电大2024经济数学基础期末复习参考练习题

〈经济数学基础〉期末复习参考练习题

—单选题

I、设/(幻二一，则/(/(©)=(CCx

2、曲线)，二sinx+1在点(0,1)处的切线方程为(AAy=x4-1)。

3、若=-e"+c,则/(x)=(BB—

4、设A,B为同阶可逆矩，则下列等式成立的是(CC(ABV=BTAT

5、线形方程组!解的状况是(DD无解)

X1+x2=0

r—1

1.函数y=-----的定义域为(DD、工＞1山工2)

In(x-l)

2.设/(x)=ln(x—D,贝叶(x)在x=2处的切线方程是(AA.x-y=2)

4、设A为3x4矩阵，B为5x2矩阵，若乘积矩阵AC?B有意义，则C为(BB5x4)矩阵。

5.线性方程组11TX,1=H解的状况是(DD有唯一解)

x2]|_0j

1.下列结论中(DD奇函数的图形是关于坐标原点对称)是正确的。

sinx

2.函数/(x)=(丁"工n。在x=0处连续，贝氏=(CC1)

kx=0

3.下列等式成立的是(CC、2xdx=—d(2x))

ln2

4、设A,B是同阶方阵，且A是可逆矩阵，满意A+A3=/,则=(AA、I+B)。

5、设线性方程组4”><“*=人有无穷多解的充分必要条件是(DD、r(A)=r(A)=r(A)<)

1.函数)=J三二3的定义域是(BB.[-2,2)U(2,+oo)

/a+Av)-/a)

2.若/(%)=cosX,则lim=(AA.

4As。

3.下列函数中，(DD、--cosx2)是xsin/的原函数。

2

4.设A是〃zx〃矩阵，B是sxf矩阵，且AC，8有意义，则C是(DD、sxn)矩阵。

Xj=-11

Xj+2X2-4X3=1

5.用消元法解方程组・x2+x3=0得到的解为(CC><x2=2)o

-x3=2x3=-2

1.下列各函数对中，(DD、/i»=JFTX+COS-X,g(X)=I)中的两个函数相等。

r

2.已知/")=」一一1,当(AA、X-0)时，/*)为无穷小量。

sinJC

r”11

3、\--dx=(CC>—)

d2

4、设A是可逆矩阵，且A+AB=【，则/■,=(CC、I+B)

-13214-

0-112-6

5.设线性方程组AX=b的增广矩阵为,则此线性方程组的•般解中自由未知量的个数

01-1-26

02-2-412

为(BB、2)

1.下列各函数中的两个函数相等的是(CC.y=\nx\gM=3]nx)

2.下列函数在区间(一8,+8)上单调增加的是(CC.3*)

3.若尸(x)是/(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(BB.Vf(x)dx=F(x)-F(a))

Ja

4.设A,B为同阶可逆矩阵，则下式成立的是(DD.(AB)r=BTAT)

5.设线性方程组庆*=8有唯一解，则线性方程组AX=O的解的状况是(AA.只有零解)

二、填空题

—px—S<r<0

6、函数=4"的定义域是______[-5,2)_____

x2-10<x<2

x-smx

7、lim------------______0______

•sor

8、函数/(x)=—sin尤的原函数是cosx+c

9、设A,B均为n阶矩阵，则等式(A—B)2=A2-2AB+1成立的充分必要条件是A,B随意

1021

芭=-2X-x

10、齐次线性方程组AX=O的系数矩阵为A=010-2则此方程组的一般解为—34

x-2X

000024

6、若函数/3+2)=/+41一5,则/*)=X2-9o

--n

7、设需求量q对价格p的函数为q(p)=500e2,则需求弹性为邑=_-5

8.j|sinx^=sinxdLv。

9.若r(A,b)=4/(A)=3,则线性方程组AX=b无解

-100--ioo-

1

10.设A=020，则A"=0J0O

00-3

6、函数)，=；~二--J3-X的定义域为______(-3,-2)(-2,3)_____o

*ln(x+3)

p

7、需求量q对价格p的函数为式p)=100e5则需求弹性为

23

9、当4—3—时，矩阵A=,是对称矩阵。

a-1

-1116-

10、线性方程组AX=〃，且4=0-132,则L_-l_时，方程组有无穷多解。

00Ml0

6.已知生产某产品的成本函数为C(q)=80+2g，则当产量q=50单位时，该产品的平均成本为3.6

7、函数/(幻二一一一的间断点是为=1,々=2。

x-3x+2

8、J[(xcosx+\)dx=2。

I-11-

9、20-1的秩为2o

1-34

X.=0

1()、若线性方程组《,「有非0解，则义=_-1_。

X]+AX2=()

