2025届高考数学一轮专题重组卷第一部分专题十五直线与圆的方程文含解析

PAGE专题十五直线与圆的方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分，考试时间60分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2024·绵阳二诊)直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案D解析圆心为(0,0)，半径R＝2，画出直线与圆的方程，如图所示，相交点A，B刚好在坐标轴上，所以∠AOB＝eq\f(π,2).故选D.2．(2024·广西百色调研)若直线l：ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则当eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)取最小值时直线l的斜率为()A．2B.eq\f(1,2)C.eq\r(2)D．2eq\r(2)答案A解析圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4，表示以M(－1,2)为圆心，2为半径的圆，由题意可得圆心在直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)上，故－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋2b,a)＋eq\f(\f(a＋2b,2),b)＝1＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)＋1≥2＋2＝4，当且仅当eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b时，等号成立，此时直线l的斜率为2，故选A.3．(2024·福建联考)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y＝4相切，则圆O的方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋y2＝4答案D解析设圆O的半径为r，则等于原点O到直线x－eq\r(3)y＝4的距离，即r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4，故选D.4．(2024·吉林市调研)已知AB是圆x2＋y2－6x＋2y＝0内过点E(2,1)的最短弦，则|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(2)C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)答案D解析圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝10，则圆心坐标为C(3，－1)，半径为eq\r(10)，过E的最短弦满意E恰好为C在弦上的垂足，则CE＝eq\r(2－32＋[1－－1]2)＝eq\r(5)，则|AB|＝2eq\r(\r(10)2－\r(5)2)＝2eq\r(5)，故选D.5．(2024·内江二诊)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(－1,0)D．(－2,0)答案D解析圆与直线联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12＋y2＝1，,x－my＋m＝0，))整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0.∵图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，则Δ>0，即4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，得m<0.∵圆(x－1)2＋y2＝1都在x轴的正半轴和原点，若交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，∴y1y2＝eq\f(m2＋2m,1＋m2)<0，解得－2<m<0，故选D.6．(2024·西安八校联考)已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)答案C解析解法一：如图，连接AC，BC，设∠CAB＝θ，连接PC，与AB交于点D，∵AC＝BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，∴PC⊥AB，∴在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2中，圆C的半径为eq\r(2)，|AB|＝2eq\r(2)cosθ，|CD|＝eq\r(2)sinθ，∴在等边△PAB中，|PD|＝eq\f(\r(3),2)|AB|＝eq\r(6)cosθ，∴|PC|＝|CD|＋|PD|＝eq\r(2)sinθ＋eq\r(6)cosθ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))≤2eq\r(2)，故选C.解法二：设|AD|＝x，x∈(0，eq\r(2)]，则|PC|＝eq\r(3)x＋eq\r(2－x2)，记f(x)＝eq\r(3)x＋eq\r(2－x2)，令f′(x)＝eq\r(3)＋eq\f(－2x,2\r(2－x2))＝0，得x＝eq\f(\r(6),2)∈(0，eq\r(2)]，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝2eq\r(2)，故选C.7．(2024·温州模拟)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0答案D解析直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点为M(2,0)．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝2，则tan(α＋45°)＝eq\f(tanα＋tan45°,1－tanαtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3，故得到的直线的方程是y－0＝－3(x－2)，可化为3x＋y－6＝0，故选D.8．(2024·黄冈模拟)从点(2,3)射出的光线沿斜率为eq\f(1,2)的直线方向射到y轴上，则反射光线所在直线的方程为()A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0答案A解析由题意可得，入射光线所在直线的方程为y－3＝eq\f(1,2)(x－2)，即y＝eq\f(1,2)x＋2，所以与y轴的交点(0,2)也在反射光线上，又反射光线所在直线的斜率为－eq\f(1,2)，故反射光线所在直线的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋2，即x＋2y－4＝0.9．(2024·深圳红岭中学模拟)已知x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)答案B解析因为x2＋y2－4x－2y－4＝0，所以(x－2)2＋(y－1)2＝9表示圆．设P(x，y)，A(－3,1)，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA.设直线PA的方程为y－1＝k(x＋3)，当直线PA与圆相切时，由eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3⇒k＝±eq\f(3,4)，得－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4)，故选B.10．(2024·泉州质检)已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，有下列四个命题：p1：∀k∈R，l与C相交； p2：∃k∈R，l与C相切；p3：∀r>0，l与C相交； p4：∃r>0，l与C相切．其中的真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4答案A解析因为圆C是以(1,0)为圆心，以r为半径的圆，而直线l是过点(1,0)且斜率为k的直线，所以无论k，r取何值，都有直线过圆心，所以∀k∈R，∀r>0，都有l与C相交，所以真命题是p1，p3，故选A.11．