广东省深圳市南山区前海学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）

广东省深圳市南山区前海学校2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称与轴对称的定义逐项判断即可．【详解】A是圆和矩形的结合，属于中心对称图形；B是中心对称图形；C属于中心对称图形；D是轴对称图形，不属于中心对称图形；故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称的判断，准确理解定义进行判断是解题的关键．2.若x＜y，则下列各式中不成立的是（）A.x＋1＜y＋1 B.x－2＜y－2 C.3x＜3y D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判定即可．【详解】A、由x＜y，可得：x＋1＜y＋1，成立，不合题意；B、由x＜y，可得：x－2＜y－2，成立，不合题意；C、由x＜y，可得：3x＜3y，成立，不合题意；D、由x＜y，可得：，不成立，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3.下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）A.m2－2n2＝（m＋2n）（m－2n） B.（m＋1）（m－1）＝m2－1C.m2－3m－4＝m（m－3）－4 D.m2－4m－5＝（m－5）（m＋1）【答案】D【解析】【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式，利用排除法求解．【详解】解：A．m2-2n2≠（m+2n）（m-2n），故本选项不合题意；B．是多项式乘法，故本选项不合题意；C．结果不是积的形式，因而不是因式分解，故本选项不合题意；D．属于因式分解，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．4.如果点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．【详解】解：∵点P(x-4，x+3)在平面直角坐标系的第二象限内，∴，解得：-3＜x＜4，在数轴上表示为：，故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E．若CE＝2，则AB的长是（）A.4 B.4 C.8 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出∠A＝30°，再由线段垂直平分线的性质得到∠A＝∠EBA＝30°，则∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，即可得到DE＝CE＝2，再利用含30度角的直接三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，ED⊥AB，∴∠A＝∠EBA＝30°，∴∠EBC＝∠ABC－∠EBA＝30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE＝CE＝2．在直角三角形ADE中，DE＝2，∠A＝30°，∴AE＝2DE＝4，∴AD＝＝，∴AB＝2AD＝．故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（）A.30° B.60° C.90° D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′=60°，即旋转角度为60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，7.若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式2x-1＞3，得：x＞2，∵不等式组整数解共有三个，∴不等式组的整数解为3、4、5，则，故选A．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．8.已知不等式ax+b＞0解集是x＜-2，则函数y=ax+b的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴上方，然后对各选项分别进行判断．【详解】解：∵不等式ax+b＞0的解集是x＜-2，∴当x＜-2时，函数y=ax+b的函数值为正数，即直线y=ax+b的图象在x轴上方．故选A．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．9.有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1500千克和2100千克已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200千克若设第一块试验田每亩的产量为x千克，则根据题意列出的方程是（）A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】C【解析】【分析】设第一块试验田每亩的产量为x千克，根据题意列出方程解答即可．【详解】设第一块试验田每亩的产量为x千克，可得：，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．10.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①点与的距离为；②③．其中正确的结论是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理逐一计算判断即可．【详解】解：连结，如图，线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，为等边三角形，，所以正确；为等边三角形，，，，即，在和中，≌，，在中，，，，，，为等边三角形，，，所以正确；≌，，，所以正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质，并根据题意选择适当的知识求解是解题的关键．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.若一个多边形每个内角都为，则这个多边形是________边形．【答案】十【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可．【详解】∵多边形的每个内角都是144°，则解得，则这个多边形是十边形；故答案为：十．【点睛】主要考查了多边形的内角和定理，边形的内角和为：，掌握多边形内角和公式是解题的关键．12.使分式有意义的x的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：∵分式有意义∴解得故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，即分母不为0．13.甲、乙两个服装厂加工一批校服，甲厂每天加工数量是乙厂每天加工数量的倍，两厂各加工套校服，甲厂比乙厂少用2天，则乙厂每天加工_____套校服．【答案】【解析】【分析】利用分式方程中的工程问题，工作量除以工作效率等于工作时间，列出方程求解即可．【详解】解：设乙厂每天加工x套校服，则甲厂每天加工套校服，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴乙厂每天加工套校服．故答案为：．【点睛】本题考查的分式方程的实际应用---工程问题，熟练掌握工程问题的数量关系式是解答此题的关键．14.对x，y定义一种新的运算F，规定：时，若关于正数x的不等式组恰好有2个整数解，则m的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】分和两种情况求解即可．【详解】解：①若，由，得，由，得：，与不符，舍去；②若，由得，解得，∵不等式组恰好有2个整数解，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．15.直线y＝k1x+b与直线y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于X的不等式k1x+b＞k2x+c的解集为_____．【答案】x＞1【解析】【分析】根据图形，找出直线k1x+b在直线k2x+c上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图形可知，当x＞1时，k1x+b＞k2x+c，所以，不等式的解集是x＞1．故答案为x＞1．【点睛】本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分55分）16.解不等式（组），并将解集表示在数轴上．（1）≥；（2）．【答案】（1）x≤8；图见解析；（2）1＜x≤3.5；图见解析【解析】【分析】（1）先去分母，然后去括号、移项合并同类项，最后将未知数的系数化为1；（2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找的原则，写出不等式组的解集即可．