6、若函数/“)二」一，则""十份―/⑴

1+xh(1+x)(l+工+%)

y=(lnsinx2)r=-----(sinx2)1=—二cos/(x2)r=2xcotx2

解

sinx-sinx~

1+ln(l—x)十,,.

11、y=----------求y(0)A

l-x

(l-x)+[l+In(l-x)]1n(i—x)

解、

(I'(1)2

y'(o)=o

11、设)，=cos2"-sin/,求V

解y'=(cos2r-smx2)'=-2vln2sin2v-2xcosx2

11.已知y=sinx+工，求y'

解：y'=(sinx)'+(cos5x)r=cosx+5cos*xsinx

2

11y=(x——)e2r求)/

x

oo

解y=(x--)e2t+(x--)(e2ty

xx

=(14-^k2x+2(x--)Zv

xx

=e2x(l+2x--+4-)

xx

tcosx七,

y=2------求y

1—x

解V=(21_(UHy

l-x

(cosx)Xl-x)-cosx(l-x\

=2'in2

(17)2

cosx-(l-x)sinx

=2'In2

(If

11.y=Incosx2求)/

解)，=(Incosx2)'=-------r(cosx2)z=-----^-^sinx2=-2jtanx2

cosx-cosx-

11.y=Vl+ln2x求dy

；------------------1_11-1O1

解/=(Vl+ln2x),=-(l+ln2x)3(l+ln2x),=-(l+ln2x)3----n---r

”33x

2—

dy=一(1+In2x)3Inxdx

3x

JV一

11.y=cos—+e~2x求dy

2'

2222

解y'=(cos—)z+(^-2v)'=-sin—(—),-26?"2'=-xsin-——2c”'

2222

r2

(1、-(-xsin)dx

II.y=COS3(1-2A)dy

y*=(cos'(1-2x)Y=-3COS2(1-2x)sin(l-2x)(1-2x)r=2cos2(l-2x)siii(l-2x)

11、e''+yInx=sin2xyr

{exyy+(yinx)'=(sin2x)f

exy(xy+xy)+yInx+—=2cos2x

x

(exyx+Inx)yf=2cos2x-exyy--

x

2cos2x-^v-

y=——：------

er'x+Inx

11.由方程yln(l+x)+*=e2确定的隐函数，求了

解[)，ln(l+x)]'+(/)'=(e2y

y'ln(l+x)++ex>\y+xyf)=0

1+x

[In(l+x)+x^v]y=-----yexy

1+x

y+(1+x)yexy

y-

(l+x)[ln(l+x)+jr/)']

11.由方程sin)，+x/7=()确定的隐函数，求V

解(siny)r+(xey)'=O'

y'cosy+ey+xeyyl=0

(cosy+xey)y'=-ey

，~ey

y=----------

cosy+xey

11由方程y=l+xey确定的隐函数求也

dxx=0

解y=v+(xeyy

y=eK+xeyy'

，"

y=-----------

l-xey

当X=0,y=l包

=y'(0)=--------=e

dxX=01-0X6>

11.由方程cos(x+y)+ev=x确定的隐函数求dy

解[cos(x+y)]'+(ey)'=xf

(I4-y')sin(x+y)+eyy'=1

(ey-sin(x+y)]y'=1+sin(x+y)

_1+sin(x+y)

Vz-

ey-sin(x+y)

,1+sin(x+y),

dy=-------------dx

ey-sin(x+y)

