2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.3函数的应用一学案含解析新人教B版必修第一册

3.3函数的应用(一)学习目标1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用.2.能够对简洁的实际问题,选择适当的函数构建数学模型,解决问题.自主预习1.我们之前都学习过哪些函数?它们的解析式分别是什么,都有哪些性质?(1)一次函数解析式:.

性质:(2)二次函数解析式:.

性质:(3)反比例函数解析式:.

性质:(4)分段函数解析式:.

性质:2.均值不等式(一正、二定、三相等):3.思索一下二次函数以及用均值定理求最值的方法.课堂探究一、提出问题,激发爱好在我们的现实生活中常常会遇到一些这样的问题:国家为了激励节约用水、节约用电,会实行阶梯水价、阶梯电价,那么如何依据用水量求出须要交纳的水费呢?酒店为了获得最大利润应当如何制定房间的价格?在材料肯定的前提下如何使围出的矩形场地面积最大?还有经济学中的问题,如何求最大利润或者最小成本等等问题.诸如此类的问题我们常常遇到,那么如何解决呢?请同学们思索并回答下面两个问题:(1)阶梯电价、阶梯水价问题中水费与用水量是什么函数关系呢?(2)在材料肯定的前提下围出的矩形场地面积如何表示?如何求出面积的最大值?二、分析问题,明确思路,解决问题,提升数学运算素养(一)分段函数模型例1为激励大家节约用水,自2013年以后,上海市实行了阶梯水价制度,其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示:分档户年用水量/m3综合用水单价/(元/m3)第一阶梯0~220(含)3.45其次阶梯220~300(含)4.83第三阶梯300以上5.83记户年用水量为xm3时应缴纳的水费为f(x)元.(1)写出f(x)的解析式;(2)假设居住在上海的张明一家2024年共用水260m3,则张明一家2024年应缴纳水费多少元?(二)一次函数模型思索问题,分析问题,建立模型例2城镇化是国家现代化的重要指标,依据资料显示,1978~2013年,我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每年城镇常住人口增加量相等,记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿.写出f(t)的解析式,并由此估算出我国2024年城镇常住人口数.问题:(1)一次函数的平均改变率是什么?(2)这个题目是依据什么信息得出f(t)的函数类型的?(3)依据题目中“记1978年后第t(限定t<40)年的城镇常住人口为f(t)亿”这句话的理解,可以得出1978年跟2013年对应的t是多少?(三)二次函数模型例3某农家旅游公司有客房160间,每间客房单价为200元时,每天都客满.已知每间客房每提高20元,则客房出租数就会削减10间.若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高?分析:可通过试算来理解题意,如下表所示.提价/元每间房单价/元客房出租数租金总收入/元020406080问题:(1)思索一下本题如何设未知量x?(2)列出函数关系式后如何求最值?(二次函数求最值的方法有哪些)跟踪训练:某单位安排用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为l,假如要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少?思索:本题还有没有其他方法来求最大值?(四)f(x)=x+ax(a>0)例4已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000,且当年产量是100时,总成本6000.设该产品年产量为Q时平均成本为f(Q).(1)求f(Q)的解析式;(2)求年产量为多少时,平均成本最少,并求最小值.评价反馈1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还须要增加投资0.25万元,经预料可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t2(万元)(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?2.小王高校毕业后,确定利用所学专业进行自主创业,经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流淌成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=13x2+x(万元).在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+100x-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流淌成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(学问层面,思想方法层面)作业布置阅读课本,结合学案,进行学问整理,形成系统.必做题:课本第124页A组第1,2,3题B组第1,2题选做题:核心素养专练核心素养专练1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快削减库存,商场确定实行试单的降价措施,经调查发觉每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元,则每件衬衫应当降价多少元?(2)每件衬衫降价多少时,商场平均每天盈利最多?2.首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排·绿色生态”为主题,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采纳了新工艺,把二氧化碳转化为一种可以利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?假如获利,求出最大利润;假如不获利,则须要国建至少补贴多少元才能使该单位不亏?参考答案自主预习略课堂探究一、(1)分段函数(2)设出未知量,用未知量表示出面积,二次函数求最值求出面积最值.例1解:(1)不难看出f(x)是一个分段函数,当0<x≤220时,有f(x)=3.45x;当220<x≤300时,有f(x)=220×3.45+(x-220)×4.83=4.83x-303.6;当x>300时,有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83=5.83x-603.6.因此f(x)=3(2)f(260)=4.83×260-303.6=952.2,因此张明一家2024年应缴纳水费952.2元.