2024秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-其次章2.22.2.1请同学们仔细完成练案[11]A级基础巩固一、选择题1．设F1、F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满意|MF1|＋|MF2|＝6，则动点MA．椭圆 B．直线C．圆 D．线段[解析]∵|MF1|＋|MF2|＝6，|F1F2∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2∴点M的轨迹是线段F1F22．过点(－3,2)且与eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程是(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1[解析]将点(－3,2)代入验证，只有A的方程满意，故选A．3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)、(0,2)的椭圆方程为(D)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,2)＝1C．eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]解法一：验证解除：将点(4,0)代入验证可解除A、B、C，故选D．解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16m＝1,4n＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16),n＝\f(1,4)))，故选D．4．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是(B)A．2 B．4C．8 D．eq\f(3,2)[解析]设椭圆左焦点F，右焦点F1，∵2a＝10，|MF|＝2，∴|MF1|＝8，∵N为MF中点，O为FF1中点，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF1|＝4.5．(2024－2024学年房山区期末检测)“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件是(A)A．m＞n＞0 B．n＞m＞0C．mn＞0 D．mn＜0[解析]若方程表示椭圆，则m，n≠0，则方程等价为eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，若方程表示焦点在y轴上椭圆，则等价为eq\f(1,n)＞eq\f(1,m)＞0，解得：m＞n＞0，故选A．6．(2024－2024学年湖南省长沙市湖南师大附中高二期中)设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为(D)A．5eq\r(3) B．10eq\r(3)C．2eq\r(15) D．4eq\r(15)[解析]设M(m，n)，m，n＞0，则m∈(0,6)，n∈(0，2eq\r(5))，椭圆C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的a＝6，b＝2eq\r(5)，c＝4.设F1，F2分别为椭圆C的左右焦点，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，|F1F2|＝2因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝12，所以|MF1|＞6，|MF2△MF1F2为等腰三角形，只能|MF2|＝2c＝8，则|MF由勾股定理得|MF2|2＝(4－m)2＋n2＝16，又eq\f(m2,36)＋eq\f(n2,20)＝1，联立并消去n得m2－18m＋45＝0，且m∈(0,6)，解得m＝3，则n＝eq\r(15).则△MF1F2的面积为eq\f(1,2)×8×eq\r(15)＝4eq\r(15).故选D．二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1__.[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝3,a－c＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,c＝1)).故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.8．(福州市2024－2024学年高二期末)若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长轴长的最小值为__2eq\r(2)__.[解析]由题意可知，因为椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，即可知bc＝1，因为a2＝b2＋c2＝b2＋eq\f(1,b2)≥2，所以a≥eq\r(2)，故长轴长的最小值为2eq\r(2)，答案为2eq\r(2).三、解答题9．求满意下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；(2)a：c＝13：5，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析](1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(32＋2＋22)＋eq\r(32＋2－22)＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又eq\f(a,c)＝eq\f(13,5)，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1或eq\f(y2,169)＋eq\f(x2,144)＝1.10．已知点A(－eq\f(1,2)，0)，B是圆F：(x－eq\f(1,2))2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．[解析]如图所示，由题意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，∴a＝1，c＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(3,4).∴动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,\f(3,4))＝1，即x2＋eq\f(4,3)y2＝1.B级素养提升一、选择题1．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1，F1、F2分别在其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|的长为(D)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由椭圆定义得|MF2|＋|MF1|＝2a因为|MF1|＝2，所以|MF2|＝8.因为N是MF1的中点，所以|ON|＝eq\f(|MF2|,2)＝4.故选D．2．若△ABC的两个焦点坐标为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为(D)A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0) D．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)[解析]∵|AB|＝8，△ABC的周长为18，∴|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故点C轨迹为椭圆且两焦点为A、B，又因为C点的纵坐标不能为零，所以选D．3．(多选题)若方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是(AD)A．a>3 B．a<－2C．－2<a<3 D．－6<a<－2[解析]由题意得a2>a＋6>0，解得a>3或－6<a<－2，故选AD．4．(多选题)直线2x＋by＋3＝0过椭圆10x2＋y2＝10的一个焦点，则b的值可以为(AB)A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)[解析]椭圆方程化为标准形式为x2＋eq\f(y2,10)＝1，∴焦点坐标为(0，±3)，当直线过焦点(0,3)时，b＝－1；当直线过焦点(0，－3)时，b＝1.故选AB．二、填空题5．下列命题是真命题的是__③__.①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满意|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；③若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆．[解析]①eq\r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；③点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为4eq\r(10)>8，故点P的轨迹为椭圆．故填③.6．设F1、F2分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上随意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为__15__.[解析]由椭圆的方程可得a＝5，b＝4，c＝3.∴F1(－3,0)，F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得，|PF1|＋|PF2|＝2a∴|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2a－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)≤10＋|MF2|＝10＋eq\r(32＋42)＝15，∴|PM|＋|PF1|的最大值为15.三、解答题7．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．[解析]当焦点在x轴上时，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.8．如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．[解析