12、

解1(V7Z9+^)dx=12

47^二

12.12xsin2xdx

Jo

C11-£乃

辞£2xsin2xdx=-1-xcos2x+—£2cos2xdx]2=-

04

unx今

J0e'(l+e')d

解+/)2公=.3。+/)2“(]+/)=_[([+/)3In356

0=T

°3

12、J*xlnxdx

Jxlnxdx={^x2In工_//ee21

xax}=一+—

44

12.计算j/,a

解：=Jinxd(lnx)=；(lnx)2+c

解、j(x2-5x+7)COS2AZZV=-2(x2-5x+7)sin2x+4(2x-5)cos2x+16sin2x+c

11

解exd(—)=ex

x

12.

解,宁ai=2je%4=2e&2

广2，-e)

12.

12.2xcos2,以r

Jo

厅]—||*]

解Pxcos2x^£i=—xsin2x2——Psin2AzZr=—COS2A2=——

Jo202]。402

12.jxsin(l-x)dx

r3+xsin.r,

12.————~dx

Jx

r3+xsinx.r3.r.,

解------------dx=—dx+sinxdx=3O1In工-cosx+c

JxJx)

A

12.(3dx

J4+x2

解[—^dx-(—f—re/(4+x2)=-ln(4+x2)+c

J4+x22J4+x22

解J(x+1)Inxdx=3(x+1)2Inx+dx=g(x2+2x)lnx-^--x+c

12.f"—.=dx

Jixjl+lnx

解f—/:dx—f,—f/(l+Inx)=2J1+Inx—2(V3—1)

xy/l+hixJlVl+lnx1

-I021

13、设矩阵A=-124,B二-2，求(2/-AT)B

3113

解

'20O-1-13-11-3-

因为2/-Ar二020—021=00-1

002__241_-2-41

1-311-2-9-10

所以（2/—/T）B=00-1-20+0-3-3

-2-413-2+8+39

1001

13.设矩阵A=0-1,801，求

-I22

解

10

00I2

B'A=0

112-13

-10

-12102010-32

-130101-1101-11

-32

所以

-11

0-212-3

13、设矩阵A=计算（ABD」

-200-12

0

0-27-4

»：（AB/）=2

1-20-32

2

7-4101012012102

22

-3201-3201037012.

12

所以（44）T=

22

2.

13

13、设4=1-15求（/+A）T

-2-1

00303

解I+A=004--15105

0011-21-20

01310010500100-106

105010013100T010-53

1-200010012-10012-11

1065

所以（/+A）T-53-3

21

-15

13、设矩阵A=\^=।,求(4-/厂⑵

3-6-1

-1-25

解A-I=

33-7

-23-2-3-5

(A-IY]B=

5rj=[5+712

123

13.已知AX=B,其中A二357,B=0,求X

5810

123100123100

解.3570100-1-2-310

58100010-20I

123100100-64

->0123-100105-52

00-1i-210012

-64-1

即A=5-52

2-1

-64

X=A]B=5-5

-I2

02120

13.设矩阵八二,B=计算（A『）T

1001-1

20

02121

解ABT=1

1-101

0-1

2]_

T21101-10110

且[ABr/]=112->33

-101022

3301

33

11

MB7")"1=-

31-2

010

13.设矩阵A=-111求逆矩阵(/-A)-'

-103

1-101-10100

解/—A二10-1且10-1010f

10-2_10-2001

-1-1010o-10002-f-02-f

1

01-1-110T010-111所以（Z-AY=-12-1

01-2-10100101-101-1

~212~--6r

102

13,设矩阵A=,B=010,C=22计算+C

1-20

J1002-42

~21211-6160-610r

解BA1+C=0100-2+22=0-2+22=22

00220-4240-42-42

13.设矩阵A=ni2计算(ABF

U-20」一

63

10J

解AB=

-2

-211（）]r-2i1（）1[-20-1Tjoii

[9]=4-T

01^0112

21

-2

13.解矩阵方程

3

43

-3-2_

-243

即

34-2

432

X二

-3-221

12-1

13.解矩阵方程X

3520

121023010-52

解

3500-31013-1

2-52

即

353-1

1121-1-583

所以X-J=[：.o

20352034

为+x3=2

.设线性方程组

14Aj+2X2-x3=0

2x1+x2-axy=b

探讨当为何值时，方程组无解,有唯一解,无穷多解。

101210121012

解A=01-102-2-201-1

21-ab01a-2b-4001a-1b-3

当。二一1/=3方程组无解;

