2025届高考数学一轮知能训练第二章函数导数及其应用第12讲函数与方程含解析

PAGE5-第12讲函数与方程1．(2024年安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝lnxB．y＝x2＋1C．y＝sinxD．y＝cosx2．(2024年内蒙古包头模拟)已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝()A．0B．2C．5D．73．设方程2x|lnx|＝1有两个不等的实根x1和x2，则()A．x1x2<0B．x1x2＝1C．x1x2>1D．0<x1x2<14．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－[x]，x≥0，,fx＋1，x<0，))其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f(x)＝k(x＋1)(k>0)恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))5．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()A．g(a)<0<f(b)B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b)D．f(b)<g(a)<06．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．7．已知定义在R上的偶函数f(x)满意f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，则a的取值范围为________．8.(2024年浙江)已知λ∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ，))当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是__________；若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．9．(2024年福建模拟)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,|lnx|，x>0，))则方程f(f(x))＝3的根的个数是()A．6B．5C．4D．310．(多选)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lnx|，x>0，,exx＋1，x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值可能是()A．0B.eq\f(1,2)C．1D．211．函数f(x)＝(x－3)2和g(x)＝eq\r(x)的图象的示意图如图X2­12­1，设两函数交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a,a＋1]，x2∈[b,b＋1]，且a，b∈{0,1,2,3,4,5,6}，指出a，b的值，并说明理由．图X2­12­112．已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)－alnx(a∈R)．(1)f(x)在x＝2处取极值，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x0，求[x0]．注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2.(参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946)

第12讲函数与方程1．D解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，故y＝lnx不具备奇偶性，故选项A错误；y＝x2＋1是偶函数，但y＝x2＋1＝0无解，即不存在零点，故选项B错误；y＝sinx是奇函数，故选项C错误；y＝cosx是偶函数，且y＝cosx＝0⇒x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.故选D.2．C解析：∵f(2)＝ln2＋6－8＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋1>0，且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.3．D解析：2x|lnx|＝1⇔|lnx|＝eq\f(1,2x)，分别作y＝|lnx|，y＝eq\f(1,2x)的图象，如图D127图D127明显0<x1<1，x2>1，－lnx1＝，lnx2＝，lnx2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－lnx1))＝lnx2＋lnx1＝ln(x2x1)＝－<0，∴0<x1x2<1.4．B解析：直线y＝kx＋k(k>0)恒过定点(－1,0)，在同始终角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象和直线y＝kx＋k(k>0)的图象，如图D128所示，∵两个函数图象恰好有三个不同的交点，∴eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3).图D1285．A解析：先代入特别值，有f(0)<0，f(1)>0,g(1)<0，g(2)>0，故a∈(0,1)，b∈(1,2)．当x>0时，f(x)，g(x)都为增函数，故g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0.∴g(a)<0<f(b)．6.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))解析：∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).7．(eq\r(6)，eq\r(10))解析：由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，∴f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，∴函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，如图D129，则满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,loga6＜2，,loga10＞2，))解得eq\r(6)＜a＜eq\r(10).故a的取值范围是(eq\r(6)，eq\r(10))．图D1298．(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)解析：由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x－4<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x2－4x＋3<0，))∴2≤x<4或1<x<2，即1<x<4.不等式f(x)<0的解集是(1,4)．当λ>4时，f(x)＝x－4>0，此时f(x)＝x2－4x＋3＝0，x＝1或3，即在(－∞，λ)上有2个零点；当λ≤4时，f(x)＝x－4＝0，x＝4，由f(x)＝x2－4x＋3＝0，得x＝1或3，由f(x)在(－∞，λ)上只能有1个零点，得1<λ≤3.综上所述，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)．9．B解析：令f(x)＝t，则方程f[f(x)]＝3即为f(t)＝3，解得t＝e－3或e3，作出函数f(x)的图象，由图象可知方程f(x)＝e－3有3个解，f(x)＝e3有2个解，则方程f[f(x)]＝3有5个实根，故选B.10．BC解析：函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则函数g(x)＝f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)．由f′(x)<0得x＋2<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得x＋2>0，即－2<x≤0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得微小值f(－2)＝－eq\f(1,e2)，作出f(x)的图象如图D130所示：图D130要使f(x)＝b有三个根，则0<b≤1，则实数b的取值可能是eq\f(1,2)，1.故选BC.11．解：(1)C1对应的函数为f(x)＝(x－3)2，C2对应的函数为g(x)＝eq\r(x).(2)a＝1，b＝4.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝(x－3)2－eq\r(x)，则x1，x2为函数φ(x)的零点，由于φ(0)＝9>0，φ(1)＝3>0，φ(2)＝1－eq\r(2)<0，φ(3)＝－eq\r(3)<0，φ(4)＝－1<0，φ(5)＝4－eq\r(5)>0，则方程φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈(1,2)，x2∈(4,5)，因此整数a＝1，b＝4.12．解：(1)7x＋y－10＝0.(2)f(x)＝x2＋eq\f(2,x)－alnx，∴f′(x)＝eq\f(2x3－ax－2,x2)(x>0)．令g(x)＝2x3－ax－2，则g′(x)＝6x2－a.由a>0，g′(x)＝0，可得x＝eq\r(\f(a,6))∴g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,6))))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6))，＋∞))上单调递增．由于g(0)＝－2<0，故x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(a,6))))时，g(x)<0，又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x1，从而可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．由于f(x)有唯一零点x0，故x1＝x0，且x0>1.则g(x0)＝0，f(x