小问1详解】解：≥去分母，得：3（2＋x）≥2（2x－1），去括号，得：6＋3x≥4x－2，移项，得：3x－4x≥－2－6，合并同类项，得：－x≥－8，系数化为1，得：x≤8，将不等式的解集表示在数轴上如下：【小问2详解】解：解不等式2（x－1）－（1＋2x）≤1，得：x≤3.5，解不等式＜2x－1，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤3.5，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查了解不等式和不等式组，解不等式时，不等式两边同除以一个负数时，不等号方向要发生改变．17.先因式分解，再计算求值：（x－2）2－6（2－x），其中x＝－2．【答案】（x－2）（x＋4），-8【解析】【分析】提取公因式即可分解因式．再将代入求值即可．【详解】解：将代入得出：原式．【点睛】本题考查分解因式和代数式求值．利用提公因式法分解因式是解题关键．18.如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)（1）请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1；（2）请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(2，0)【解析】【分析】（1）把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：（2）连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；（3）找出B的关于x轴对称点B′（4，﹣2），连接AB′，与x轴交点即为P；求AB′解析式为，当y=0时，点P坐标为（2，0）．【详解】解：（1）∵ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，把点A、点B、点C向左平移4个单位，对应点坐标A1(-3，1)，B1(0，2)，C1(-1，4)，然后顺次连接得△A1B1C1，如图1所示：（2）如图2所示：连结OA、OB、OC，延长OA、OB、OC，在延长线上截取A2O=AO，B2O=OB，OC2=OC，顺次连接得△A2B2C2，如图2所示；（3）找出B的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，与x轴交点即为P；设AB′解析式为代入点的坐标得，，解得，∴AB′解析式为，当y=0时，，解得点P坐标为（2，0）．如图3所示：【点睛】本题考查平移的性质，中心对称性质，轴对称性质，掌握平移的性质，中心对称性质，轴对称性质是解题关键．19.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BC＝BD，求BF的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．【小问1详解】证明：∵，∴，∴∥，∴，∵E是边CD的中点，∴CE＝DE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED（AAS），∴，∴四边形BDFC是平行四边形；【小问2详解】解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，∴∵四边形是平行四边形∴∴∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．20.某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？【答案】（1）每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元（2）当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元【解析】【分析】（1）根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100-x）台，根据：总利润=冰箱每台利润×冰箱数量+空调每台利润×空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况．【小问1详解】设每台冰箱进价为x元，空调每台进价为为（x-400）元，根据题意得，解得，x=2000∴x-400=2000-400=1600（元）答：每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元【小问2详解】设购进冰箱x台，由题意可得，y＝（2100－2000）x＋（1750－1600）×（100－x）＝－50x＋15000，∵购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，∴100－x≤3x，解得，x≥25，∵x为正整数，y＝－50x＋15000，－50<0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝－50×25＋15000＝13750（元），100－x＝75，答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元．【点睛】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解析式是解题的关键．21.如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．（1）求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；（2）若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；（3）求OP＋PM的最小值．【答案】（1）y＝－x＋，∠ABO＝30°（2）所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，）（3）OP＋PM的最小值为【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为，代入A、B两点坐标，即可求解；（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解；（3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为，由对称可得，则，可得直线与x轴的夹角为，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：∵∴，∴，∴，设AB直线为，将A、B两点代入可得：，解得，即；【小问2详解】解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，∵OB=3，，∴OB=OP=3，，∴，∴，∴，∴，即；当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则OB=PB=3，设，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴点P的坐标为；同理可得点的坐标为；综上，，，；【小问3详解】解：作点M关于AB的对称点，如图设点的轨迹为，由对称可得，，则，即直线与x轴的夹角为，，∴当时，OP＋PM的最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值为．【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．22.（1）模型建立：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①如图2，已知直线y＝3x＋3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；②如图2，在直线AC上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标；③如图3，矩形ABCO，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x－6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①y＝x＋3；②点Q（0，）或（0，）；③（4，2）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；（2）①过C过C作CD⊥x轴于点D，可得△CDB≌△BAO，可求点C坐标，待定系数法求直线AC解析式即可；②以B、C、P、Q四点构成的平行四边行有三种情况进行讨论即可；③结合前两问的结论，最后一问分类讨论等腰直角三角形的直角顶点，根据等腰直角三角形