当方程组有唯一解;

当。二-12=3方程组有无穷多解。

X14-x2+x3=0

的一般解。

14.求线性方程组2xt-x2+8.V3+3X4=0

2xi+3々-x4=°

-111O--1110--1031-

解.因为A二2—183f01-2-3T01-2-1

230-1_0-3630000

x}+3X34-x4=0

x2-2X2-X3=0

X]=-3^3-x

则一般解为:4

x2=2X3+x4

2x]+5X2+x3+15X4=7

、当为何值时，线性方程组有解，有解时求一般解。

14b+2X2-X3+4X4=2

xx+3X2+2xy+1lx4=b

2511571Fl4212-142

解入=11-142-2511570373

13211b\[13211b0000b-5_

12-142

所以当b=5是方程组有解，且由A=01373

00000

x=7X+10x-4

得解为《x34

x2=-3X3-7X4+3

再一

25X2+2X3-3X4=0

、求线性方程组•为+的一般解。

142X2-X3+3X4=0

-2X1+14X2-6X3+12X4=0

2-52-3-F12-131p2-I3

解、A=12-13-2-52—3-0-94-9

-214-612-214-612018-819

12-13

t2-52-3

0000

一占+

$+2X23X4=()

2X|-5X2-X-J—3X4=0

1

2=3无3一14

一般解为《

4

x[-3X2+2X3=0

、设线性方程组

142x}5X2I3X3—0问2为何值时方程组有非o解，并求一般解。

玉一

38X2+=0

121-32-32

解A=230->01-1

30I几一600A-5_

所以当7=5时，方程有非。解，一般解为

X)-x2-x4=2

14、求线性方程组彳西一2/+&+4心=3的一般解

2西-3X2+x3+5X4=5

1-10121-10121-1012

解入=1-2143->0-1I31^0-1131

2-3155()-113100000

x1-x2+x4=2

-x2+X3+3X4=1

x=x+2X+1

方程组的一般解为：]34

x2=x3+3x-1

x1-x2+x4=2

14.当4为何值时,在有解的状况下求方程组的一般解

线性方程组“X1—2X2+/+4々=3有解,

2x-=4+2

t3X2+/+5X4

1-101210121Fl-1012

解1-1143->0-I131f()一1131

2-3154+2」[0-1132-2J|_00002-3

当a=3时,，方程组有解，原方程组化为

-G-x3-2X4=1

J2-X3-X4=-1

X1=1+x+2X

得解34

x2=-1++3X4

五、应用题

15.设生产某种产品q单位时的成本函数为：=100+0.25/+6q（万元）

求：（1）当q=10时的总成本、平均成本和边际成本；

（2）当产量q为多少时，平均成本最小？

.辞（1）总成本C（10）=100+0.25x］（）2+6x10=185

平均成本q叱呼=型2端"

