第5章 三角函数（公式、定理、结论图表）-高考数学必背知识手册

第五章三角函数（公式、定理、结论图表）

「、思维导图

L任意角的三角函数的定义

T任意角的三角函数I--同角三角函数关系式

三诱导公式

角正弦函数的图象和性质

函H

数T三角函数的图象和性质|--1余弦函数的图象和性质

U正切函数的图象和性质

三角函数模型的简单应用

1知识梳理

1.角的概念

角可以看成平面内＞交线绕着端点从一个位置姐到另一个位置所形成的图形.

2.角的表示

如图，(1)始边：射线的起始位置八、

⑵终边：射线的终止位置OB,o

(3)顶点：射线的端点0.

这时，图中的角a可记为“角a”或“Na”或简记为“a”.

3.任意角的分类

(1)按旋转方向分

⑵按角的终边位置分

①前提：Q的顶点与原点重合,Q的始边与x轴的非负半轴重合.

②分类：

4.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=/W=a+&-360。,

&WZ},

即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整数个周角的和.

思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？

提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360。的整数倍；相等的角，终边相同.

5.度量角的两种单位制

⑴角度制：

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.

②1度的角：周角的焉.

(2)弧度制:

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

6.弧度数的计算

「(正角的弧度数是一个正数〕

(一手峋--(负角的一度数是一个负数)

-(一角的弧度数是o)

思考：比值;与所取的圆的半径大小是否有关？

提示：一定大小的圆心角。所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无

关.

7.角度制与弧度制的换算

角度.弧度)—1瓠度.角度|

---------2^7-^_

<560°=2IT^>------------<^rad=360^)

1I1

(^£80°=Trrad^>,*------------<^^rad=180^)

1°=180rad0.01745rad*—1rad=(-T)^57.300I

8.一些特殊角与弧度数的对应关系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

nn2兀3兀5兀3兀

弧度匹匹兀2兀

06432TTT

9.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R,弧长为/,。(()<。<2兀)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l=aR.

式一

诱导公

14.

eZ|

a.k

sin

)=

k•2F

a+

in(

诱-s

导

公

Z

、kw

cosa

)二

+k•2F

s(屐

式-co

.

eZ

a,k

Qn

")=

k•2

a+

lai】(

系

平方关

15.

2

2

L

sa=

4-co

ina

式：s

(1)公

1.

等于

方和

的平

余弦

弦、

的正

个角。

：同一

叙述

⑵语言

关系

商数

16.

&Z).

4"

WE+

a(a

=tan

裳^

式：

(1)公

.

止切

a的

于角

商等

弦的

弦、余

a的正

个角

同一

述：

言叙

(2)语

立？

否成

1是

22a=

+cos

iMZa

a,s

的角

任意

：对

思考

.

式无关

表达形

角的

，与

意的

是任

角且

一个

的同

强调

系中

方关

立.平

：成

提示

式二

诱导公

17.

.

所示

.如图

对称

原点

关于

终边

a的

与角

兀+a

⑴角

,

sina

=­

+a)

in(兀

式：s

(2)公

a,

cos

)=—

i+a

cos(7

a.

tan

+a)=

tan(7r

式三

诱导公

18.

.

所示

.如图

对称

工轴

关于

终边

角a的

一a与

⑴角

,

ina

=-s

-a)

in(

式：s

(2)公

«,

cos

a)=

cos(—

.

ana

=—t

—ct)

tan(

式四

诱导公

19.

.

所示

.如图

对称

上轴

关于

终边

。的

与角

兀一a

(1)角

a,

sin

«)=

in(7r—

式：s

(2)公

a,

cos

)=-

t—a

cos(7

c.

an6

="t

-a)

tan(7t

吗？

锐角

能是

a只

中角

公式

诱导

：(1)

思考

？

称吗

的名

变函数

〜四改

式一

导公

(2)诱

提示：(1)诱导公式中角a可以是任意角，要注意正切函数中要求A£Z.

(2)诱导公式一〜四都不改变函数名称.

20.诱导公式五

(1)角a与角a的终边关于直线y=x对称,如图所示.

cosK-«l=sina.

21.诱导公式六

(1)公式五与公式六中角的联系升夕=2二住二名).

(2)公式：sine+a)=cosa,

cosl2+a尸—sina.

思考：如何由公式四及公式五推导公式六？

提示：sinf^+al=sin

正弦函数〉=5后-x£R的图象叫正弦曲线.

V.

y=»inx,