广东省深圳市罗湖区布心中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市罗湖区布心中学八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：A、是中心对称图形，此项符合题意；B、不是中心对称图形，此项不符题意；C、不是中心对称图形，此项不符题意；D、不是中心对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）是解题关键．2.若，则下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可．【详解】解：A．若，不等式两边同时乘以得，，故此选项错误，不符合题意；B．若，不等式两边同时减去2得，，故此选项正确，符合题意；C．若，当时，，故此选项错误，不符合题意；D．若，不等式两边同时除以2得，，故此选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了不等式的性质，正确掌握不等式的性质是解题的关键．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于()A.70° B.50° C.40° D.20°【答案】D【解析】【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB=90°-70°=20°．故选D．4.若分式有意义，则的取值范围是()A. B. C.且 D.【答案】D【解析】【分析】根据分式有意义的条件可得3-x≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：3-x≠0，

解得：x≠3，

故选：D．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．5.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．【详解】解：360°÷60°=6．故该正多边形的边数为6．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（）A.30° B.60° C.90° D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′=60°，即旋转角度为60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，7.下列命题中，错误的是（）A.过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n-2）个三角形B.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等C.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据多边形的性质、全等三角形的判定、三角形中线及平行四边形的判定即可依次判断.【详解】A.过n边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成（n-2）个三角形，正确；B.斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，正确；C.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，正确；D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误；故选D.【点睛】此题主要考查几何图形的判定与性质，解题的关键是熟知多边形的性质、全等三角形的判定、三角形中线及平行四边形的判定.8.如图，在中，．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线，分别交于点M、N，连接，则的面积为（）A.12 B.6 C.7.5 D.15【答案】B【解析】【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．【详解】解：由作法得垂直平分，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的面积．故选：B．【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．9.某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设答对x道，则答错道，根据成绩超过了60分列不等式求解即可.【详解】解：设答对x道，则答错道，由题意得，故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．10.如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中点E恰好落在x轴上，CD交y轴于点F，连接DG，DO．给出判断：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°；④△ADO是等腰三角形．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根据正方形的性质，可得，从而得到①③正确，延长GD，过A作GD延长线的垂线并与GD的延长线交于点H，再由A，G的坐标，可推出，得出D是HG的中点，最后得出△ADO是等腰三角形进而判断④，先假设CD平分∠ODG，根据已知条件得到，根据点的坐标求得进而可以判断②．【详解】是正方形，又,在和中，故①正确；又故③正确；延长，过作延长线垂线并与的长线交于点，则是的中点，由①可知四边形是正方形是等腰三角形，故④正确：若CD平分∠ODG则故②不正确综上所述，①③④正确．故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，熟悉图形的性质是解题的关键．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.分解因式_____．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式解答即可．【详解】解：原式．故答案为：【点睛】本题主要考查了整式的因式分解，掌握整式的完全平方公式是解决本题的关键．12.若一个多边形的每个内角都为，则这个多边形是________边形．【答案】十【解析】【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可．【详解】∵多边形的每个内角都是144°，则解得，则这个多边形是十边形；故答案为：十．【点睛】主要考查了多边形的内角和定理，边形的内角和为：，掌握多边形内角和公式是解题的关键．13.使分式有意义的x的取值范围为_________．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：∵分式有意义∴解得故答案为：【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，即分母不为0．14.如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为_____．【答案】【解析】【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集．【详解】解：∵一次函数的图象经过，∴时，，又y随x的增大而减小，∴关于x的不等式的解集为．故答案是：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________．【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2，∴．又∵BD=3，∴DC＝BC−BD＝．过点D作DM⊥AC于点M，由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE，∴∠DAC+∠EAF=90°．又∵∠DAC+∠ADM=90°，∴∠ADM=∠EAF．在Rt△ADM和Rt△EAF中，．∴（AAS），∴AF=DM．在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，DM2+MC2=DC2，∴DM=1，∴AF=DM=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键．三．解答题（共7小题，满分55分）16.（1）解不等式：．（2）解不等式组：，并把它解集在数轴上表示出来．