边际成本C(q)=0.5(7+6C(1O)=0.5x10+6=11

(2)C(q)==—0,25^+6

qq

inn

令c(4)=-专+0.25=0,得口=20

当产量为20时平均成本最小。

15.设生产某产品的边际成本为C(q)=8q(万元/百台)，边际收入为*(幻=100-2乡(万元/百台)，其中q

是产量，问

(1)产量为多少时，利润最大？

(2)从利润最大时的产量再生产2百台，利润将会发生怎么的变更？

解⑴LXq)=R'(q)-C(q)=(100-2^)-8^=100-1()c/

令Z/(4)=0,得q=10

产量为10百台时利润最大。

(2)\L=⑷四=£"(100-10/内二一20

从利润最大时的产量再生产2百台，利润将削减20万元。

15.设某工厂生产某产品的固定成本为200(百元)，每生产一个单位产品，成本增加5(百元)，且已知需求函数

(7=100-2/;,这种产品在市场上是畅销的，

(1)试分别列出该产品的总成本函数C(q)和总收入函数R(0表达式；

(2)求使该产品利润最大的产量及最大利润。

解(1)总成本函数C(q)=200+5夕

总收入函数R(q)=pq=50q_Lq2

2

(2)利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=45^--1/2-200

令Z/(q)=45-g=0得产量q=45,

即当产量为45单位时利润最大

最大利润1(45)=45x45--x452-200=812.5

2

15.已知某产品的边际成本为C'(q)=2(元/件)，固定成本为0,边际收入*(q)=12—0.02q,求：

(1)产量为多少时利润最大？

(2)在最大利润的基础上再生产50件，利润将会发生什么变更？

解；(1)边际利润U(q)=R<q)C'(q)=120.0%2=100.024

令//(/=(),得4=500

当产量为500是利润最大。

(2)当产量由500件增加至550件时，利润变更量为

"二£：(10-0.024)四二(10%0.01/)惴=-251元)

即利润将削减25元。

15、已知某产品的边际成本为C'(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求

(1)该产品的平均成本；

(2)最低平均成本。

解(1)成本函数为C(q)=Jc'(q)d(7=J(4q-3)dq=2q2-3夕+18

则平均成本函数为不⑷二色@=2^-3+—

qq

(2)0(“)=(21—3+竺)'=2_%

qq-

令0⑷=2-与=o得-3

q-

—is

最低平均成本为C⑶=2x3-3+y=9(万元/百台：

15,某厂生产某种产品q千件时的总成本函数为C(“)=l+2q+92(万元)，单位销售价格为〃=8—2"(万元/

千件)，试求

(1)产量为多少时可使利润达到最大？

(2)最大利润是多少？

解(1)由已知得R(q)=qp=q(8-2q)=-2q2=8“一2q2

利润函数

L(q)=R(q)-C)⑷=Sq-2q2-(\+2q+q2)=6q-l-3q2

从而有

L\q)=6-6q

令L'(q)=6—6<y=0解q=l,

产量为1千件时利润最大。

(2)最大利润为

L(l)=6xl-l-3xl2=2(万元)

15设生产某种产品q台时的边际成本C'⑷=2.5q+1000(元/台)，边际收入R'⑷=2《/+2000,试求获得最

大利润时的产量。

解：边际利润为

LXq)=R\q)-CXq)

=29+2000—(2.5q+1000)

=-0.5^+1000

令7/（幻=0得夕=2000

当产量为2000时利润最大。

15设某产品的成本函数为C(q)=」-/+3q+ioo(万元)

25

其中q是产量(单位：台)，求使平均成本最小的产量，并求最小平均成本是多少?

解：平均成本3①)=色@='-9+股

4254

方,、1100

解得4=50

即当产量为5()台时，平均成本最小，最小平均成本为

C(50)=—^+3+—=7(万元)

-25qJo=5o

15,生产某种产品的固定费用是1000万元，每生产1台该品种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求

为q=120-2〃(其中q是产销量(单位：台)，p是价格(单位：万元)，求

(I)使该产品利润最大的产量；

(2)该产品的边际收入。

解：(1)设总成本函数为C(q),收入函数为冗①)，利润函数为L(q)于是

00)=10q+1000

R(q)=qp=60q-gq2

L(q)=R(q)-C(q)=50q--q2-1000

L\q)=50—(7=0

得4=50

即生.产50台时该种产品能获最大利润。

(3)因为R①)=60^—3乡2,故边际收入*(/=60(万元/台)。

15某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为

67=1000-10^,试求：(1)成本函数，收入函数；(2)产量为多少时利润最大？

解：(1)成本函数为。⑷=604+2000因为^=1000-10/?,即〃=l()0-；q

所以收入函数为R(q)=pq=(100-，/夕=lOOq-q?

(2)因为利润函数为L(q)=R(q)-C(q)=40夕一'二一2000

L\q)=40--^令L\q)=40--^=0得g=200

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即当产量为200吨时利润最大。

15.设某工厂生产的产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成