例2问题:(1)函数的平均改变率是一个常数时,函数是一次函数;(2)每一年城镇常住人口的增加量相等;(3)1978年对应t=0,2013年对应的t=35.解:因为每一年城镇常住人口的增加量相等,所以f(t)是一次函数.设f(t)=kt+b,其中k,b是常数.留意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年,因此f(0)=1因此f(t)=0.16t+1.7,t∈N且t<40.又因为2024年是1978年后的第2024-1978=39年,而且f(39)=0.16×39+1.7=7.94,所以由此可估算出我国2024年的城镇常住人口为7.94亿.例3(分析略)问题:(1):设每间房单价提高x个20元.(2)二次函数求最值方法:找对称轴利用单调性;配方.解:设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元.因为此时每间房单价为200+20x元,而客房出租数将削减10x间,即为160-10x间,因此y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x)=200(-x2+6x+160)=200[-(x-3)2+169]=-200(x-3)2+33800.从而可知,当x=3时,y的最大值为33800.因此每间房单价提到200+20×3=260元时,每天客房的租金总收入最高.跟踪训练解:设矩形的长为x时,场地的面积为S.因为矩形的周长为l,所以矩形的宽为12(l-2x由x>0,12又因为S=12(l-2x)x=-x2+l2x=-x-所以当x=l4时,S的最大值为l216.即矩形是长、宽都是l4的正方形时,场地面积最大思索:本题还有没有其他方法来求最大值?还可以用均值不等式来解决:设矩形的长为x,宽为y,则x>0,y>0,x+y=l2,故有l2=x+y≥2xy,即S=xy≤l216,当且仅当x=y=l4时例4解:(1)将Q=100,C=6000代入C=aQ2+3000,可得1002a+3000=6000,从而a=310,于是C=3Q210+因此f(Q)=CQ=310Q+3000(2)因为f(Q)=310Q+3000Q≥2当且仅当310Q=3000Q,即Q=100因此,当年产量为100时,平均成本最小,且最小值为60.评价反馈1.解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以f(x)=5即f(x)=-(2)当0<x≤5时,f(x)=-12x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值f(x)max=10.78125(万元).当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.2.解:(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得:当0<x<8时,L(x)=5x-13x2+x-3=-13x当x≥8时,L(x)=5x-6x+100x-38-所以L(x)=-(2)当0<x<8时,L(x)=-13(x-6)2+9此时,当x=6时,L(x)取得最大值L(6)=9万元,当x≥8时,L(x)=35-x+100x≤35-2x·100x=当且仅当x=100x时等号成立即x=10时,L(x)取得最大值15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?(学问层面,思想方法层面)1.解有关函数的应用题,首先应考虑选择哪一种函数作为模型,然后建立其解析式.求解析式时,一般利用待定系数法,要充分挖掘题目的隐含条件,充分利用函数图形的直观性.2.数学建模的过程图示如下:作业布置略核心素养专练1.解:(1)设每件衬衫应当降价x元,依据题意,得(40-x)(20+2x)=1200,解得x=10或x=20,因为商场要尽快削减库存,所以x=20,所以商场平均每天要盈利1200元,则每件衬衫应当降价20元.(2)设每件衬衫降价x元,商场平均每天盈利y元,则y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250,当x=15时,y有最大值为1250元,所以每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多.2.解:(1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为yx=12x+80000x-200≥212x·80即x=400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,为200元.(2)不获利.设该单位每月获利为S,则S=100x-y=100x-12x2-200x+80000=-12x2+300x-80000=-12(故该单位每月不获利,须要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损.学习目标1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍运用的函数模型)的广泛应用.2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题.培育数学建模素养.3.借助实际问题中的最值问题,提升数学运算素养.自主预习1.随着经济和社会的发展,汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表:年份202420242024销量/万辆81830结合以上三年的销量及人们生活的须要,2024年初,该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标,经过全体员工的共同努力,2024年实际销售44万辆,圆满完成销售目标.问题1在实际生产生活中,对已收集到的样本数据常采纳什么方式获得直观信息?问题2假如我们分别将2024,2024,2024,2024年定义为第一、二、三、四年,现在有两个函数模型:二次函数型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),一次函数模型g(x)=ax+b(a≠0),哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系?问题3依照目前的形势分析,你能预料一下2024年,该公司预销售多少辆汽车吗?提示1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司的年销量.3.2024年,该公司预销售60万辆汽车.常见函数模型一次函数模型二次函数模型分段函数模型2.解决函数应用问题的步骤利用函数学问和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:(一);(二);(三);(四).

