、电阻R及电源电压E均为正的常数.求电键闭合后电路中的电流强度i=i(t).

解事实上，利用电学中的基尔霍夫定律就可得到微分方程：(2.60)这是一阶线性方程，它显然有特解i=E/R.而相应齐次线性方程的通解为，其中C为任意常数.因此，利用上述线性方程的性质4，可知方程(2.60)的通解为由此可以确定初值条件i(0)=0的解为它的图形见图2.5.图2.4图2.5例2.17

解方程其中,f(x)、f′(x)为已知的连续函数.

解这是线性方程，先求齐次方程的通解.分离变量，得两边积分得设原方程通解为代入原方程，得两边积分得于是，所求方程的通解为例2.18

设y(x)是x的一个连续可微函数，且满足求y(x).

解等式两边关于x求导两次得故例2.19(室内温度的摆动)

下面我们研究线性微分方程解的一个有趣问题，即受室外温度(2.61)的影响，室内温度摆动的问题.如果ω＝π/12，那么温度的摆动为24h一个周期.例如在雅典,正常情况下，7月份上午4:00时温度最低70，下午4:00时温度最高90.根据三角公式有（2.62）所以式(2.60)中的如果把在时刻t的室内温度u(t)写成牛顿冷却定律 （其中T表示物体温度，A表示周围介质的温度，k为正常数）形式，用式(2.61)给出的室外温度A(t)代表周围（介质）不变温度A，那么得到一阶线性微分方程,即(2.63)常数k的取值范围为0.2~0.5（开窗户时会导致k可能比0.5大一些，或窗户封闭得好会导致k可能比0.2小一些）.

假设有一天晚上（在时刻t0=0时），某人的空调坏了，而且该人可能在月末发薪水时才能修理.因此我们要研究以后几天室内温度的变化情况.

首先，求解具有初始条件u(0)=u0（空调坏了时室内的温度）的方程（2.63）.可能需要用到积分公式.可以得到解（2.64）其中若取可得近似解(2.65)

注意到，当t→+∞时，式（2.65）中的衰减指数项趋于零，所以保留“稳定周期”解（2.66）从而室内温度每24h围绕室外平均温度摆动.

2.4初等变换法

例2.20

对于形如的方程，如果引进变换u=x+y，其中u为新的未知函数，则方程立即化为它是一个变量分离的方程，因此不难求得通解.例2.21

对于微分方程如果引进变换v=y2，则方程变为它是一个对v的一阶线性微分方程，它的解法在2.3节中讨论过.

下面介绍几个标准类型的微分方程，它们可以通过适当的初等变换化为变量分离的方程或一阶线性方程.

1.齐次方程

如果微分方程(2.67)中的函数P(x,y)和Q(x,y)都是x和y的同次（例如m次）齐次函数，即(2.68)则称方程(2.67)为齐次方程（注意这与2.3节中定义的齐次线性方程是不同的）.

对于齐次方程(2.67)，标准的变量替换是(2.69)其中:u为新的未知函数;x为自变量.注意，从关系式(2.68)易知(2.70)因此，把变换(2.69)代入方程(2.67)，就得(2.71)这是一个变量分离的方程.注2.3

易知方程(2.67)为齐次方程的一个等价定义式，它可以化为如下的形式：注2.4

容易看出，x=0是方程(2.71)的一个特解.但它未必是原方程(2.67)的解.出现这种情况的原因在于，当x=0时，变换(2.69)不是可逆的.例2.22

求解微分方程解这是一个齐次方程.因此，令y=ux，得到亦即积分此式，可得（C为任意常数，且C>0）.从而将代入上式，可得通积分:如果采用极坐标x=rcosθ与y=rsinθ，则得简单的形式:它是以原点O为焦点的螺线族（焦点的定义以后介绍）.例2.23

讨论形如的方程的求解法，这里设a、b、c、m、n和l为常数.

解当c=l=0时，它是齐次方程.因此可用变换求解.当c和l不全为零时，可分如下两种情形讨论：(1)Δ=an-bm≠0.此时可选常数和，使得然后取自变量和未知函数的（平移）变换：则原方程就化为ξ与η的方程:这已是齐次方程.因此令 ，即可把它化为变量分离的方程.

(2)Δ=an-bm=0.

