专题04 函数的概念及其表示（考点清单）（解析版）-高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04函数的概念及其表示（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 2三、典型例题讲与练 3考点清单01定义域 3【期末热考题型1】求常规函数的定义域 3【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域 4考点清单02值域 6【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域 6【期末热考题型2】根式型值域 7【期末热考题型3】分式型值域 9考点清单03解析式 11【期末热考题型1】待定系数法 11【期末热考题型2】换元法 13【期末热考题型3】方程组（消去）法 14【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式 15

一、思维导图二、知识回归知识回顾1：函数的定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.知识回顾2：数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).知识回顾3：求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。三、典型例题讲与练01定义域【期末热考题型1】求常规函数的定义域【解题方法】使得函数有意义的范围【典例1】（2023上·江苏苏州·高一统考期中）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，解得，故选：A【典例2】（2023上·广东广州·高一广州市第六十五中学校考期中）函数的定义域为.【答案】【详解】由题意知，，解得且，故函数的定义域为.故答案为：.【专训1-1】（2016上·宁夏银川·高三阶段练习）函数的定义域为.【答案】【详解】因为，所以，即解得，所以函数的定义域为,故答案为：【专训1-2】（2023上·北京朝阳·高一校考阶段练习）函数的定义域是；函数的定义域为.【答案】【详解】由知，得，故定义域为；由知，得或，故定义域为故答案为：；【期末热考题型2】求抽象函数、复合函数的定义域【解题方法】对应关系“”作用下的整体取值范围相同【典例1】（2022上·江西南昌·高一校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即，又函数有意义，得，解得，所以函数的定义域为.故选：C【典例2】（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为．【答案】【详解】解：因为的定义域为，即，所以，即函数的定义域为，所以的定义域为不等式组的解集，解此不等式组得：，所以函数的定义域为.故答案为：【专训1-1】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D【专训1-2】（2023上·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考期中）设函数，则的定义域为．【答案】【详解】函数的定义域满足：，故，的定义域满足：，解得，故定义域为.故答案为：02值域【期末热考题型1】一次、二次、反比例函数的值域【解题方法】分离常数法【典例1】（2023上·贵州黔东南·高一凯里一中校考阶段练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，从而可知函数的值域为.故选：D.【典例2】（2023上·北京·高一校考期中）函数，的值域为.【答案】【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以函数的值域为.故答案为：【专训1-1】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，故函数的值域为，故选：【专训1-2】（2023上·广西南宁·高一南宁市第一中学校考阶段练习）函数的值域为．【答案】【详解】由函数，根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到，所以函数在的值域为.故答案为：.【期末热考题型2】根式型值域【解题方法】换元法【典例1】（2023上·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：令，当时，，又，所以，，即所以，故选：D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域为.【答案】【详解】令，则，容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为，，所以该函数在时取到最大值，当时，函数取得最小值，所以函数值域为.故答案为：【专训1-1】（2023上·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）函数的值域为.【答案】【详解】设，，则，所以，等号成立所以函数的值域为.故答案为：.【专训1-2】（2023·高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）.【详解】（1）函数，定义域为，令，则，所以，对称轴方程为，所以时，函数，故值域为；（2）由题意得，解得，则，由可得，，由y的非负性知，，故函数的值域为.【期末热考题型3】分式型值域【解题方法】分离常数法，换元法，判别法【典例1】（2023上·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）函数在上的值域是.【答案】【详解】函数，当时，；当时，，根据对勾函数的性质可知：当时，，则，所以，当时，，则，所以，综上所述，函数在上的值域是.故答案为：【典例2】（2022上·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知函数，则函数的值域是.【答案】【详解】因为，因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以，则函数的值域为，故答案为：.【专训1-1】（2023上·天津红桥·高一天津市第五中学校考期中）已知函数，则函数的值域为.【答案】【详解】定义域为，因为，所以，即，所以的值域为.故答案为：.【专训1-2】（2021上·浙江杭州·高一校联考期中）函数的值域是.【答案】【详解】解：，因为所以函数的定义域为令，整理得方程：当时，方程无解；当时，不等式整理得：解得：所以函数的值域为.故答案为：03解析式【期末热考题型1】待定系数法【解题方法】设出函数解析式，对比系数求解【典例1】（2023上·河南南阳·高一河南省内乡县高级中学校考阶段练习）已已知是一次函数，且，求.【答案】或【详解】设，则，，或，或．故答案为：或.【典例2】（2022上·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期中）已知二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）设，由，得又，则，解得，所以.（2）由已知，即，即，①当时，原不等式即为：，解得；②当时，解得；③当时，解得综上，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：，当时，不等式的解集为：.【专训1-1】（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.【答案】或【详解】设，则,所以，解得或，所以函数的解析式为或.【专训1-2】（2021上·高一课前预习）（1）已知是一次函数，且，求；（2）已知是二次函数，且满足，求.【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）设，则因为，所以所以解得或所以或（2）设由，得由得整理，得所以所以所以【期末热考题型2】换元法【解题方法】换元法【典例1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，所以，综上，.故选：B【典例2】（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）已知函数满足，则函数值域为.【答案】【详解】令，则，所以，所以的解析式为，其中.当时，，所以值域为,故答案为：【专训1-1】（2023上·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校考阶段练习）解答下面两题(1)已知，求的函数解析式；【答案】(1)【详解】（1）令，则，代入原式有，所以.【专训1-2】（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求；（2）已知，求；【答案】（1）或;（2）;【详解】因为当时，当时，所以或.(2)令,则,【期末热考题型3】方程组（消去）法【解题方法】联立方程组消元【典例1】（2023上·四川达州·高一校考期中）（1）已知一次函数满足条件，求函数的解析式；【答案】（1）；【详解】（1）设，，，，即，，解得，；【典例2】（2023上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知函数满足：.(1)求函数的解析式：【答案】(1)，【详解】（1）∵，，①∴，∴，②∴②×2－①得，，∴，.【专训1-1】（2023上·宁夏银川·高一校考期中）分别求满足下列条件的的解析式：(1)已知，求函数的解析式；【答案】(1).【详解】（1）由，得，于是，消去得，所以函数的解析式为.【专训1-2】（2023上·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考阶段练习）（1）已知，求函数的解析式．【答案】（1）【详解】（1）①②，②－①得，．【期末热考题型4】赋值法求抽象函数的解析式【解题方法】赋值法【典例1】（多选）（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数定义域为，且，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A，中令，则，A正确；对于BCD，再令，则，即①所以即②，又因为也符合上式，C正确；联立①②，解得，D错误，B错误.故选：AC.【典例2】（2023上·广东佛山·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数满