初试身手1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()A.y=20-x,0<x<10 B.y=20-2x,0<x<20C.y=40-x,0<x<10 D.y=40-2x,0<x<202.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点动身并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最终到达终点.若甲、乙两车的图像如图所示,则对于丙、丁两车的图像所在区域,推断正确的是()A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就削减2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个元.

课堂探究类型1一次函数模型的应用例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2000套 B.3000套C.4000套 D.5000套跟踪训练:1.如图所示,这是某通信公司规定的打某国际长途电话所须要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像.依据图像填空:(1)通话2分钟,须要付电话费元;

(2)通话5分钟,须要付电话费元;

(3)假如t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为.

类型2二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发觉,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?跟踪训练:2.A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市平安,核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域;(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小.类型3分段函数模型的应用例3某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还须要增加投资0.25万元,经预料可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t2(万元)(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?跟踪训练:3.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨,3x吨.(1)求y关于x的函数;(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.评价反馈1.思索辨析甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,推断下列说法的对错.(1)甲比乙先动身.()(2)乙比甲跑的路程多.()(3)甲、乙两人的速度相同.()(4)甲先到达终点.()2.向高为H的水瓶中注水,注满为止.假如注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形态是()3.某人从A地动身,开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地,在B地停留2小时,则汽车离开A地的距离y(单位:千米)是时间t(单位:小时)的函数,该函数的解析式是.

4.某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试由图像解决下列问题:(1)求y与x的函数解析式;(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1000元,每天至少卖出多少张门票?核心素养专练[合格基础练]一、选择题1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()A.2000双 B.4000双 C.6000双 D.8000双2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图像如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是()A.310元 B.300元C.290元 D.280元3.某公司聘请员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4其中,x代表拟录用人数,y代表面试人数.若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为()A.15 B.40 C.25 D.1304.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率销售价-进价进价×100%由原来的r%增加到(r+10)%,A.12 B.15 C.25 D.505.一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时,交通灯由红变绿,汽车以1m/s2的加速度匀加速开走,那么()A.此人可在7s内追上汽车B.此人可在10s内追上汽车C.此人追不上汽车,其间距最少为5mD.此人追不上汽车,其间距最少为7m二、填空题6.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为.

7.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是cm2.

8.国家规定个人稿费纳税方法为:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超出800元部分的14%纳税;超过4000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,这个人的稿费为元.

三、解答题9.某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游.甲旅行社说:“假如校长买全票一张,则其余学生可享受半价实惠”.乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)实惠”.若全票价为240元.(1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为y乙元,分别写出两家旅行社的收费y甲,y乙与学生数x之间的解析式;(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?(3)就学生人数探讨哪家旅行社更实惠?10.一块形态为直角三角形的铁皮,直角边长分别是40cm与60cm,现在将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,问怎样剪才能使剩下的残料最少?并求出此时残料的面积.[等级过关练]1.在股票买卖过程中,常常用两种曲线来描述价格改变状况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如f(2)=3表示股票起先买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是()2.一个体户有一批货,假如月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2.4%.假如月末售出,可获利120元,但要付保管费5元.这位个体户为获利最大,则这批货()A.月初售出好B.月末售出好C.月初或月末售出一样D.由成本费的大小确定3.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B动身,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).假如函数y=f(x)的图像如图(2)所示,则△ABC的面积为.

(1)(2)4.如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=13,BC=3,在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x,则x=时,四边形EFGH的面积最大,最大面积为.

5.通过探讨学生的学习行为,心理学家发觉,学生的接受实力依靠于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座起先时,学生爱好激增;中间有一段不太长的时间,学生的爱好保持较志向的状态;随后学生的留意力起先分散.分析结果和试验表明,用f(x)表示学生接受概念的实力(f(x)的值愈大,表示接受的实力愈强),x表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下的公式f(x)=-(1)开讲后多少分钟,学生的接受实力最强?能维持多长时间?(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受实力何时强一些?参考答案自主预习略初试身手1.A2.A3.60课堂探究例1D跟踪训练1.(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t≥3)例2解:(1)依据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55,x∈N).(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.跟踪训练2.解:(1)由题意设甲城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2.设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2,∴甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2.∵λ=0.25,∴y=5x2+52(100-x)2(10≤x≤90)(2)由y=5x2+52(100-x)2=152x2-500x+25000=152x-10032+50故当核电站建在距A城1003km时,才能使供电总费用最小例3解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以f(x)=5即f(x)=-(2)当0<x≤5时,f(x)=-12x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值f(x)max=10.78125(万元).当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.跟踪训练3.解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=1.8(5x+3x)=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨时,即3x≤4,且5x>4时,y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨,即3x>4时,y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.所以y=14(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增;