此时有因此，原方程化为再令v=ax+by为新的未知函数，x为自变量，则上述方程可化为它是一个变量分离的方程.

2.伯努利方程

形如(2.72)的方程称为伯努利方程，其中n为常数，而且n≠0和1.给方程两边同乘以(1-n)y-n，即得然后令z=y1-n，就有这是关于未知函数z的一阶线性方程.例2.24

设可微函数f(x)满足方程：求f(x).

解对方程两边求导得此为伯努利方程，解得由f(1)=1，得C=1.则f(x)为

3.里卡蒂方程

假如一阶微分方程的右端函数f(x,y)是一个关于y的二次多项式，则称此方程为二次方程；它可写成如下形式：(2.73)其中,函数p(x)、q(x)和r(x)在区间I上连续，而且p(x)不恒等于零.方程(2.73)通常又叫做里卡蒂（Riccati，1676-1754）方程.这是形式上最简单的非线性方程.但是，一般而言，它已不能用初等积分法求解.在下述两个定理的证明中，请读者体会初等变换的技巧.定理2.2

设已知里卡蒂方程(2.73)的一个特解y=φ1(x)，则可用积分法求得它的通解.

证明对方程(2.73)作变换y=u+φ1(x)，其中u是新的未知函数.代入方程(2.73)，得到由于y=φ1(x)是方程(2.73)的解，从上式消去相关项后，就有这是一个伯努利方程.因此，由前面对方程(2.72)的讨论可知，此方程可以用积分法求出通解.定理2.3

设里卡蒂方程(2.74)其中,a≠0,b、m是常数.又设x≠0和y≠0.则当(2.75)时，方程(2.74)可通过适当的变换化为变量分离的方程.

证明不妨设a=1（否则作自变量变换 即可）,将其代入方程(2.74)即得(2.76)当m=0时，式(2.76)是一个变量分离的方程，即当m=-2时，作变换z=xy，其中z是新未知函数.然后代入方程(2.76)，得到这也是一个变量分离的方程.当 时，作变换其中,ξ和η分别为新的未知函数，则方程(2.76)变为(2.77)其中 .再作变换其中t和z分别是新的自变量和未知函数，则方程(2.77)变为(2.78)其中， .

方程(2.78)与方程(2.76)在形式上一样，只是右端自变量的指数从m变为l.比较m与l对k的依赖关系不难看出，只要将上述变换的过程重复k次，就能把方程(2.76)化为m=0的情形.

当 时，微分方程(2.74)就是方程(2.77)的类型，因此可以把它化为微分方程(2.78)的形式，从而可以化归到m=0的情形.至此定理证完.

注2.5

定理2.3是由JohannBernoulli之子DanielBernoulli(1700-1784)在1725年得到的.这个定理指出，对于里卡蒂方程(2.74)能用初等积分法求解，条件式(2.75)是充分的.实际上，时隔一百多年之后刘维尔在1841年进而证明了条件式(2.75)还是一个必要条件.有兴趣的读者可以参阅参考文献［2］.刘维尔的这一工作，在微分方程的发展史上具有重要意义.在此之前，人们把主要注意力放在微分方程的（初等积分）求解上，而刘维尔的研究结果说明，即使形式上很简单的里卡蒂方程（例如y′=x2+y2），一般也不能用初等积分法求解.这就迫使人们另辟新径，例如：从理论上研究一般微分方程初值问题的解是否存在，是否唯一？怎样从微分方程本身的特点去推断其解的属性（周期性、有界性、稳定性等）？在什么条件下微分方程的解可以用收敛的幂级数表示?怎样求出微分方程的近似解？等等.这就促使微分方程的研究进入一个新的发展时期.在随后的章节中将或多或少地涉及上述的一些论题.注2.6

里卡蒂方程在历史上和近代都有重要应用.例如，它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数，另外它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.