(2024·武邑中学二模)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是()A．(eq\r(2)＋1，＋∞) B．(eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)－1) D．(0，eq\r(2)＋1)答案A解析因为圆心(0,0)到直线l的距离为eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)>1，故由题意知圆的半径应当大于eq\r(2)＋1，故选A.12．(2024·马鞍山联考)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条共同的切线，则a＋b的最大值为()A．－3eq\r(2) B．－3C．3 D．3eq\r(2)答案D解析易知圆C1的圆心为C1(－a,0)，半径r1＝2；圆C2的圆心为C2(0，b)，半径r2＝1.∵两圆恰有三条共同的切线，∴两圆外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2)，∴a＋b≤3eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b＝\f(3\r(2),2)时取等号))，∴a＋b的最大值为3eq\r(2).故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共40分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2024·上海市黄浦区调研)如图，l1，l2是过点M，夹角为eq\f(π,3)的两条直线，且与圆心为O，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，那么2d1＋d2的最小值为________．答案3－eq\r(3)解析依据题意，l1，l2是过点M，夹角为eq\f(π,3)的两条直线，且与圆心为O，半径为r＝1的圆分别相切，则|OM|＝2r＝2，如图建立坐标系，以圆心O为坐标原点，OM为y轴建立坐标系，M(0,2)，又由l1，l2是过点M，夹角为eq\f(π,3)的两条直线，则l1，l2关于y轴对称，易得l1，l2的倾斜角为eq\f(π,3)和eq\f(2π,3)，则设l1的方程为y＝eq\r(3)x＋2，l2的方程为y＝－eq\r(3)x＋2，P是圆周上的一个动点，设P(cosθ，sinθ)，则d1＝eq\f(|\r(3)cosθ－sinθ＋2|,\r(1＋3))＝eq\f(|\r(3)cosθ－sinθ＋2|,2)＝1＋eq\f(\r(3)cosθ－sinθ,2)，d2＝eq\f(|－\r(3)cosθ－sinθ＋2|,\r(1＋3))＝eq\f(|－\r(3)cosθ－sinθ＋2|,2)＝1－eq\f(\r(3)cosθ＋sinθ,2)，则2d1＋d2＝2＋(eq\r(3)cosθ－sinθ)＋1－eq\f(1,2)×(eq\r(3)cosθ＋sinθ)＝3＋eq\f(\r(3)cosθ－3sinθ,2)＝3＋eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))≥3－eq\r(3)，即2d1＋d2的最小值为3－eq\r(3).14．(2024·江门模拟)在直角坐标系xOy中，直线eq\f(x,2)－eq\f(y,4)＝1与坐标轴相交于A，B两点，则经过O，A，B三点的圆的标准方程是________．答案(x－1)2＋(y＋2)2＝5解析在直角坐标系xOy中，直线eq\f(x,2)－eq\f(y,4)＝1与坐标轴相交于A，B两点，∴A(2,0)，B(0，－4)，则经过O，A，B三点的圆的圆心为直角三角形AOB的斜边AB的中点C(1，－2)，半径为AB的一半，即r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\r(5)，则经过O，A，B三点的圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝5，故答案为(x－1)2＋(y＋2)2＝5.15．(2024·百校联盟摸底)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2半径的最大值是________．答案2解析由圆C1：x2＋y2＝9，可得圆心为(0,0)，半径R＝3.如图，当圆C2的圆心C2为线段AB的中点时，圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，设切点为P，此时圆C2的半径r最大．圆C1的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1，则圆C2的半径r最大时两圆心之间的距离|OC2|＝d＝1，所以圆C2半径的最大值为|OP|－|OC2|＝3－1＝2.16．(2024·江苏七市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆x2＋y2＝4上，且AB＝2eq\r(2)，点P(3，－1)，eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝16，设AB的中点M的横坐标为x0，则x0的全部值为________．答案1，eq\f(1,5)解析设AB中点为M(x0，y0)，由勾股三角形知OM＝eq\r(2)，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2①，又eq\o(PO,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝16，则eq\o(PO,\s\up6(→))·2eq\o(PM,\s\up6(→))＝16，即eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝8，∴(－3,1)·(x0－3，y0＋1)＝8②，将①②联立得x0＝1，eq\f(1,5).三、解答题(本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2024·哈尔滨三中二模)已知点A(0，2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，点P为曲线Γ上随意一点且满意|PA|＝2|PB|.(1)求曲线Γ的方程；(2)设曲线Γ与y轴交于M，N两点，点R是曲线Γ上异于M，N的随意一点，直线MR，NR分别交直线l：y＝3于点F，G.试问在y轴上是否存在一个定点S，使得eq\o(SF,\s\up6(→))·eq\o(SG,\s\up6(→))＝0？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq\r(x2＋y－22)＝2eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)，整理得x2＋y2＝1.所以曲线Γ的方程为x2＋y2＝1.(2)由题意得，M(0,1)，N(0，－1)．设点R(x0，y0)(x0≠0)，由点R在曲线Γ上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1.直线RM的方程为y－1＝eq\f(y0－1,x0)x，所以直线RM与直线y＝3的交点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,y0－1)，3)).直线RN的方程为y＋1＝eq\f(y0＋1,x0)x，所以直线RN与直线y＝3的交点为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x0,y0＋1)，3)).假设存在点S(0，m)，使得eq\o(SF,\s\up6(→))·eq\o(SG,\s\up6(→))＝0成立，则eq\o(SF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,y0－1)，3－m))，eq\o(SG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4x0,y0＋1)，3－m)).即eq\f(2x0,y0－1)·eq\f(4x0,y0＋1)＋(3－m)2＝0，整理得eq\f(8x\o\al