【答案】（1）；（2），数轴见解析【解析】【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤求解即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：（1），去括号得，，移项得，，合并同类项得，，把x的系数化为1得，；（2），由①得，，由②得，，故不等式组的解集为：．在数轴上表示为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．17.（1）化简：；（2）先化简，再求值：，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．【答案】（1）；（2）；当时，原式【解析】【分析】（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据计算即可．【详解】解：（1）；（2），由题意得：，2，3，则当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式混合运算，及其求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．18.按要求完成作图：（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC向左平移5个单位得△A2B2C2，请作出△A2B2C2；（3）在x轴上有一个点P，满足PB＋PC最小，请直接写出P点的坐标．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（3，0）【解析】【分析】(1)分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；(2)分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；(3)连接B1C，与x轴的交点即为所求．【小问1详解】解：A(3，3)关于x轴对称点的坐标为A1(3，-3)，B(1，2)关于x轴对称点的坐标为B1(1，-1)，C(4，1)关于x轴对称点的坐标为C1(4，-1)，如图所示，△A1B1C1即为所求．【小问2详解】解：A(3，3)向左平移5个单位的坐标为A2(-2，3)，B(1，2)向左平移5个单位的坐标为B2(-4，2)，C(4，1)向左平移5个单位的坐标为C2(-1，1)，如上图所示，△A2B2C2即为所求；【小问3详解】解：如上图所示，根据对称性可知：PB=PB1，连接BC与x轴的交点点P即为所求，其坐标为(3，0)．【点睛】本题主要考查点的轴对称变换与平移变换，属于基础题，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质．19.如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，点E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若BC＝BD，求BF的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行得出∥，从而得出，再证明，得出，从而证明四边形是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得出的长，从而得出的长，再用勾股定理先求出的长，再求出的长．【小问1详解】证明：∵，∴，∴∥，∴，∵E是边CD的中点，∴CE＝DE，在△BEC与△FED中，∴△BEC≌△FED（AAS），∴，∴四边形BDFC是平行四边形；【小问2详解】解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，∴∵四边形是平行四边形∴∴∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用，熟练掌握全等三角形的判定，平行四边形的判定，以及勾股定理的运用是解答此题的关键．20.某商店准备购进一批冰箱和空调，每台冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元．（1）求每台冰箱与空调的进价分别是多少？（2）已知冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，现商城准备购进这两种家电共100台，要求购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，则该商店购进冰箱、空调各多少台才能获得最大利润？最大利润为多少？【答案】（1）每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元（2）当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元【解析】【分析】（1）根据每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商店购进6台冰箱和10台空调刚好花费28000元，可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）设购进电冰箱x台，则购进空调（100-x）台，根据：总利润=冰箱每台利润×冰箱数量+空调每台利润×空调数量，列出函数解析式，结合x的范围和一次函数的性质可知最值情况．【小问1详解】设每台冰箱进价为x元，空调每台进价为为（x-400）元，根据题意得，解得，x=2000∴x-400=2000-400=1600（元）答：每台空调进价为1600元，每台电冰箱进价为2000元【小问2详解】设购进冰箱x台，由题意可得，y＝（2100－2000）x＋（1750－1600）×（100－x）＝－50x＋15000，∵购进空调数量不超过冰箱数量的3倍，∴100－x≤3x，解得，x≥25，∵x为正整数，y＝－50x＋15000，－50<0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝－50×25＋15000＝13750（元），100－x＝75，答：当购进冰箱25台，空调75台获利最大，最大利润为13750元．【点睛】本题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，根据题意确定相等关系并据此列出方程和函数解析式是解题的关键．21.因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：把4x分成x和3x，原式就可以分成两组了原式＝x2＋x＋3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）继续提公因式＝（x＋3）（x＋1）请类比上边方法分解因式：x2＋5x＋6．【答案】（x＋3）（x＋2）【解析】【分析】根据题中拆项法原理，把5x分成2x和3x，进而根据提公因式法因式分解即可．【详解】解：把5x分成2x和3x，原式就可以分成两组了原式＝x2＋2x＋3x＋6＝x(x＋2)＋3(x＋2)继续提公因式＝(x＋3)(x＋2)【点睛】本题考查了因式分解，理解题意仿照例题求解是解题的关键．22.（1）模型建立：如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；（2）模型应用：①如图2，已知直线y＝3x＋3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的函数解析式；②如图2，在直线AC上有一动点P，在y轴上有一动点Q，以B、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，请求出点Q的坐标；③如图3，矩形ABCO，点O为坐标原点，点B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，点P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x－6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）①y＝x＋3；②点Q（0，）或（0，）；③（4，2）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；（2）①过C过C作CD⊥x轴于点D，可得△CDB≌△BAO，可求点C坐标，待定系数法求直线AC解析式即可；②以B、C、P、Q四点构成的平行四边行有三种情况进行讨论即可；③结合前两问的结论，最后一问分类讨论等腰直角三角形的直角顶点，根据等腰直角三角形性质列方程求解即可．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，∴△BEC≌△