例2.25

解方程解这是里卡蒂方程，观察出 是它的一个解.于是作变换代入原方程，得到这是伯努利方程，再作变换代入方程，即得解此线性方程得化简得带回原变量，得原方程的解为及例2.26

经济增长模型.发展经济、提高生产力主要有以下手段：增加投资、增加劳动力、技术革新。这里暂不考虑技术革新的作用，一是因为在经济发展的初期(如资本主义早期社会)或者在不太长的时期内，技术相对稳定，二是由于技术革新量化比较困难。

1)道格拉斯(Douglas)生产函数

用Q(t)、K(t)、L(t)分别表示某一地区或部门在时刻t的产量、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作Q(t)=F［K(t),L(t)］(2.79)其中,F为待定函数.对于固定的时刻t，上述关系可写作Q=F(K,L)(2.80)为寻求F的函数形式，引入记号(2.81)z是每个劳动力的产值，y是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z随着y的增加而增加，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为(2.82)显然函数g(y)满足上面的假设，常数c>0可看做技术的作用.由式(2.81)和(2.82)即可得到式(2.80)中F的具体形式为(2.83)由式(2.83)容易知道Q有如下性质:(2.84)请读者解释式(2.84)的含义.记表示单位资金创造的产值；表示单位劳动力创造的产值，则从(2.83)式可得(2.85)(2.85)式可解释为：是资金在产值中占有的份额，是劳动力在产值中占有的份额.于是的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.

(2.83)式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，它经受了资本主义社会一些实际数据的检验.更一般形式的生产函数表为(2.86)

2)资金与劳动力的最佳分配

这里将根据生产函数式(2.83)讨论，怎样分配资金和劳动力，使生产创造的效益最大.

假设资金来自贷款，利率为γ，每个劳动力需付工资ω，于是当资金K、劳动力L产生产值Q时，得到的效益为(2.87)问题化为求资金与劳动力的分配比例K/L(即每个劳动力占有的资金)，使效益S最大.

这个模型用微分法即可解得(2.88)再利用式(2.85)，有(2.89)这就是资金与劳动力的最佳分配.从式(2.89)可以看出，当α、ω变大,γ变小时，分配比例K/L变大，这是符合常识的.

3)劳动生产率增长的条件

常用的衡量经济增长的指标包括总产值Q(t)和每个劳动力的产值 .这个模型讨论K(t)、L(t)满足什么条件才能使Q（t)、z(t)保持增长.

首先需要对资金和劳动力的增加作出合理的简化假设：

(1)投资增长率与产值成正比，比例系数λ>0，即用一定比例扩大再生产；

(2)劳动力的相对增长率为常数μ,μ可以是负数，表示劳动力减少.这两个条件的数学表达式分别为(2.90)(2.91)方程(2.91)的解为(2.92)将式(2.82)和式(2.83)代入式(2.90)得(2.93)注意到式(2.81)，有K=Ly，再用式(2.91)可得(2.94)比较式(2.93)和式(2.94)得到关于y(t)的方程:(2.95)这是著名的Bernoulli方程，它的解(2.96)

以下根据式(2.96)研究Q(t)、z(t)保持增长的条件.

(1)Q(t)增长，即 ，由Q=cLyα及式(2.91)和式(2.95)可算得(2.97)将式(2.96)代入，可知条件等价于(2.98)因为上式右端大于1，所以当μ≥0(即劳动力不减少)时,式(2.98)恒成立；而当μ<0时，式(2.98)成立的条件是(2.99)说明如果劳动力减少，Q(t)只能在有限时间内保持增长.但应注意，若式(2.99)中的 ，则不存在这样的增长时段.

(2)z(t)增长，即，由z=cyα知 .由方程(2.95)知，当μ≤0时，该条件恒成立；而当μ>0时,由式(2.96)可得 等价于(2.100)显然，此式成立的条件为,即(2.101)这个条件的含义是，劳动力增长率小于初始投资增长率.

Douglas生产函数是计量经济学中重要的数学模型，本节给出它的一种简洁的建模过程.在此基础上讨论的资金和劳动力的最佳分配是一个静态模型.而利用微分方程研究的劳动生产率增长的条件是一个动态模型，虽然它的推导过程稍繁，但其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释. 2.5积分因子法

在2.2节中我们已看到，假若方程(2.102)是恰当方程 ，则它的通积分为

在2.1节～2.4节中，我们还讨论了当方程(2.102)不是恰当方程时，如何把它转化为一个恰当方程的求解问题.

例如，当方程(2.102)具有变量分离的形式当(2.102)是一个一阶线性方程，亦即时，用 乘方程两侧，就得到一个恰当方程:

现在我们尝试将这种方法一般化：对一般的方程(2.102)，设法寻找一个可微的非零函数μ=μ(x,y)，使得用它乘方程(2.102)后，所得方程(2.103)成为恰当方程，亦即(2.104)这时，函数μ=μ(x,y)叫做方程(2.102)的一个积分因子.

问题是:对于给定的方程(2.102)，它的积分因子是否一定存在？如果存在，它是否容易求得？

事实上，寻求积分因子μ(x,y)，就是求解偏微分方程(2.104)，或等价地，求解一阶偏微分方程:(2.105)其中P和Q为已知函数，而μ=μ(x,y)为未知函数.以后我们将会知道，虽然从理论上说偏微分方程(2.105)的解是存在的，但对它的求解，又要归结到对原来方程(2.102)的求解.因此，从方程(2.105)求出积分因子的表达式μ=μ(x,y)再去求解方程(2.102)一般是不可取的.然而，对某些特殊情形，利用方程(2.105)去寻求方程(2.102)的积分因子却是可行的.

例如，假设方程(2.102)有一个只与x有关的积分因子μ=μ(x)，则由充要条件式(2.105)推出或者(2.106)由于上式左端只与x有关，因此右端亦然.故微分方程(2.102)有一个只依赖于x的积分因子的必要条件是：表达式(2.107)只依赖于x，而与y无关.

反之，设表达式(2.107)只依赖于x，记为G(x).考虑到式(2.106)，令由此得到(2.108)容易验证它就是方程(2.102)的一个积分因子.现在把上面的讨论表述为如下定理.定理2.4

微分方程(2.102)有一个只依赖于x的积分因子的充要条件是：表达式(2.107)只依赖于x，而与y无关，而且若把表达式(2.107)记为G(x)，则式(2.108)是方程(2.102)的一个积分因子.

类似地，可以得到下面平行的结果：定理2.5

微分方程(2.102)有一个只依赖于y的积分因子的充要条件是：表达式例2.27

求解微分方程(2.109)解因为所以方程(2.109)不是恰当方程.容易看出，它既不是变量分离的方程和齐次方程，也不是一阶线性方程.然而，把上面得到的等式代入式(2.107)，就得到它仅依赖于x.因此，由定理2.4可得积分因子:然后，以μ(x)乘式(2.109)，得到一个恰当方程:由此可求得通积分为注意，还应补上应用积分因子时丢失的特解x=0.

现在我们从另一种观点——分组求积分因子，来看看上面的例子.将式(2.109)的左端分成两组：其中第二组显然有积分因子：和如果同时照顾到第一组的全微分形式，则乃是两组公共的积分因子，从而是方程(2.109)的积分因子.为了使这种分组求积分因子的方法一般化，我们需要下述定理（其证明留给读者）.定理2.6

若μ=μ(x,y)是方程(2.102)的一个积分因子，使得则μ(x,y)g(Φ(x,y))也是方程(2.102)的一个积分因子，其中g(·)是任一可微的（非零）函数.

以下就是对分组求积分因子的一般化说法.

假设方程(2.102)的左端可以分成两组，即其中第一组和第二组各有积分因子μ1和μ2，使得例2.28

求解微分方程解将方程左端分组为前一组有积分因子x-3和通积分xy=C；后一组有积分因子y-2和通积分x=C.我们要寻找可微函数g1和g2，使这只要取从而得到原方程的积分因子:然后以它乘方程(2.110)，得到全微分方程:积分此式，不难得到方程的通解为其中C为任意常数；外加特解x=0和y=0,它们实际上是在用积分因子 乘方程时丢失的解.

最后，我们指出，若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是齐次方程，则函数(2.111)是一个积分因子（见习题2.5的第3题）.作为例子，我们用它重新求解例2.22.例2.29

求解齐次方程解由式(2.111)可见，该方程有积分因子：以它乘方程，得到一个全微分方程:积分上式，得出积分上式，得出由此得通积分为由此可见，该积分曲线族是一个以原点为焦点的螺旋线族.

我们看到，积分因子的方法通常比较简捷和富有技巧，而掌握本章中初等积分法的各种原则是学习本课程所必需的基本训练.例2.30

如果xM-yN≠0，而M=yM1(xy),N=xN1(xy).求证:方程Mdx+Ndy=0有积分因子

证明记u=xy，则所以是Mdx+Ndy=0的积分因子.例2.31

设M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，其中M(x,y)、N(x,y)是x、y的